基于多元Copula函數(shù)的橋梁體系地震易損性分析方法研究

宋 帥， 錢永久， 吳 剛

(1.西南交通大學 土木工程學院, 成都 610031；2. 東南大學 交通學院， 南京 210096)

基于多元Copula函數(shù)的橋梁體系地震易損性分析方法研究

宋 帥1， 錢永久1， 吳 剛2

(1.西南交通大學 土木工程學院, 成都 610031；2. 東南大學 交通學院， 南京 210096)

為了考慮橋墩、支座等構(gòu)件地震需求之間相關(guān)性，引入多元Copula函數(shù)對構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)進行描述，提出了橋梁體系易損性分析的新方法?；谠隽縿恿Ψ治鼋Y(jié)果建立了單個構(gòu)件的易損性，采用核光滑方法對各構(gòu)件的邊緣分布函數(shù)進行估計；基于離差平方和最小準則和最小距離法對多元Copula函數(shù)進行了參數(shù)估計及優(yōu)選；結(jié)合單個構(gòu)件的易損性及多元Copula函數(shù)，建立了橋梁體系的易損性曲線，分析了構(gòu)件地震需求之間相關(guān)性對橋梁體系易損性的影響。結(jié)果表明：橋墩、支座等構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)性對橋梁體系易損性影響顯著；基于離差平方和最小準則構(gòu)造的多元Copula函數(shù)，能夠準確描述構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，有效降低橋梁體系易損性分析的難度。

橋梁體系；地震易損性；多元Copula函數(shù)；地震需求相關(guān)性；離差平方和最??；核光滑方法

在地震作用下，橋墩、支座及橋臺等橋梁構(gòu)件地震需求之間相互影響，不可避免地存在一定的相關(guān)性[1]。當?shù)卣饎訌姸炔煌瑫r，構(gòu)件需求之間的相關(guān)性也不同，特別是當結(jié)構(gòu)響應(yīng)進入塑性階段以后，構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)性變得更加復雜[2]。然而，由于建立構(gòu)件地震需求的聯(lián)合分布函數(shù)較為困難，準確模擬構(gòu)件地震需求之間相關(guān)性的易損性研究較少[3-4]。Yang等[5-7]在對橋梁體系易損性進行分析時，假定橋墩、支座等構(gòu)件地震需求之間完全相關(guān)或者完全不相關(guān)，進而得到橋梁體系易損性的上、下邊界。但是，隨著構(gòu)件數(shù)量及失效模式的增加，假定構(gòu)件需求之間完全相關(guān)或完全不相關(guān)，得到的橋梁體系易損性誤差較大[8]。Ramanathan等[9-10]基于構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)系數(shù)矩陣，采用Monte Carlo抽樣方法模擬構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)性，建立了橋梁體系的易損性曲線。但該方法通常假設(shè)構(gòu)件地震需求服從對數(shù)正態(tài)分布，且計算量較大[11]。因此，如何準確、高效地模擬構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)性，是橋梁體系易損性分析的關(guān)鍵問題。

Copula函數(shù)作為處理變量之間相關(guān)性的重要手段，已經(jīng)在機械、水利工程領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[12-13]。作為聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)的連接函數(shù)，Copula函數(shù)不僅能夠描述變量之間的復雜的非線性相關(guān)關(guān)系，其邊緣分布函數(shù)的形式亦不受限制[14]。

本文通過對地震動-橋梁樣本的增量動力分析(Incremental Dynamic Analysis，IDA)結(jié)果進行統(tǒng)計分析，建立了橋墩、支座等單個構(gòu)件的易損性曲線，并采用核光滑方法對各構(gòu)件的邊緣分布函數(shù)進行估計；基于離差平方和最小準則及最小距離法對多元Copula函數(shù)的參數(shù)進行估計及優(yōu)選；選擇合適的多元Copula函數(shù)，描述了橋墩、支座等多個構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)性，提出了橋梁體系易損性分析的新方法，分析了橋墩、支座等構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)性對橋梁體系易損性的影響。

