基于權值約束變換誤差的虛擬陣列波束形成

胡丹婷 耿軍平 梁仙靈 朱衛(wèi)仁 金榮洪,2 莊凱杰

(1.上海交通大學電子工程系,上海 200240; 2. 微米/納米加工技術國家級重點實驗室,上海 200240)

基于權值約束變換誤差的虛擬陣列波束形成

胡丹婷1耿軍平1梁仙靈1朱衛(wèi)仁1金榮洪1,2莊凱杰1

(1.上海交通大學電子工程系,上海 200240; 2. 微米/納米加工技術國家級重點實驗室,上海 200240)

針對內(nèi)插變換應用于波束形成時,適用角度范圍受限的問題,提出了一種利用權值約束變換誤差的改進算法.該方法將權值和變換誤差約束為近似正交的關系,在虛擬陣列接收信號的協(xié)方差矩陣上加載變換誤差協(xié)方差矩陣,改善了變換誤差過大時波束形成性能下降的問題.仿真結果表明,改進后的算法應用于大角度內(nèi)插變換波束形成時,在干擾處仍能形成穩(wěn)定的較深的零點,增加了虛擬陣列波束形成的輸出信干噪比 (Signal to Interference and Noise Ratio, SINR).與現(xiàn)有方法相比,該方法增加了內(nèi)插變換應用于虛擬陣列波束形成時的適用角度范圍,且能夠補償陣列本身帶來的誤差,計算復雜度較低.

內(nèi)插變換;波束形成;變換誤差; 近似正交; 波束形成性能

DOI 10.13443/j.cjors.2017011201

引 言

近年來,虛擬天線技術應用于波達方向(Direction of Arrival, DOA)估計[1]和波束形成[2]的研究備受關注. 其中,Friedlander B等[3]在20世紀90年代提出的內(nèi)插變換技術最早應用于DOA估計中,因為具有計算簡單,適用性強等優(yōu)點,此后內(nèi)插變換技術應用于虛擬陣列DOA估計的研究得到了人們的廣泛關注[4-6],近幾年開始有學者將內(nèi)插變換技術應用于虛擬陣列波束形成的研究中. 內(nèi)插變換能夠將任意實際陣列接收到的數(shù)據(jù)轉換到所需的陣列中,使得現(xiàn)有的一些算法得以應用;且具有對陣列本身的誤差進行補償?shù)奶攸c,進而能消除互耦等因素帶來的影響[7];此外,還可以改變陣列的自由度等. 然而,內(nèi)插變換對虛擬陣的陣列形式要求較高,且適用角度范圍受到變換誤差的限制. 楊鵬等[8]通過仿真實驗,給出變換誤差和虛擬陣列設置的關系,并指出當觀測區(qū)域大于60°時,變換誤差隨著觀測角度范圍的增加而迅速增加. 此時,將內(nèi)插變換應用于虛擬陣列波束形成中,會出現(xiàn)干擾點處零陷變淺甚至偏移的問題.

針對內(nèi)插變換“角度敏感”的問題,有學者提出了多區(qū)域內(nèi)插法[3],將變換范圍劃分為多個區(qū)域分別處理. 但該方法過程較為繁瑣,并且會降低自由度. 因此,很多學者進行了更加深入的研究.

針對內(nèi)插變換應用于DOA估計時的角度范圍受限問題,很多改進的方法被提出[9]. Markus等人[10]提出了一種基于流形長度的虛擬天線陣,可以在較大區(qū)間內(nèi)插值變換,但是需要求解新的陣列導向矢量,求解較復雜. Hyberg P等人[11-12]通過約束角度估計誤差,推導出最優(yōu)轉換矩陣,該方法的最優(yōu)轉換矩陣求解需要計算DOA估計代價函數(shù)沿虛擬陣列信號特征向量方向的梯度,計算復雜度高.

針對內(nèi)插變換應用于波束形成時角度范圍受限的問題,研究較少. 現(xiàn)有的研究主要建立在來波信號的角度處于變換區(qū)域內(nèi),且變換區(qū)域誤差滿足一定門限的基礎上. 當來波信號角度處于更大的范圍,則由于變換區(qū)域的增加,變換誤差隨之增大. 此時經(jīng)過大角度范圍的內(nèi)插變換后進行波束形成,不僅達不到補償誤差或者提高輸出信干噪比 (Signal to Interference and Noise Ratio, SINR)的作用,還會出現(xiàn)干擾點處零點變淺甚至偏移的問題.

