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    基于Duhamel積分的地震作用下車橋耦合振動分析

    2017-05-18 01:09:26謝智奕沈火明
    四川建筑 2017年2期
    關(guān)鍵詞:車橋阻尼模態(tài)

    謝智奕, 沈火明

    (西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院,四川成都 610031)

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    基于Duhamel積分的地震作用下車橋耦合振動分析

    謝智奕, 沈火明

    (西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院,四川成都 610031)

    文章應(yīng)用達朗貝爾原理推導(dǎo)了6自由度車輛模型,應(yīng)用有限元法推導(dǎo)了橋梁模型,應(yīng)用逆迭代法求解兩個系統(tǒng)的模態(tài)振型和自振頻率,采用加速度輸入模式將地震輸入到車橋耦合系統(tǒng)中,最后通過Duhamel積分法和振型疊加法求得車橋耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng),通過算例與傳統(tǒng)Newmark-β法相對比,結(jié)果表明:通過本文方法計算的地震作用下車橋耦合的動力響應(yīng)結(jié)果與傳統(tǒng)Newmark-β法的結(jié)果接近,極值點誤差范圍在5 %以內(nèi)。

    車橋耦合; 地震作用; Duhamel積分; Newmark-β法; 振型疊加法

    隨著高速鐵路的大量普及,客運列車向著高速化、貨運列車向著重載化的方向發(fā)展,車橋耦合問題已經(jīng)成為國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點[1-6]。而地震作用會對橋梁造成嚴重破壞,極大地影響橋梁上車輛行駛的安全,因此對地震作用下的車橋耦合問題研究具有重要意義。地震波在地面的運動是一種復(fù)雜的空間運動,地震加速度不僅包括水平向分量,還包括豎向分量。根據(jù)大量資料及研究[1-5]、[10],雖然水平作用對橋梁結(jié)構(gòu)的影響最大,但是當(dāng)車輛行駛在橋梁上時,地震的豎向作用對車輛行駛危害也非常大,甚至?xí)斐擅撥壩kU,極大地威脅著車輛及乘客的安全,所以本文主要研究地震的豎向作用。目前研究地震作用下的車橋耦合問題通常采用的是Newmark積分法等逐步積分法,但是該方法對時間精度的要求較高,而一些地震波的記錄由于持時較長,所取時間間隔也相對較長,這就影響了計算的精確度。本文采用基于Duhamel積分的車橋耦合動力分析方法,該方法能顯著提高積分步長[6],從而解決了地震波記錄數(shù)據(jù)時間間隔的問題。

    1 Duhamel積分法[6]

    設(shè)一低阻尼單自由度系統(tǒng)的運動方程為

    (1)

    其中m、k、c是系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼,z為位移,f(t)為荷載力。整理得到:

    (2)

    將式(2)的解用Duhamel積分展開并整理得到:

    (3)

    求導(dǎo)得到:

    (4)

    式中:

    (5)

    (6)

    (7)

    (8)

    (9)

    這里假設(shè)荷載在(t, t+Δt)內(nèi)是線性變化的,有

    (10)

    通過式(10)可以確定參數(shù)a,b的值。對于某確定結(jié)構(gòu),其ω、ξ為定值,在Δt不變的情況下,計算中的H、Q和P也保持不變,根據(jù)式(3)和式(4)將上一時刻的動力響應(yīng)帶入計算可得下一時刻的動力響應(yīng),在整個時間段內(nèi)依次積分最后得全時間段的動力響應(yīng)。

    2 車橋耦合模型

    2.1 橋梁模型

    橋梁系統(tǒng)包括主梁、橋墩和支座,本文在計算時不考慮支座和墩高對車橋耦合的影響,故設(shè)橋墩與主梁剛結(jié),橋墩與主梁參數(shù)一致。采用平面剛架單元建立橋梁有限元模型,其位移向量為[ui,vi,θi,uj,vj,θj]T,單元內(nèi)部點的位移計算采用Hermite插值[7]計算,質(zhì)量矩陣采用一致質(zhì)量矩陣,其單位質(zhì)量矩陣為:

    (11)

    橋梁阻尼采用Rayleigh阻尼,

    CB=a0MB+a1KB

    (12)

    ωm、ωn為橋梁系統(tǒng)前兩階自振頻率,MB、KB分別為橋梁的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。

    2.2 車輛模型

    車輛系統(tǒng)采用剛體-彈簧-阻尼的整車模型,由于沿車輛運行方向的縱向振動對橋梁的豎向振動影響極小,并且車輛豎向與橫向振動之間的耦合效應(yīng)較弱,因此本文在計算時將車橋耦合振動響應(yīng)分為豎向與橫向兩個平面振動,所以在車橋耦合振動分析中,僅分析車輛的浮沉與點頭2個自由度,包括車體及前后轉(zhuǎn)向架共6個自由度。假設(shè)兩轉(zhuǎn)向架的一、二系彈簧剛度、阻尼系數(shù)相同,采用達朗貝爾原理推導(dǎo)其質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣,得到車輛系統(tǒng)的運動方程[1]。

