基于Norton方程的巖石蠕變損傷曲線的測定

許 騰，任思玉，樊 成，徐 濤

(大連大學(xué) 材料破壞力學(xué)數(shù)值試驗研究中心， 遼寧 大連 116622)

基于Norton方程的巖石蠕變損傷曲線的測定

許 騰，任思玉，樊 成，徐 濤

(大連大學(xué) 材料破壞力學(xué)數(shù)值試驗研究中心， 遼寧 大連 116622)

Norton方程通常用于反映金屬類材料的穩(wěn)態(tài)蠕變階段，為了研究Norton方程在巖石材料蠕變損傷的適用性，通過單軸蠕變壓縮試驗，對同一批試件施加不同軸向應(yīng)力，繪制不同應(yīng)力下的時間-蠕變曲線，隨著軸向應(yīng)力的增加巖石出現(xiàn)衰減、穩(wěn)態(tài)及加速蠕變?nèi)齻€階段。根據(jù)Norton提出的經(jīng)驗公式和七點法計算出巖石的應(yīng)力指數(shù)，結(jié)合損傷力學(xué)理論與Norton提出穩(wěn)定蠕變和加速蠕變的指數(shù)關(guān)系，計算出不同時間點的損傷變量，從而繪制出巖石的時間損傷曲線。采用前人提出的損傷模型繪制理論曲線和實驗曲線對比，結(jié)果表明該曲線符合巖石隨時間流變的損傷演化規(guī)律，從而得出巖石加速蠕變階段的損傷曲線符合Norton方程。