數(shù)值計算方法中,正交加權是控制數(shù)值計算誤差的有效手段. 針對內(nèi)插變換應用中,變換誤差過大導致的波束形成性能下降的問題,本文提出將權值和變換誤差約束為近似正交的關系,在信號的協(xié)方差矩陣上加載誤差協(xié)方差矩陣的方法,以約束變換誤差對波束形成性能的影響. 與現(xiàn)有方法相比,該方法大大提高了內(nèi)插變換應用于波束形成時的適用角度范圍,同時減弱了對虛擬陣陣列形式的過多要求. 本文在考慮互耦等情況下,對改進的算法進行了仿真分析. 結果表明,該方法能在增加適用角度范圍的同時,補償陣列本身帶來的誤差.

1 陣列流形和信號模型

1.1 陣元為理想點源的接收信號模型

為了簡化分析,僅考慮方位角平面,以θ表示方位角方向.因為方法不受陣列形式的約束,所以考慮一個由M1個理想點元構成的一般陣列,該陣列在θ處的陣列響應矢量表示為a(θ),為M1×1的矢量.假設一個遠場窄帶信號s(t)和p個干擾信號ik(t),(k=1,2,…,p)入射到該陣列,則M1×1的接收信號矢量x(t)的數(shù)學模型可以寫成:

=AS(t)+n(t).

(1)

1.2 考慮陣元方向圖和互耦的接收信號模型

在1.1節(jié)的信號模型分析中,假設各陣元相對于其他陣元獨立工作且各向同性. 然而,實際單元往往是定向單元,且陣元間的互耦效應在陣列天線的實際工作中常常是不可避免的.

考慮方向圖和互耦的時候,式(1)中的陣列接收數(shù)據(jù)模型為:

x(t)=C[F·A]S(t)+n(t).

(2)

式中:F為M1×(k+1)的輻射方向圖矩陣,第(m,n)個元素代表第m個單元對第n個信號的響應;C為M1×M1的陣列單元耦合矩陣. 此時的真實陣列流形矩陣為C[F·A].

陣元間互耦存在時, 由于陣元入射開路電壓的二次反射, 陣元的輸出電壓變?yōu)殛囋_路電壓以相應的互耦系數(shù)為權系數(shù)的線性疊加. 互耦矩陣求解方法為[13]:

C=(Z/ZL+I)-1.

(3)

式中:

真實陣列接收信號協(xié)方差矩陣R為:

R=E{x(t)x(t)H}.

(4)

式中:E{·}表示期望;H表示共軛轉置.

2 陣列轉換及誤差分析

真實陣列和虛擬陣列之間的變換矩陣為:

(5)

式中:‖·‖F(xiàn)為Frobenius模;矩陣B表示虛擬陣列與真實陣列之間這種變換關系,為虛擬變換矩陣.

當變換范圍內(nèi)插值抽樣點數(shù)大于真實陣列的陣元數(shù),且真實天線陣的陣列流形矩陣A(θc)為滿秩,通過最小二乘法求得真實陣列和虛擬陣列之間的變換矩陣:

B=Av(θc)AH(θc)(A(θc)AH(θc))-1.

(6)

變換誤差矩陣為:

ΔE=BA(θc)-Av(θc),

(7)

在任意角度θ處,變換誤差Δe(θ)=Ba(θ)-av(θ).

定義變換誤差為:

(8)

虛擬陣列中接收信號模型為:

xv(t)=Bx(t).

(9)

利用真實陣列流型與虛擬陣列流型之間的變換矩陣,將真實陣列輸出轉換為虛擬陣列輸出,總是存在變換誤差.變換誤差取決于真實陣列及對應的虛擬陣列設置,以及內(nèi)插變換的精度及變換角度范圍.

假設真實陣列采用如圖1所示的圓陣[8],圓陣半徑r=1.28λ(λ表示波長),選取16單元圓陣中1-9號陣元.