1 基于多元Copula函數(shù)橋梁體系易損性分析

1.1 體系易損性分析

橋梁體系通常是由橋墩、橋臺及支座等主要構(gòu)件組成，其中任一構(gòu)件的破壞均會影響橋梁的使用功能，因此將橋梁體系定義為串聯(lián)體系，進而得到橋梁體系的易損性Pfs

(1)

式中：Pi(·)為構(gòu)件i的易損性；m為體系中的構(gòu)件數(shù)量。

由式(1)可知，橋梁體系的易損性是構(gòu)件易損性的并集，但是由于構(gòu)件地震需求之間相關(guān)性的影響，構(gòu)件易損性之間并非相互獨立，橋梁體系易損性不是單個構(gòu)件易損性的簡單相加。在這種情況下，由可靠性理論可知，式(1)可進一步表示為

(-1)m-1P(X1X2…Xm,IM)

(2)

式中：P(Xi,IM)為在某一地震動強度IM下單個構(gòu)件的易損性；P(XiXj,IM)為兩個構(gòu)件同時破壞的易損性，以此類推；P(X1，X2，…，Xm,IM)為m個構(gòu)件同時破壞的易損性。其中：單個構(gòu)件的易損性P(Xi,IM)可以定義為構(gòu)件Xi的地震需求Sdi超過構(gòu)件Xi性能指標Sci的概率[15]

(3)

為克服構(gòu)件地震需求及構(gòu)件性能指標服從對數(shù)正態(tài)分布假設(shè)的限制，可以對地震動-橋梁樣本進行增量動力分析(IDA)，基于概率的方法對每級增量水平下分析結(jié)果進行統(tǒng)計，得到單個構(gòu)件Xi的易損性

(4)

式中：nXi,IM為在地震動強度IM下構(gòu)件Xi失效的樣本數(shù)；NXi,IM為地震動強度IM下構(gòu)件Xi的樣本總數(shù)。

由于構(gòu)件易損性并非相互獨立，直接求解兩個或多個構(gòu)件同時破壞的易損性較為困難。為此，本文引入多元Copula函數(shù)方法來對式(2)進行求解。

1.2 多元Copula函數(shù)的定義

N元Copula函數(shù)是指具有以下性質(zhì)的函數(shù)C(·,…,·)[14]：

(1) 定義域為IN，即[0,1]N；

(2)C(·,…,·)有零基面且是N維遞增的；

(3)C(·,…,·)的邊緣分布函數(shù)為C(·)，n=1,2,…,N，且

Cn(un)=C(1,…,1,un,1,…,1)=un

(5)

式中，un∈[0,1]，n=1,2,…,N。

若F(·,…,·)為聯(lián)合分布函數(shù)，其邊緣分布函數(shù)為F1(·),F2(·),…,FN(·)，那么存在一個Copula函數(shù)C(·,…,·)，滿足

F(x1,x2…,xN)=C(F1(x1),F2(x2),…,FN(xN))

(6)

反之，若F1(·),F2(·),…,FN(·)為一元分布函數(shù)，C(·,…,·)為相應(yīng)的Copula函數(shù)，則F(·,…,·)為具有邊緣分布函數(shù)F1(·),F2(·),…,FN(·)的聯(lián)合分布函數(shù)。

由以上性質(zhì)可知，基于Copula函數(shù)，可以用邊緣分布函數(shù)對聯(lián)合分布函數(shù)進行顯式表達，并將變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)和邊緣分布函數(shù)進行分離，進而簡化聯(lián)合概率分布函數(shù)的求解。由于Copula函數(shù)的邊緣分布形式靈活，同一個Copula函數(shù)，其邊緣分布可以為不同類型的分布；作為各邊緣分布的連接函數(shù)，Copula函數(shù)的形式也不受邊緣分布的限制。

當變量單調(diào)變換時，即若

(7)