穩(wěn)態(tài)蠕變；加速蠕變；損傷；應(yīng)力指數(shù)；時間因子

損傷發(fā)生在巖石蠕變過程中的加速階段，是引起承載力失衡的主要原因。根據(jù)損傷力學(xué)理論，巖石發(fā)生損傷時有兩種常用方法定義損傷因子：一種是改變彈性模量，另一種是改變有效承載面積。許宏發(fā)[1]通過對軟巖進行單軸壓縮實驗得出隨時間增長，軟巖的剛度和彈性模量逐漸降低且符合指數(shù)曲線。張強勇等[2]在彈性模量劣化的基礎(chǔ)上，建立損傷本構(gòu)模型，認為巖石蠕變模型參數(shù)隨時間的增長而弱化，直觀地反映出巖體的損傷過程。文獻[3]在Kachanov損傷演化規(guī)律的基礎(chǔ)上構(gòu)建彈塑性損傷元件來描述巖石加速階段損傷演化。王來貴等[4]建立了單軸和三軸巖石應(yīng)力應(yīng)變的非線性損傷模型，根據(jù)軟巖加速蠕變階段的特性，編寫有限元程序模擬軟巖的損傷階段。蔣昱州等[5]對巖石三個階段進行力學(xué)分析，認為巖石在前兩個階段存在非線性硬化現(xiàn)象，從第三個段開始，巖石發(fā)生損傷并呈現(xiàn)非線性特征。鄭戰(zhàn)光等[6]對巖石進行雙軸壓縮，用數(shù)值方法對其進行數(shù)值模擬，提出了巖石由微觀損傷發(fā)展至宏觀斷裂的過程，并且證明了非線性黏彈塑性損傷模型的正確性。劉立等[7]在對巖體的損傷與破壞中引入了損傷變量及擴展系數(shù)，建立了損傷演化方程，并解釋了巖石的損傷演化規(guī)律。劉桃根等[8]在Burgers模型的基礎(chǔ)上，利用損傷原理，建立改進Kachanov蠕變損傷模型、應(yīng)變控制蠕變損傷模型和統(tǒng)計損傷模型，并驗證了砂巖適用于所改進的模型。黃明等[9]在泥質(zhì)粉砂巖蠕變特性的試驗研究結(jié)果的基礎(chǔ)上建立蠕變模量和不同含水率的數(shù)學(xué)表達式，將含水損傷分為瞬間損傷和長期損傷，根據(jù)實驗結(jié)果確定損傷變量和損傷演化方程，并且在泥質(zhì)砂巖非線性蠕變方程的基礎(chǔ)上建立了含水巖石蠕變本構(gòu)方程。楊圣奇等[10]結(jié)合有效應(yīng)力的觀點建立了巖石非線性損傷流變模型，通過對不同圍壓蠕變試驗進行模擬，驗證了該流變損傷模型能夠較好的描述巖石的衰減、穩(wěn)態(tài)、加速蠕變?nèi)齻€階段。宋勇軍等[11]基于初始屈服強度和長期強度引入能反映巖石的硬化函數(shù)和損傷效應(yīng)的損傷變量，建立非線性蠕變力學(xué)模型，并且證明了該非線性力學(xué)模型不僅能夠很好的反映巖石蠕變過程還可以反映蠕變過程中的蠕變硬化和損傷軟化機制。吳斐等[12]根據(jù)牛頓阻尼元件提出分數(shù)階非線性黏壺元件，通過該元件建立了新的蠕變本構(gòu)模型，實驗證明非線性蠕變本構(gòu)模型可以反蠕變映全過程的特征，尤其是非線性加速階段。宋勇軍等[13]通過將含分數(shù)階倒數(shù)的軟體元件與虎克串聯(lián)，并引入能夠反映應(yīng)力水平和時間的損傷變量，提出一種四元件非線性蠕變損傷模型。蔡煜等[14]為了使Burgers模型能夠描述巖石的加速階段，采用非常定黏性元件代替Burgers模型中的定常數(shù)元件。王軍保等[15]通過引入Kachanov蠕變損傷演化規(guī)律，構(gòu)建了可反映巖石瞬時彈性階段和加速蠕變階段的時效損傷彈性元件，建立了二元非線性蠕變損傷模型同時驗證了其合理性。吳祝林等[16]通過引進彈塑性損傷元件和Kelvin元件模型，建立了三維改進的Kelvin蠕變損傷模型，并推導(dǎo)了三軸壓縮情況下的蠕變方程。王其虎等[17]引入初始損傷影響因子，建立具有初始損傷的巖石損傷變量演化方程，構(gòu)建模擬巖石加速蠕變的蠕變損傷體元件。王曉波等[18]結(jié)合微積分理論，建立了考慮損傷的蠕變本構(gòu)模型并通過實驗對模型進行了驗證。牛雙建等[19]通過實驗研究表明損傷巖樣各瞬時變形模量隨著應(yīng)力水平的增加均逐步提高，且符合線性函數(shù)關(guān)系。田洪銘等[20]根據(jù)蠕變損傷因子，對ABAQUS軟件自帶的蠕變模型進行修正，得到了非線性蠕變損傷模型。袁靖周[21]在巖石損傷和蠕變形式的基礎(chǔ)上，建立了一種新的巖石長期強度方法并得出巖石長期強度與屈服極限的比值與瞬彈性模量與黏彈性模量的比值有關(guān)。謝文光[22]根據(jù)Kachanov損傷理論對常規(guī)黏塑性體進行改進并與Poyting-Thonson體串聯(lián)，建立巖石流變損傷模型，利用砂巖蠕變實驗對其進行了驗證。梁小勇等[23]采用應(yīng)變等效理論推導(dǎo)的時間硬化蠕變方程并進行了參數(shù)擬合和分析。文獻[24-26]說明了強度折減法適用于邊坡穩(wěn)定性分析，采用強度折減法對邊坡算例進行了穩(wěn)定性分析并對強度折減法適用性進行了驗證。劉小軍等[27]在不同含水狀態(tài)下淺變質(zhì)板巖單軸蠕變特性的試驗研究結(jié)果基礎(chǔ)上，考慮水對淺變質(zhì)板巖蠕變參數(shù)的劣化效應(yīng)，其研究表明了含水率對彈性模量和黏滯系數(shù)的影響。李佳瓏等[28]通過推演三維流變本構(gòu)方程并引入Kachanov損傷演化方程建立了廣義Kelvin模型的三維流變損傷本構(gòu)模型，通過三軸流變試驗結(jié)果的模擬驗證了該模型的有效性。

本文在有效應(yīng)力定義的損傷因子的基礎(chǔ)上，根據(jù)Norton方程得到巖石蠕變損傷因子，可以更簡單的確定巖石的損傷曲線，并利用巖石蠕變模型驗證損傷曲線的正確性。

1 蠕變損傷理論

時效變形作為巖石的力學(xué)特性之一，與巖石的長期穩(wěn)定性密切相關(guān)，巖石長時間在外部荷載的作用下，會造成部分面積承載失效，隨著承載力的增加和時間的增長，材料內(nèi)部失效面積將進一步擴大，直至造成材料完全失去承載力，因此巖石破壞的主要原因是巖石內(nèi)部微破裂造成的損傷。袁海平等[29]通過實驗和研究表明，只有應(yīng)力大于巖石的屈服極限時，巖石才會發(fā)生損傷。巖石材料在不適合的環(huán)境條件下，材料內(nèi)部的微觀裂紋、微觀空洞的擴大將造成材料的局部破壞。Lemaitre J[30]提出材料的受損變形無論是由單軸或多軸引起的，只需將有效應(yīng)力替代其中的應(yīng)力即可，在受荷載作用和時間因子的影響下，巖石材料內(nèi)部真實受力面積將發(fā)生變化，根據(jù)損傷力學(xué)[31]，名義應(yīng)力與有效應(yīng)力的關(guān)系為