為了與實際相結合同時簡化分析,陣列建模時,用有向單元代替點源,同時考慮互耦的影響.采用的單元方向圖為cosφ,單元僅向外輻射,且不考慮極化,考慮曲面的遮擋效應;對于任意單元,只考慮與之相鄰的2個單元間距內(nèi)陣元的互耦影響,互耦矩陣如式(3)所示. 其中單元自阻抗和互阻抗在CST中用對稱振子組陣求得,對稱振子臂長39.88 mm,半徑2 mm,兩臂間距0.24 mm,離散端口饋電電阻50Ω,互耦矩陣中的Z/ZL對應值為:

值得注意的是,陣列建模中,方向圖和互耦矩陣的引入,是為了驗證本文提出的算法在該情況下的有效性,其取值并不會影響對算法有效性的驗證.本文的數(shù)據(jù)僅作為理論分析的參考值.

此外,選擇x軸正向為角度θ參考軸,逆時針方向為正方向.

圖1 真實陣列及虛擬線陣示意圖

虛擬線陣單元為各向同性,單元數(shù)為5,陣元間距d=0.5λ,虛擬線陣距離x軸為h=0.82λ,如圖1所示. 變換范圍從20°至180°,區(qū)間變換步長為0.1°,此時變換誤差與變換角度范圍的變化關系如圖2所示.

圖2 變換角度范圍和變換誤差關系

從圖2中可以看出：隨著變換角度范圍的增加,內(nèi)插變換誤差增加,在變換角度范圍小于60°時,變換誤差在6.3×10-4以下;角度范圍大于60°時,變換誤差迅速增大;當變換角度范圍大于100°時,顯然變換誤差很大,在180°處,接近0.50.

從上面的分析可知,在變換角度范圍過大時,內(nèi)插變換誤差的影響不可忽略.本文接下來的分析中,通過對最小方差無失真響應(Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)算法權值計算公式及陣列響應誤差的分析,將權值和誤差約束為近似正交的關系,減小變換誤差對虛擬陣列響應的影響.

3 算法及改進權值計算

MVDR波束形成器是在控制信號分量無失真地通過濾波器的情況下,最小化輸出功率,從而使得無用信號所貢獻的功率最小. 將MVDR算法應用于虛擬陣列中,并且分析變換誤差對權值計算中的影響:

(10)

(11)

式中，L是采樣快拍數(shù).

權值解為:

(12)

加權后的輸出為:

(13)

根據(jù)上文的描述,可知角度θ處對應的虛擬陣列空間響應偏差表達式為:

(14)

式(14)中,如果將權值wv約束為與變換誤差Δe(θ)正交,則可以減少空間響應偏差.

(15)

令

ΔRE=ΔEΔEH,

(16)

式中,ΔRE在本文中稱為誤差協(xié)方差矩陣.則此時式(15)轉化為:

(17)

同時考慮權值的相關條件式(10)和式(17),則改進后的利用加載誤差協(xié)方差矩陣來約束空間響應誤差的表達式為:

(18)

α為[0,1)之間的常數(shù),α取值越大,式(18)求解出的權值與誤差的正交性越好;但是α過大會使加載量過大而降低干擾抑制的性能.

圖3為不同的輸入信噪比時,G(Θ)隨α的變化曲線. 保證權值與誤差矩陣的列有較好的正交性,即G(Θ)盡可能小的同時,α的取值盡可能小.

圖3 G(Θ)隨不同α的變化曲線圖

式(18)中,相當于在信號的協(xié)方差矩陣上加載了一個誤差的協(xié)方差矩陣,變?yōu)?

(19)

這也是本文提出的權值和內(nèi)插變換誤差近似正交方法的實現(xiàn)方式.

改進后的權值解為:

(20)

加權后的輸出為:

(21)

4 算法步驟總結

根據(jù)所提出的改進方法,再參考內(nèi)插變換虛擬陣列波束形成的過程,算法步驟總結如下:

2) 確定真實陣列在Θ上Ncal個抽樣點處真實陣列響應矢量構成的真實陣列流形矩陣:

在實際情況下,真實陣列響應矢量應包含方向圖和互耦影響,如式(2)所示;

3) 根據(jù)所假設的虛擬陣列,得到虛擬陣列在Θ上Ncal個抽樣點處虛擬陣列響應矢量構成的虛擬陣列流形矩陣:

4) 根據(jù)式(6)得到變換矩陣B,再根據(jù)式(7)得到變換誤差矩陣ΔE;

6) 根據(jù)式(20)求出權值wv,進行波束形成.