則有

C(x1,x2,…,xN)=C(h1(x1),h2(x2),…,hN(xN))

(8)

式中，hn(xn)為隨機變量xn的函數(shù)。

由式(8)可知，Copula函數(shù)在變量單調(diào)增變換下，形式不會發(fā)生變化。此外，Copula函數(shù)的形式多樣：從結(jié)構(gòu)上說，既可以是對稱的，也可以是非對稱的；從相依性上講，可以是上尾相依，也可以是下尾相依。和線性相關(guān)系數(shù)相比，Copula函數(shù)能夠描述構(gòu)件之間的非線性、非對稱、上尾相依、下尾相依等各種類型的復雜相關(guān)結(jié)構(gòu)，具有普遍的適用性。

由多元Copula函數(shù)的性質(zhì)可知，系統(tǒng)中任意k個構(gòu)件同時破壞的易損性可由單個構(gòu)件的易損性進行定義

P[X1,X2,…,Xk,IM]=C(u1,u2,…,uk,IM)

(9)

式中：ui為單個構(gòu)件Xi的易損性；C(·)為多元Copula函數(shù)。通過式(9)可將構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的易損性進行分離，進而簡化多個構(gòu)件同時破壞易損性的求解。將式(9)代入式(2)，即可得到橋梁體系的易損性Pfs

(-1)m-1C(P1,P2,…,Pm,IM)

(10)

1.3 多元Copula函數(shù)的選擇

由式(9)可知，采用多元Copula函數(shù)求解多個構(gòu)件同時破壞易損性的關(guān)鍵是選擇合適的Copula函數(shù)類型，以準確描述構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，進而建立橋梁體系的易損性曲線。

實際中常用的Copula函數(shù)主要包括Elliptic Copula類和Archimedean Copula類。由于Archimedean Copula函數(shù)具有對稱性和可結(jié)合性，在多元情況下計算較為簡便。本文選取三種常見的Archimedean Copula函數(shù)作為備選函數(shù)，三種Copula函數(shù)的表達式為

(1)N元Clayton Copula函數(shù)

C(u1,u2,…,un;θ1)=

(11)

(2)N元Gumbel Copula函數(shù)

C(u1,u2,…,un;θ2)=

(12)

(3)N元Frank Copula函數(shù)

C(u1,u2,…,un;θ3)=

θ3≠0;N≥3,θ3∈(0,∞)

(13)

式中：θi為相關(guān)參數(shù)；ui為邊緣分布函數(shù)?；诘卣饎?橋梁樣本的增量動力分析數(shù)據(jù)，可以通過離差平方和最小準則對多元Copula函數(shù)進行參數(shù)估計；在此基礎(chǔ)上，可以采用最小距離法，從以上三種備選Copula函數(shù)中，選擇合適的Copula函數(shù)，來準確描述橋墩、支座等構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。主要步驟如下：

步驟1 確定構(gòu)件的邊緣分布函數(shù)

根據(jù)統(tǒng)計分析的基本要求，建立一定數(shù)量的地震動-橋梁樣本，進行增量動力分析(IDA)。根據(jù)構(gòu)件地震需求的樣本值及性能指標，對各構(gòu)件的邊緣分布函數(shù)進行估計，得到各構(gòu)件的邊緣分布函數(shù)。

步驟2 Copula函數(shù)參數(shù)估計

基于構(gòu)件地震需求樣本點處的邊緣分布函數(shù)值，采用離差平方和最小準則，對多元Copula函數(shù)進行參數(shù)估計，得到多元Copula函數(shù)相關(guān)參數(shù)的估計值。

步驟3 Copula函數(shù)的優(yōu)選

基于Copula函數(shù)相關(guān)參數(shù)的估計值，采用最小距離法對三種備選Copula函數(shù)的擬合度進行檢驗，選擇合適的多元Copula函數(shù)，描述構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。