(1)

式中：σt為有效應(yīng)力；ω為損傷因子，對于巖石材料無損時ω=0，當(dāng)巖石材料完全喪失荷載的承載能力時ω=1，此時表示材料完全受到破壞。

(2)

在穩(wěn)定蠕變階段巖石發(fā)生應(yīng)力屈服，在此階段蠕變速率進入線性階段，其蠕變速率不隨時間的增長而變大，最直觀的現(xiàn)象是時間-速率曲線的斜率幾乎不變化，如圖1所示，可以直接分辨恒載作用下的穩(wěn)態(tài)蠕變階段。

圖1 砂巖軸向應(yīng)變速率與時間曲線

在此前兩個階段，在荷載作用下材料內(nèi)部沒有發(fā)生破壞，即損傷因子ω=0。張忠亭等[35]認為傳統(tǒng)的方法對巖石加速蠕變階段研究有局限性，對加速蠕變階段的開始和結(jié)束時刻不好掌握。巖石從第三階段開始受到破壞，其有效面積、剛度和強度都下降ω≠0 ，其蠕變速率呈指數(shù)形式增加，其蠕變應(yīng)變率和有效應(yīng)力滿足Norton方程：

(3)

由式(2)和式(3)推導(dǎo)出損傷因子公式：

(4)

巖石的蠕變損傷量是用式(4)完成的，也就是通過穩(wěn)態(tài)蠕變階段的應(yīng)變率和加速蠕變階段的應(yīng)變率間接完成。

2 巖石蠕變損傷曲線的測定

蠕變是巖石材料在保持應(yīng)力不變的條件下，應(yīng)變隨時間延長而增加的現(xiàn)象。它與彈性變形不同，當(dāng)所受的應(yīng)力長時間超過巖石的彈性極限，巖石才會發(fā)生蠕變，巖石蠕變曲線是反映巖石在荷載的作用下，時間和應(yīng)變之間的關(guān)系。測量方法就是利用儀器裝置直接測其在不同荷載的作用下隨時間的增加而改變的應(yīng)變量，繼而根據(jù)上述公式(4)推導(dǎo)出損傷值。

本實驗在正常的室溫條件下進行，蠕變實驗在巖石流變沖擊試驗機上進行單軸壓縮蠕變實驗，見圖2。實驗機軸向蠕變采用鋼片的全橋應(yīng)變片(2個軸向，2個徑向)進行蠕變測量，可以精確測量2%～3%的變形，儀器為液壓輸出，最大軸向輸出軸向應(yīng)力為1 000kN。

圖2 巖石流變沖擊試驗機

對巖石進行現(xiàn)場取樣，及時臘封后送至實驗室進行加工，實驗試件加工成φ50 mm×100 的標準圓柱試件，實驗分為6組，軸向荷載30.0 MPa、32.5 MPa、35.0 MPa、37.5 MPa、40.0 MPa、42.5 MPa，對試件進行恒載實驗，通過應(yīng)變片記錄蠕變值，時間間隔為2 h。

由實驗曲線圖3可知當(dāng)施加軸向荷載為30.0 MPa和32.5 MPa時，砂巖蠕變曲線只出現(xiàn)衰減蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變，軸向荷載為35.0 MPa和37.5 MPa時，蠕變曲線出現(xiàn)衰減蠕變，穩(wěn)態(tài)蠕變和加速蠕變?nèi)齻€階段，而當(dāng)施加的軸向荷載達到40.0 MPa時，蠕變曲線只存在加速蠕變階段。并且由圖3中的曲線對比可知隨著荷載水平的增加，瞬時應(yīng)變逐漸增加。衰減階段的曲線半徑逐漸增加，進入穩(wěn)態(tài)蠕變階段所需要的時間逐漸增加，穩(wěn)態(tài)蠕變越來越大且蠕變應(yīng)變率越來越大。

圖3 試樣蠕變曲線

根據(jù)Norton方程，蠕變應(yīng)力指數(shù)是計算損傷值必不可少的量，對式(2)兩端取對數(shù)并求導(dǎo)得公式

(5)

(6)

