空氣中水體溫度下降隨時間的變化模型

中國人民解放軍后勤工程學(xué)院 何昊男 韓 明 楊繼寶 丁志康

空氣中水體溫度下降隨時間的變化模型

中國人民解放軍后勤工程學(xué)院 何昊男 韓 明 楊繼寶 丁志康

本模型準(zhǔn)備建立一個空氣中水體溫度下降隨時間的變化模型，當(dāng)杯子中剛倒上一杯滾燙的水時，溫度傳感器采集數(shù)據(jù)，傳輸給處理芯片，芯片根據(jù)預(yù)先編好的溫降模型，計算出水體下降到人們需要的溫度時所需要的時間，然后達(dá)到這個時間后，提醒人們水的溫度已經(jīng)適合飲用，讓人們不再錯過喝水的最佳時間。本研究采用最小二乘法準(zhǔn)則進(jìn)行曲線擬合，得到函數(shù)表達(dá)式的各個待定系數(shù)的值，最后再將擬合函數(shù)曲線與實(shí)際溫度下降曲線進(jìn)行對比。

溫降模型；最小二乘法

1 制定計劃以及實(shí)驗(yàn)探究

以不同體積的熱水作為探究的對象。將體積分別為250ml、350ml和滿杯的水加熱至沸騰，選用塑料杯和玻璃杯兩種容器來盛裝水，然后利用溫度傳感器對其降溫過程進(jìn)行實(shí)時監(jiān)測，記錄其溫度變化數(shù)據(jù)，利用計算機(jī)進(jìn)一步分析處理。

實(shí)驗(yàn)步驟：1）將沸水倒入杯中，將溫度傳感器探頭伸入水中，同時開始進(jìn)行環(huán)境溫度與水體溫度的監(jiān)測，每10s記錄一次數(shù)據(jù)。2）采集體積為350ml和滿杯的沸水的降溫過程溫度變化數(shù)據(jù)。3）處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并且根據(jù)曲線特點(diǎn)選擇合適的函數(shù)進(jìn)行擬合。

2 理論分析與數(shù)據(jù)處理

假設(shè)環(huán)境溫度不變，由牛頓的冷卻定律可知：將溫度為T的物體放入處于常溫的介質(zhì)中時，T 的變化速率正比于T與周圍介質(zhì)的溫度差。即：

求解微分方程可得：

其中T(t)是實(shí)時溫度，t是時間，T0為環(huán)境溫度，c、k是待定參數(shù)。理論上，當(dāng)開始降溫時于是上式變?yōu)椋?/p>

因此C就是熱水與環(huán)境的最大溫差。

基于上面的分析，可以再測量任一時刻的水溫，即可以確定K的值。同時，僅改變熱水的體積不會對C值產(chǎn)生影響，只影響K。此外，根據(jù)熱水的冷卻時間與水杯的體積成反比的特性可知：

其中，a, b為待定系數(shù)，V為熱水體積?？梢酝ㄟ^改變熱水體積的方式確定a, b，從而得到水溫（給定環(huán)境溫度以及熱水體積）隨時間的變化情況：

這種計算的優(yōu)點(diǎn)在于，不需要太多的水溫變化數(shù)據(jù)，只需保持其它實(shí)驗(yàn)條件不變的情況下，改變熱水的體積，每種體積下測量兩次溫度（包括初始溫度），就可以得到水溫隨時間變化的具體公式，進(jìn)而利用這個公式預(yù)測給定時刻的水溫。缺點(diǎn)是缺乏對具體實(shí)驗(yàn)環(huán)境的考慮，比如：水杯的材質(zhì)、水杯的密封程度（開口或閉口）等可能會影響水溫變化的條件，為了克服理論計算的不足，可以從具體實(shí)驗(yàn)環(huán)境下得到的數(shù)據(jù)出發(fā)，采用函數(shù)擬合的方法來充分提取數(shù)據(jù)信息，預(yù)測不同時刻的水溫。

3 基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與函數(shù)擬合的水溫下降模型

3.1 擬合的思路

根據(jù)牛頓冷卻定律，可以提出類似的擬合函數(shù)T(t)，令：

其中，T0是環(huán)境溫度，c、k、a、b是待定系數(shù)，V為熱水體積，Ti是ti時刻對應(yīng)的溫度值。J(T0, c, k)為各時刻ti對應(yīng)的計算值T(ti)與實(shí)際溫度值Ti間誤差的平方和。

本研究采用最小二乘法準(zhǔn)則進(jìn)行曲線擬合。其基本思路是根據(jù)構(gòu)造好的擬合函數(shù)T(t)，計算T(ti)，使得T(ti)與實(shí)際溫度值Ti間誤差的平方和最小，即：尋找非線性規(guī)劃minJ(T0, c, k)的最優(yōu)解。這種擬合方法稱為最小二乘擬合。

3.2 模型求解與數(shù)據(jù)實(shí)例

保持其它實(shí)驗(yàn)條件不變，僅改變熱水的體積進(jìn)行降溫實(shí)驗(yàn)，將數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB軟件編程進(jìn)行函數(shù)擬合。為了測試模型效果，分別選用不同規(guī)格以及型號的水杯盛放不同體積的熱水，并在恒溫箱中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

首先利用烘箱保持環(huán)境溫度為40℃的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合（由于水杯剛放入設(shè)備時環(huán)境溫度不穩(wěn)定，因此計算使用數(shù)據(jù)是從玻璃杯裝的熱水溫度降到74.1℃時篩選其中的一部分；同時塑料杯的熱水溫度從74℃開始篩選），實(shí)驗(yàn)預(yù)設(shè)參數(shù)以及擬合系數(shù)的計算結(jié)果如下所示：

表1 熱水降溫公式的數(shù)據(jù)擬合系數(shù)列表

可以看出，當(dāng)實(shí)驗(yàn)初始溫度固定后，即使體積變化，c的值基本上變動不大，接近理論模型值，約為。

4 結(jié)論

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ陀嬎阈Ч?，可以根?jù)計算結(jié)果構(gòu)造擬合曲線并繪圖與真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，如圖1與圖2，可以看出擬合曲線在絕大多數(shù)時刻都與真實(shí)溫度很接近，如果不用工具測量，人體很難感受到這種差異。因此利用本模型來預(yù)測熱水溫度是有效的。

此外，選用不同的時間與體積單位也會有不同公式，選用不恰當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行計算，在實(shí)際計算中有可能會因?yàn)榱烤V而產(chǎn)生較大的誤差，但通過實(shí)例計算，反復(fù)觀察計算效果，本文選用的時間單位是分鐘，體積V的單位是ml進(jìn)行計算，得到了較好的結(jié)果。同時，初始計算溫度對參數(shù)也是有影響的，選用不同的數(shù)據(jù)會得到不同的降溫公式。因而，實(shí)例計算得到的模型只能預(yù)測74℃以下的兩類型號玻璃杯（在相應(yīng)三種熱水體積）的降溫情況。但是不管那種公式，擬合誤差都比較小。說明這種數(shù)據(jù)擬合的方法預(yù)測效果是穩(wěn)定的、合理的。

圖1 250ml閉口塑料杯降溫曲線圖

圖2 250ml閉口玻璃杯降溫曲線圖

[1]葛新石,葉宏等.傳熱和傳質(zhì)基本原理[M].北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2009.

[2]姜啟源,謝金星等.數(shù)學(xué)建模[M].北京:高等教育出版社,2005.