    2.3 車橋耦合模型

    橋梁與車輛系統(tǒng)的運動方程為:

    (13)

    (14)

    式中下標(biāo)B、V分別代表橋梁系統(tǒng)和車輛系統(tǒng),F(xiàn)BV和FVB為車輛與橋梁的相互作用力。

    兩個系統(tǒng)通過輪軌接觸相聯(lián)系,本文不考慮軌道不平順的影響,對兩個系統(tǒng)采用振型疊加法,將其運動方程化為模態(tài)運動方程[6]。

    對于橋梁系統(tǒng),設(shè)其為正交阻尼結(jié)構(gòu),采用逆迭代法求解系統(tǒng)的振型ΦB和自振頻率ωB,假設(shè)各階模態(tài)阻尼比為ξB,設(shè)橋梁的廣義振型坐標(biāo)列向量為qB,則位移向量可表示為:

    (15)

    將式(15)代入式(13)中,可以得到橋梁系統(tǒng)的模態(tài)運動方程:

    (16)

    對于車輛系統(tǒng),由于其阻尼矩陣CV不具有正交性,因此引入假定的車輛阻尼比ξV,并將式(14)中的阻尼相移動到右端,再進行同樣的模態(tài)變換,可以得到車輛系統(tǒng)的模態(tài)運動方程:

    (17)

    3 地震激勵的輸入

    地震激勵的輸入采用加速度輸入模式[8],直接運用實測地震波的加速度時程,不考慮行波效應(yīng),廣義地震力[5]為:

    (18)

    4 算例

    選取單節(jié)四軸列車在地震作用下通過一32 m的簡支梁橋作為算例,地震波選取典型強震記錄El-Centro波輸入,采用縱向+豎向一致輸入,豎向地震加速度時程與縱向一致,但加速度峰值取0.65倍。不考慮軌道不平順,車速v取50 m/s,車輛信息見文獻[9]。橋梁彈性模量E取35 GPa,橫截面積A為4.8 m2,截面抗彎慣性矩I取22 m4,密度取2 600 kg/ m3,橋梁劃分為長度一致的320個梁單元,取前20階模態(tài),各階模態(tài)阻尼比取為0.05。當(dāng)?shù)卣痖_始時列車上橋,地震持時50 s,步長取與地震波記錄時間間隔一致為0.02 s。為驗證本方法的正確性,將本文方法與傳統(tǒng)Newmark-β法的結(jié)果作對比,計算結(jié)果如圖1和圖2所示。

    圖1 Newmark-β法計算的橋梁跨中豎向加速度時程

    圖2 本文方法計算的跨中加速度時程

    從圖1和圖2可見,本文的方法和傳統(tǒng)Newmark-β法求得的地震作用下車橋耦合動力響應(yīng)結(jié)果非常接近,極值點的誤差范圍在5 %以內(nèi),說明本文的方法可行。

    5 結(jié)束語

    應(yīng)用達朗貝爾原理推導(dǎo)了6自由度車輛模型,應(yīng)用有限元法推導(dǎo)了橋梁模型,應(yīng)用逆迭代法求解兩個系統(tǒng)的模態(tài)振型和自振頻率,采用加速度輸入模式將地震輸入到車橋耦合系統(tǒng)中,最后通過Duhamel積分法和振型疊加法求得車橋耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng),并與傳統(tǒng)Newmark-β法相對比,驗證了本文方法的可行性。

    [1] XIA H,DEROECKG,GOICOLEAJ M.Bridgevibration and controls: newresearch [M].New York:Nova Science Publishers Inc.,2011:15 -65.

    [2] 翟婉明.車輛-軌道耦合動力學(xué)[M]. 北京:科學(xué)出版社,2007:1-11,116-133.

    [3] 翟婉明,夏禾. 列車-軌道-橋梁動力相互作用理論與工程應(yīng)用[M]. 北京:科學(xué)出版社,2011 : 8-23.

    [4] 杜憲亭. 強地震作用下大跨度橋梁空間動力效應(yīng)及列車運行安全研究[D]. 北京:北京交通大學(xué),2011.

    [5] 夏禾. 車輛與結(jié)構(gòu)動力相互作用[M]. 北京:科學(xué)出版社,2002 : 11 -29,88 -92,200-207.

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    [9] 杜憲亭,夏禾,張?zhí)?,? 基于精細Runge-Kutta混合積分法的車橋耦合振動非迭代求解算法[J]. 振動與沖擊,2013,32(13): 39-42.

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    謝智奕(1991~),男,碩士研究生,研究方向為噪聲與振動控制。

    沈火明(1968~),男,博士,教授,博士生導(dǎo)師,研究方向為結(jié)構(gòu)振動與控制。

    U441+.3

    A

    [定稿日期]2017-03-25

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