2 計算實例

2.1 結(jié)構(gòu)模型

以某高鐵線路上一跨徑為(36 m+64 m+36 m)連續(xù)梁橋為例，闡述基于多元Copula函數(shù)的橋梁體系易損性分析新方法。主梁為變截面箱梁，頂板寬12.2 m，底板寬6.7 m，中墩處梁高6.0 m，跨中部位梁高3.2 m，采用C55混凝土。橋墩采用圓端形實體截面，墩高18 m，混凝土材料為C40，保護層厚度為50 mm，縱向鋼筋和箍筋都采用HRB335級鋼筋，縱筋直徑25 mm，配筋率為0.4%，箍筋直徑12 mm，配箍率為0.3%；中墩截面尺寸為3.7 m×8.5 m，邊墩截面尺寸為3.6 m×7.0 m。橋梁支座采用固定型和縱向滑動型球形支座?；A(chǔ)采用直徑1.5 m灌注樁，樁長30 m，梅花型布置，間距為4 m。場地類型為Ⅱ類。

采用OpenSees程序建立橋梁的有限元模型。主梁在地震下基本處于彈性狀態(tài)，采用彈性梁柱單元模擬；橋墩可能發(fā)生塑性破壞，采用非線性纖維梁柱單元模擬，保護層混凝土和核心區(qū)混凝土采用基于Kent-Scott-Park本構(gòu)模型的Concrete01材料分別進行定義，以考慮核心區(qū)混凝土的約束效應(yīng)；鋼筋采用基于Giuffré-Menegotto-Pinto本構(gòu)模型的Steel02材料模擬；支座采用零長度單元進行模擬，其本構(gòu)關(guān)系采用理想彈塑性模型，模型參數(shù)根據(jù)支座的型號及尺寸，參考文獻[16]進行計算；橋墩基礎(chǔ)采用零長度單元進行模擬，單元的平動及轉(zhuǎn)動剛度，根據(jù)樁周土層條件，采用m法計算得到。橋梁結(jié)構(gòu)的有限元模型，如圖1所示。

圖1 橋梁結(jié)構(gòu)的分析模型

2.2 增量動力分析

2.2.1 地震動-橋梁樣本

地震動-橋梁樣本是增量動力分析的基礎(chǔ)，而在樣本抽樣的過程中需要考慮地震動不確定性及結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性。地震動不確定性包括地震動本身的隨機性以及方向效應(yīng)、入射角及空間變異性[17]，屬于偶然不確定性范疇。為綜合考慮地震動的不確定性，從太平洋地震工程中心強震數(shù)據(jù)庫中選取符合Ⅱ類場地的地震動，所選地震動滿足以下原則：

(1) 震級≥5.5級；

(2) 震中距<100 km；

(3) 地震動兩個水平方向分量高通濾波角頻率<0.2 Hz，低通濾波角頻率>18 Hz；

(4) 選取地震動的剪切波速范圍為260 m/s≤VS30≤500 m/s。

所選地震動的峰值加速度分布，如圖2所示。在此基礎(chǔ)上，采用區(qū)間法[18]以震級(6.5)和震中距(30 km)將所選的地震動分為4組，每組包含25條不同震級-震中距組合的地震動，進而將地震動在不同的震級及震中距范圍內(nèi)進行離散，結(jié)合地震動選取過程中其幅值、頻譜、持時特性的離散性，即可在增量動力分析中考慮地震動幅值、頻譜、持時特性以及震級、震中距的不確定性。

圖2 地震動的PGA分布

結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性主要包括材料強度、幾何尺寸、質(zhì)量、阻尼以及邊界條件等，屬于認知不確定性范疇。研究表明：橋梁地震需求主要受混凝土強度、鋼筋強度、滑動支座摩擦因數(shù)、結(jié)構(gòu)阻尼、上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量以及邊界條件等因素的影響[19]。對主要的結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性及其概率分布進行總結(jié)，如表1所示。

