單快拍虛擬陣列Toeplitz矩陣重構(gòu)的相干信源DOA估計

朱進(jìn)勇+王立冬++孟亞峰

摘 要： 針對相干信源的DOA估計，提出一種基于單快拍虛擬陣列Toeplitz矩陣（SSVT）重構(gòu)的解相干算法。該方法利用陣元接收的單快拍數(shù)據(jù)構(gòu)造出雙向虛擬子陣，并對虛擬子陣的協(xié)方差矩陣的平均值進(jìn)行Toeplitz矩陣重構(gòu)，實現(xiàn)對相干信源的DOA估計。該方法無需進(jìn)行多次快拍，在不損失陣列孔徑和工作陣元的基礎(chǔ)上實現(xiàn)相干信源的DOA估計。仿真結(jié)果表明，該算法降低了運算量，在低信噪比的情況下也能分辨?zhèn)€相干信源。

關(guān)鍵詞： DOA； 相干信號； 虛擬陣列； 單快拍； Toeplitz矩陣

中圖分類號： TN911.7?34 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2017）09?0001?04

Abstract： Aiming at the DOA estimation of the coherent signal source， a decoherent algorithm based on single snapshot virtual array Toeplitz （SSVT） matrix reconstruction is proposed. The method uses the single snapshot data received by the array element to construct the bidirectional virtual submatrix. The Toeplitz matrix reconstruction is performed for the mean value of the covariance matrix of the virtual submatrix to estimate the DOA of the coherent signal source. It is unnecessary for the method to conduct the multiple snapshots， and can estimate the DOA of the coherent signal source on the basis of ensuring the array aperture and work array element. The simulation results show that the algorithm can reduce the computation， and distinguish the coherent signal sources in the case of low SNR.

Keywords： DOA； coherent signal； virtual array； single snapshot； Toeplitz matrix

0 引 言

波達(dá)方向角（Direction of Arrival，DOA）估計一直是陣列信號處理的熱點內(nèi)容，在通信、雷達(dá)和聲納等系統(tǒng)中有著廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)的多重信號分類法[1]（Multiple Signal Classification，MUSIC）和信號參數(shù)估計的旋轉(zhuǎn)不變子空間技術(shù)[2]（Estimation of Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT）已經(jīng)具有較高的估計性能，但是這些算法都是基于特征值分解運算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，而且往往為了獲得良好的估計性能需要成百上千的快拍數(shù)，這在實際的工程應(yīng)用中不太實際。在受到多徑效應(yīng)影響或敵方設(shè)置相干信源干擾的情況下，傳統(tǒng)的子空間類算法的估計性能也急劇下降，甚至失效。

為了能夠有效地對相干信號進(jìn)行估計，國內(nèi)外學(xué)者提出許多解相干的算法。文獻(xiàn)[3]提出空間平滑思想，文獻(xiàn)[4]提出前后向空間平滑算法，空間平滑類算法能夠有效實現(xiàn)解相干，在高信噪比下具有良好的估計性能，但在低信噪比下估計性能嚴(yán)重下降而且是以犧牲陣列孔徑為代價。文獻(xiàn)[5]提出的虛擬內(nèi)插技術(shù)實現(xiàn)了將真實陣列變換成一個或多個與原陣列具有相同結(jié)構(gòu)的陣列，實現(xiàn)了增加虛擬陣元的目的。文獻(xiàn)[6]提出的重構(gòu)協(xié)方差矩陣，在一定程度上提高了分辨率，但都是建立在較大的快拍數(shù)情況下，并不利于實時處理。文獻(xiàn)[7]提出的單快拍直接數(shù)據(jù)域算法，不損失陣列孔徑，運算量低，但該算法的重構(gòu)原理建立在入射信號類型是初始相位為零的非圓信號，這在實際應(yīng)用中太過于苛刻。文獻(xiàn)[8]提出利用陣列接收數(shù)據(jù)及其共軛信息，構(gòu)造虛擬子陣，在小樣本情況下也能適用，與FBSS算法相比提高了分辨率，避免了陣列孔徑損失，但是僅適用于MASK，BPSK和AM等實值調(diào)制類信號。文獻(xiàn)[9]采用單向虛擬陣列變換思想，能夠分辨?zhèn)€相干信源，但建立在多快拍數(shù)的情況下，不利于實際工程應(yīng)用，而且單向虛擬沒有充分利用各個陣元的共軛信息。

基于對以上算法的分析，本文結(jié)合虛擬陣列思想[9?10]和Toeplitz矩陣[11]的特點，提出單快拍虛擬陣列Toeplitz矩陣重構(gòu)的解相干算法（Single Snapshot Virtual Array Toeplitz Matrix，SSVT）。該算法基于陣列內(nèi)插變換思想，利用天線陣列接收的單次快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行雙向虛擬平移，目的是為了能夠充分利用各個陣元輸出的共軛信息，并對平移后的虛擬陣列數(shù)據(jù)組合成的矩陣進(jìn)行協(xié)方差處理，然后對平均后的協(xié)方差矩陣進(jìn)行Toeplitz處理，目的是為了使其能夠更加接近真實的協(xié)方差矩陣。