利用軟件對n值進行分段擬合并分析(R2至少大于0.95，故舍去D擬合直線)求得出n值為6.63。

表2 方差分析表

表2中的樣本方差為均方和除以相應(yīng)的自由度，表中的回歸平方和比殘差平方和更大，故回歸分析法得出直線具有較高的準確性。

損傷曲線能更好的反映出試樣在荷載的作用下其內(nèi)部發(fā)生的微觀破壞，而穩(wěn)態(tài)蠕變階段和加速蠕變階段是求損傷量必不可少的條件，要求蠕變曲線明顯的存在三個應(yīng)變階段，應(yīng)力沒有足夠大則試樣不會出現(xiàn)加速蠕變階段，應(yīng)力過大時試樣的蠕變曲線會直接呈現(xiàn)加速蠕變。根據(jù)已經(jīng)得到的蠕變硬化n值和公式(4)計算出損傷因子ω，把已經(jīng)計算出的損傷因子和發(fā)生損傷時的時間因子組成數(shù)據(jù)(ti/t，ω)，可以繪制出在時間的作用下所發(fā)生損傷曲線圖。其中ti為實驗時間，t為試樣開始發(fā)生損傷到完全破壞的時間。時間損傷圖如圖5所示。

圖5 砂巖蠕變損傷曲線

3 損傷曲線驗證

根據(jù)圖1和圖3可知砂巖試樣在加速階段發(fā)生損傷，符合文獻[3]提出的巖石在加速階段發(fā)生損傷演化的理論，構(gòu)造蠕變損傷體，本文根據(jù)其提出的理論建立蠕變模型，見圖6。

圖6 巖石蠕變模型

根據(jù)其模型巖石蠕變存在以下特征：

(1) 當(dāng)σ<σs時巖石只出現(xiàn)瞬時變形和初始蠕變和等速蠕變階段時巖石蠕變模型蛻化為廣義開爾文體其蠕變公式為：

(7)

(2) 當(dāng)σ≥σs時巖石蠕變出現(xiàn)加速階段，蠕變模型為廣義開爾文模型和損傷體的串聯(lián)體，蠕變公式可寫為：

(8)

本文在蠕變模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)對參數(shù)進行反演，其參數(shù)見表3，并根據(jù)反演得到的參數(shù)進行蠕變曲線擬合，見圖7，結(jié)果表明其損傷曲線的正確性。

表3 蠕變參數(shù)表

圖7 砂巖實測與理論蠕變曲線

4 結(jié) 論

本文基于對不同應(yīng)力水平下巖石試樣的蠕變實驗，根據(jù)Norton方程利用七點分析法分析計算了不同應(yīng)力水平對巖石蠕變損傷的影響。研究結(jié)果表明蠕變應(yīng)力水平對巖石蠕變應(yīng)變率及蠕變破壞時間有很大的影響。當(dāng)施加應(yīng)力水平較低時，應(yīng)力對巖石的蠕變損傷影響很小，如果應(yīng)力水平處于穩(wěn)態(tài)蠕變階段時，應(yīng)力水平對蠕變損傷有很大的影響，較小的應(yīng)力增加能引起破壞巖石的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的較大變化，從而使之更容易達到加速蠕變階段并導(dǎo)致失穩(wěn)破壞，具體表現(xiàn)為巖石蠕變應(yīng)變率增加及蠕變失穩(wěn)破壞時間降低。本文利用Norton方程根據(jù)損傷量與時間的關(guān)系畫出損傷時間圖，計算巖石的損傷量，便于數(shù)學(xué)計算。

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Determination of Rock Creep Damage Curve Based on Norton Equation

XU Teng, REN Siyu, FAN Cheng, XU Tao

(ResearchCenterforNumericalTestonMaterialFailure,DalianUniversity,Dalian,Liaoning116622,China)

The Norton equation is usually used to describe the secondary creep of metal. In order to verify whether the Norton equation is suitable for the application of rock material creep damage, uniaxial compressive creep tests were performed to obtain creep curves of rock samples under different stress levels. The creep curves exhibited typical three-stage curve including primary creep, secondary creep and tertiary creep. The empirical formula proposed by Hollomon and seven-point methods were adopted to calculate the stress index of rock. Combining damage mechanics theory and the relationship between secondary creep and tertiary creep, the damage curves of rock at different time were derived. According to the damage model proposed by other researchers, the theoretical curves and test curves are compared and the results show that the curve is consistent with the characteristics of rock damage evolution with time. It is concluded that the damage curve of the rock accelerating creep phase follows the Norton equation.

steady state creep; accelerated creep; damage; stress index; time factor

10.3969/j.issn.1672-1144.2017.02.007

2016-11-21

2016-12-31

國家自然科學(xué)基金項目(41672301，41172265，51474051)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費項目(N150102002)

許 騰(1991—)，男，河南商丘人，碩士研究生，研究方向為巖土工程。 E-mail:2395419734@qq.com

徐 濤(1975—)，男，湖北隨州人，博士，教授，主要從事巖石、混凝土破裂失穩(wěn)及相關(guān)的固流耦合作用的數(shù)值模擬和實驗研究工作。 E-mail: Neuxutao@126.com

TU458

A

1672—1144(2017)02—0037—06