根據(jù)以上結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的概率分布特征，將各個參數(shù)的5%～95%概率區(qū)間等概率地分成100組，采用拉丁超立方抽樣方法[20]對以上分組進行分層抽樣，即可建立100組橋梁樣本。和區(qū)間法得到的100條地震動記錄進行隨機配對，組成100組地震動-橋梁樣本，即可以在結(jié)構(gòu)的概率地震需求分析中，綜合考慮地震動及結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性及其分布

2.2.2 構(gòu)件地震需求

以往的震害表明，對于中小跨徑橋梁，支座及橋墩是最薄弱的環(huán)節(jié)[21]。以橋墩縱、橫橋向位移延性比(μL、μT)以及支座縱、橫橋向位移(bL、bT)作為結(jié)構(gòu)的地震需求參數(shù)，可有效地描述橋梁的破壞狀態(tài)及損傷程度。為了得到橋梁在地震作用下的整個破壞狀態(tài)，采用增量動力分析方法(IDA)，將每條地震動記錄的峰值加速度調(diào)整為0.1～1.5g，增量水平為0.1g，通過對每組地震動-橋梁樣本進行IDA分析，得到構(gòu)件的地震需求樣本值，對其進行統(tǒng)計分析得到構(gòu)件地震需求的中位值，如圖3所示。

(a) 橋墩

(b) 支座

2.3 構(gòu)件易損性曲線

2.3.1 極限狀態(tài)性能指標

橋梁在地震作用下的破壞一般可分為輕微、中等、嚴重和完全四種狀態(tài)。為了對各破壞狀態(tài)下的易損性進行評估，需要定義構(gòu)件在各破壞狀態(tài)下的性能指標。對于橋墩，四種破壞狀態(tài)分別對應(yīng)于縱向鋼筋首次屈服、保護層混凝土壓碎、核心區(qū)混凝土開裂破壞及縱向鋼筋屈曲。各破壞狀態(tài)下橋墩的位移延性比μi定義為

(14)

式中：Δi為各破壞狀態(tài)下墩頂極限位移；Δy為縱向鋼筋首次屈服時的墩頂位移。對截面進行彎矩-曲率分析，即可得到各破壞狀態(tài)下橋墩的位移延性指標，如表2所示。

支座的四種破壞狀態(tài)可以采用位移進行定義，對于活動支座，根據(jù)支座的幾何尺寸及物理參數(shù)，分別取設(shè)計位移、1.5倍的設(shè)計位移、2.0倍的設(shè)計位移及1/2球面滑板直徑作為輕微破壞、中等破壞、嚴重破壞及完全破壞的性能指標；固定支座的容許位移較小，分別取10 mm、15 mm、20 mm及50 mm作為四種破壞狀態(tài)的性能指標，如表2所示。

由于結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的影響，構(gòu)件的性能指標存在一定的變異性，可采用Nielson[22]提出的變異系數(shù)(Coefficient of Variation，COV)進行描述。輕微和中等破壞下，變異性較小，變異系數(shù)取0.25；嚴重和完全破壞下，變異性較大，變異系數(shù)取0.5，如表2所示。

表2 構(gòu)件性能指標

2.3.2 構(gòu)件易損性

為了避免構(gòu)件地震需求概率分布形式假定引起的誤差，本文基于式(4)，直接對構(gòu)件的功能函數(shù)進行概率統(tǒng)計，計算構(gòu)件的易損性。

構(gòu)件的功能函數(shù)是指構(gòu)件的地震需求與和構(gòu)件的性能指標之差，主要用來判斷構(gòu)件是否失效。當構(gòu)件的功能函數(shù)值>0，表示構(gòu)件地震需求超過某一破壞狀態(tài)下的性能指標，構(gòu)件失效?；贗DA分析結(jié)果和構(gòu)件的性能指標，對每級增量水平下構(gòu)件的功能函數(shù)進行統(tǒng)計分析，即可得到各破壞狀態(tài)下構(gòu)件的易損性。限于篇幅，僅給出橋墩、支座在輕微破壞狀態(tài)下的易損性曲線，如圖4所示。