1 信號模型

如圖1所示為個全方向等距陣元組成的線陣（ULA），陣元間距為

假設(shè)來自空間的遠(yuǎn)場窄帶部分相干或者全部相干的個信源以平面波的形式入射到線陣上，波達(dá)方向角為，則第個陣元接收的信號為：

2 SSVT算法

2.1 雙向虛擬子陣

虛擬子陣的主要思想源于內(nèi)插變換，通過對陣列天線接收信號的某種變換構(gòu)造出虛擬陣元的信號以達(dá)到對原陣列的擴(kuò)展。本文先將天線陣列接收的單次快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行雙向虛擬子陣處理。其基本原理為將所有陣元向左和向右平移。向右平移時，每次將ULA等間距的向右平移距離形成一個虛擬子陣，如此繼續(xù)平移次。天線陣列等間距向右平移的示意圖如圖2所示。

2.2 Toeplitz矩陣重構(gòu)

通常情況下，雙向虛擬天線陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣具有共軛對稱性，也即Toeplitz性質(zhì)，然而由于虛擬陣列天線接收數(shù)據(jù)都是由一個實際陣列平移得到的，因此，受到的誤差影響較大，在低信噪比的情況下，也就只有主對角線占據(jù)優(yōu)勢。因此，可以采用Toeplitz矩陣對進(jìn)行處理，使其更加逼近真實的協(xié)方差矩陣。

Toeplitz矩陣的近似算法是將對角線上的元素進(jìn)行平均處理：

2.3 SSVT算法小結(jié)

通過以上的理論分析，將SSVT算法步驟總結(jié)如下：

（1） 利用實際單次快拍的陣列接收數(shù)據(jù)，分別左右平移構(gòu)造出虛擬子陣矩陣和

（2） 對虛擬子陣和進(jìn)行協(xié)方差處理，得到協(xié)方差矩陣和

（3） 根據(jù)式（15）得到平均協(xié)方差矩陣

（4） 對協(xié)方差矩陣進(jìn)行Toeplitz處理，得到

（5） 對進(jìn)行特征值分解，按照傳統(tǒng)MUSIC空間譜函數(shù)方法構(gòu)造譜函數(shù)，進(jìn)行遍歷搜索。

3 實驗仿真

為了驗證本文算法的解相干性能和估計性能，這里將本文算法SSVT與前向空間平滑算法（Forward Spatial Smoothing，F(xiàn)SS）進(jìn)行比較。

3.1 兩種算法的估計特性比較

實驗條件：采用8陣元的等距線陣，陣元間距為半波長，分為4個，5個和7個窄帶遠(yuǎn)場相干信源三種情況，其DOA分別為和。搜索步長FSS算法采用的采樣快拍數(shù)本文算法為單快拍，信噪比（Signal to Noise Ratio， SNR）為0 dB。圖4為4個窄帶遠(yuǎn)場相干信源的空間譜，圖5為5個和7個窄帶遠(yuǎn)場相干信源的空間譜。

從圖4可以看出FSS和SSVT都能實現(xiàn)對個相干信源的DOA估計。圖5中當(dāng)相干信源超過時，F(xiàn)SS算法失效，SSVT算法能夠準(zhǔn)確分辨出相干信源，當(dāng)相干信源增加到個時，SSVT算法依然能夠準(zhǔn)確地進(jìn)行DOA估計。因為FSS算法將個陣元的等距均勻線陣劃分為等長度相互疊加的子陣列，雖然通過子陣之間的滑動把協(xié)方差矩陣的秩恢復(fù)，但這是建立在犧牲陣列孔徑基礎(chǔ)上進(jìn)行的。SSVT算法經(jīng)過次平移，只是添加了時延，并沒有犧牲陣列孔徑，能夠?qū)崿F(xiàn)個相干信源的DOA估計。因此，SSVT算法能夠在單快拍、不損失陣列孔徑的情況下準(zhǔn)確地進(jìn)行相干信源的DOA估計。

3.2 兩種算法的統(tǒng)計特性比較

實驗條件：2個窄帶遠(yuǎn)場相干信源，其DOA為，仿真結(jié)果為300次Monte?Carlo統(tǒng)計結(jié)果，當(dāng)DOA估計結(jié)果在以內(nèi)時，認(rèn)定一次成功。其他實驗條件與3.1節(jié)中的實驗條件一致。

圖6和圖7為兩種算法均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）和成功概率與SNR的對比關(guān)系圖。

圖6中分別為陣元數(shù)三種情況下，RMSE隨SNR的變化關(guān)系比較曲線。由圖6可知，在低SNR、陣元數(shù)少的情況下，SSVT算法的RMSE比FSS算法的RMSE高，估計性能不太理想。隨著SNR增大和陣元數(shù)增多，RMSE已經(jīng)明顯減小，趨近于FSS。圖7為三種情況下，估計成功概率隨SNR的變化關(guān)系比較曲線。SSVT算法的估計成功概率低于FSS算法的成功概率，這與圖6反映的關(guān)系也相互對應(yīng)。這是由于SSVT算法在實質(zhì)上只利用了單次快拍的個陣元的數(shù)據(jù)，經(jīng)過次平移后累積誤差越來越大，從而導(dǎo)致估計性能下降，但在陣元數(shù)較多的情況下，所得到的陣元數(shù)據(jù)增多，DOA估計性能也會提高。

4 結(jié) 語

本文提出一種基于單快拍虛擬陣列Toeplitz矩陣重構(gòu)的解相干算法，該算法通過對陣元接收的單次快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行雙向虛擬陣列變換，并對變化后的協(xié)方差矩陣進(jìn)行Toeplitz處理。仿真實驗結(jié)果表明，該算法避免了陣列孔徑的損失，能夠?qū)€相干信源進(jìn)行DOA估計，同時，由于只需一次快拍，降低了運算量，更利于工程實際。

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