5 仿真及結果分析

本文通過幾組仿真實例驗證所提出的改進算法的有效性. 另外,仿真條件的設置參考了文獻[7].

1) 仿真實驗一:變換角度范圍較小的情況

圖4 真實陣列和虛擬線陣四種方法波束形成對比圖(變換范圍為

圖4中,理想情況作為其他幾種方法的參照,陣元是各向同性,且不考慮互耦及載體曲面的遮擋時的圓陣波束形成結果.

考慮互耦情況為,在接收信號中存在互耦影響時,圓陣波束形成結果;為了與虛擬線陣波束形成的互耦補償效果對比,該波束形成過程中未對互耦進行補償. 如圖所示,在干擾1(65°)和干擾2(140°)處,零陷變淺,無法實現(xiàn)對干擾的有效抑制.

內(nèi)插變換方法為將實際情況接收信號數(shù)據(jù)變換到虛擬線陣中的波束形成結果;本文提出的方法是在內(nèi)插變換方法的基礎上,將權值和變換誤差約束為近似正交關系的波束形成結果.

在變換范圍較小的情況下,內(nèi)插變換法和本文提出的方法都能在變換范圍內(nèi)(60°～120°)很好地實現(xiàn)波束形成. 如圖所示,在變換角度較小的情況時,兩種方法的結果曲線幾乎重合. 在干擾1(65°)處形成穩(wěn)定的,較深的零陷(約-48 dB);而在變換范圍外,波束形成的效果較差,干擾2(140°)處,零陷變淺(約-30.5 dB).

2)仿真實驗二:變換角度范圍較大情況

圖5 真實陣列和虛擬線陣四種方法波束形成對比圖(變換范圍為

如圖5所示,在變換角度范圍較大的情況下,變換誤差變大,此時變換誤差的影響不可忽略. 因此,采用原來的內(nèi)插變換波束形成的方法時,變換誤差過大導致了波束形成性能的下降. 干擾點(65°)處零陷變淺(約-34 dB),干擾點(140°)處零陷偏移(在干擾點處約-31 dB);而改進后的權值約束誤差的方法依然能很好地實現(xiàn)對互耦帶來的誤差的補償,在干擾點65°和140°處都能形成穩(wěn)定的,較深的零陷(分別約為-48 dB、-40 dB).

3)仿真實驗三:輸出SINR隨輸入SNR變化

分別對仿真實驗一和仿真實驗二中的輸入SNR進行變化,變化范圍0 dB至25 dB,其他條件不變,對比幾種波束形成方法的輸出SINR的變化.

(a) 變換范圍為

(b) 變換范圍為圖6 輸出SINR隨輸入SNR變化曲線圖

從圖6中可以看出,實際情況下,由于互耦的影響,圓陣波束形成中輸出SINR結果較差.

4)仿真實驗四:虛擬陣列其他設置情況

將虛擬陣元數(shù)改為9,且虛擬陣元間距變?yōu)閐1=0.25λ,其他條件同仿真實驗二.

由于虛擬陣列設置不同,此時對應的內(nèi)插變換誤差不同(0.67). 與仿真實驗一和仿真實驗二相比,變換誤差增大,導致內(nèi)插變換方法的波束形成性能大大下降,而改進后的方法對陣列形式的依賴性相對較弱些.

如圖7所示,在虛擬陣元數(shù)為9、陣列間距為0.25λ時,采用內(nèi)插變換的方法進行波束形成,性能大大下降,無法對干擾形成良好的抑制,且輸出SINR較差;而改進的方法依然能在干擾處(65°和140°)形成穩(wěn)定的零點,實現(xiàn)良好的干擾抑制效果. 輸出SINR雖然受到變換誤差過大的影響,但依然要較內(nèi)插變換的方法更優(yōu).

(a) 波束形成圖

(b)輸出SINR隨輸入SNR變化曲線圖圖7 虛擬陣列在其他設置情況(n1=9,d1=0.25λ)

6 結 論

內(nèi)插變換方法可以將真實陣列接收到的數(shù)據(jù)轉換到所需要的虛擬陣列中,可以對陣列互耦等誤差進行補償,也可以改變陣列的自由度等,但是存在“角度敏感”的問題. 本文通過加載誤差協(xié)方差矩陣的方法來約束空間響應誤差,可以解決因為內(nèi)插變換誤差較大,虛擬陣列波束形成中產(chǎn)生的干擾處零陷變淺或者偏移的問題,實現(xiàn)內(nèi)插變換在更大角度范圍內(nèi)波束形成的應用. 而且,這種方法針對變換誤差設計,對虛擬陣列的陣列形式要求更低,波束形成性能更好. 本文提出的方法中,真實陣列不受到陣列形狀的限制,除了本文所提到的圓環(huán)陣,還可以適用于其他陣列.

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耿軍平 (1972—),男,陜西人,副教授,主要研究方向為電磁場理論、電磁計算方法、現(xiàn)代天線技術、信號處理等.

梁仙靈 (1978—),男,浙江人,副教授,主要研究方向為現(xiàn)代天線理論與技術、有源相控陣列、DBF陣列等,發(fā)表相關學術刊物及會議論文180余篇.

朱衛(wèi)仁 (1983—),男,浙江人,特別研究員,博士生導師,主要研究方向為人工電磁超材料的理論及實現(xiàn)、基于超材料的天線及射頻器件、表面等離子體激元等.

金榮洪 (1963—),男,江蘇人,教授、博士生導師,主要研究方向為電磁場理論、現(xiàn)代天線技術、電磁計算方法、天線信號處理、智能天線及相控陣天線等.

莊凱杰 (1993—),男,江蘇人,碩士研究生,主要研究方向為電磁場理論,現(xiàn)代天線技術等.

Virtual array beamforming based on the constraint of interpolation mapping errors using orthogonal weights

HU Danting1GENG Junping1LIANG Xianling1ZHU Weiren1JIN Ronghong1,2ZHUANG Kaijie1

(1.DepartmentofElectronicEngineering,ShanghaiJiaotongUniversity,Shanghai200240,China;2.NationalKeyLaboratoryofScienceandTechnologyonMicro/NanoFabrication,Shanghai200240,China)

When the interpolation technology is applied to beamforming, data for a virtual array are required to be obtained using interpolated transformation of real data. However, the interpolation mapping errors will affect the performance of virtual array beamforming, especially at wide angles. In this paper, we present an improved algorithm by optimizing the array weights to constrain the mapping errors. The key feature of this algorithm is keeping the orthogonality between the mapping errors and the weights, which can be achieved by loading the covariance matrix of the mapping errors on that of the signals. By doing this, the beamforming performance of the virtual array can be improved, even for relatively large mapping errors. Numerical simulations confirm the validity of proposed algorithm for wide angle beamforming, which shows stable and deep nulls in the direction of interference, and thus, increases the signal to interference and noise ratio(SINR) of the virtual array beamforming. In comparison with the existing methods, the proposed virtual array beamforming method can compensate the real array errors, and be feasible over wide sectors as well, with lower computational complexity.

interpolation; beamforming; mapping error; orthogonality; beamforming performance

2017-01-12

國家自然科學基金(61571289，61571298，61471240)

10.13443/j.cjors.2017011201

TN821

A

1005-0388(2017)01-0008-08

胡丹婷 (1992—),女,江西人,碩士研究生,主要研究方向為陣列信號處理,自適應波束形成等.

聯(lián)系人： 耿軍平 E-mail：gengjunp@sjtu.edu.cn

胡丹婷, 耿軍平, 梁仙靈, 等. 基于權值約束變換誤差的虛擬陣列波束形成[J]. 電波科學學報,2017,32(1):8-15.

HU D T, GENG J P, LIANG X L, et al. Virtual array beamforming based on the constraint of interpolation mapping errors using orthogonal weights [J]. Chinese journal of radio science,2017,32(1):8-15. (in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.2017011201