(a) 橋墩

(b) 支座

2.4 多元Copula函數(shù)的參數(shù)估計及模型選擇

2.4.1 構(gòu)件邊緣分布函數(shù)估計

基于IDA分析結(jié)果，采用核光滑方法[23]對構(gòu)件的邊緣分布函數(shù)進行估計，核光滑法是用來估計分布函數(shù)或密度函數(shù)一種非參數(shù)估計方法。即基于樣本觀測數(shù)據(jù)本身來確定總體的概率分布，而不需要事先對構(gòu)件邊緣分布的形式進行假定。通過選擇合適的核函數(shù)及窗寬，即可得到構(gòu)件的邊緣分布函數(shù)。由于不需要事先對構(gòu)件的邊緣分布函數(shù)形式進行假定，得到的邊緣分布函數(shù)更加符合實際。限于篇幅，僅給出橋墩、支座在輕微破壞狀態(tài)下的邊緣分布函數(shù)，如圖5所示。

2.4.2 多元Copula函數(shù)參數(shù)估計

極大似然估計是最為常用的參數(shù)估計方法，然而由于多元Copula函數(shù)的概率密度函數(shù)求解涉及到多元函數(shù)微分，采用極大似然估計方法進行參數(shù)估計存在一定的困難。因此，本文提出基于離差平方和最小準則，對多元Copula函數(shù)進行參數(shù)估計，避免了對多元Copula函數(shù)進行微分運算。

(a) 橋墩

(b) 支座

(15)

式中：u1,u2,…,um∈[0,1]；I[·]為示性函數(shù)，當Fn(xmi)≤um時，I[Fn(xmi)≤um]=1，否則I[Fn(xmi)≤um]=0。基于離差平方和最小準則，得到多元Copula函數(shù)的參數(shù)估計式為

OLS=

(16)

將各構(gòu)件的邊緣分布函數(shù)及多元經(jīng)驗Copula函數(shù)代入式(16)，采用非線性優(yōu)化技術(shù)進行求解，得到多元Copula函數(shù)相關(guān)參數(shù)的估計值，如表3所示。

2.4.3 多元Copula函數(shù)的模型選擇

采用基于平方歐式距離的最小距離法對多元Copula函數(shù)的擬合度進行檢驗，選擇最優(yōu)Copula函數(shù)，描述構(gòu)件地震需求之間相關(guān)結(jié)構(gòu)。平方歐式距離d2定義為

(17)

基于式(17)計算各備選Copula函數(shù)與經(jīng)驗Copula函數(shù)的平方歐式距離，如表3所示。對比可知，在各破壞狀態(tài)下，多元Frank Copula函數(shù)的平方歐式距離均最小。因此，多元Frank Copula函數(shù)是描述橋墩、支座等構(gòu)件地震需求之間相關(guān)結(jié)構(gòu)的最優(yōu)Copula函數(shù)。

表3 多元Copula函數(shù)的參數(shù)

2.5 體系易損性曲線

2.5.1 基于多元Copula函數(shù)的體系易損性

將表3中多元Frank Copula函數(shù)的參數(shù)估計值代入式(13)，即可得到構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)；結(jié)合“2.3.2”節(jié)得到的單個構(gòu)件易損性和構(gòu)件之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，由式(9)得到多個構(gòu)件同時失效的易損性；在此基礎(chǔ)上，將單個構(gòu)件的易損性及多個構(gòu)件同時失效的易損性代入式(10)，即可得到考慮構(gòu)件地震需求之間相關(guān)性影響的橋梁體系易損性曲線，如圖6所示。

2.5.2 基于Monte Carlo方法的體系易損性

為了對多元Copula函數(shù)方法進行驗證，采用Monte Carlo方法對橋梁體系的易損性進行分析。Monte Carlo方法是目前學者分析結(jié)構(gòu)體系易損性主要采用的一種數(shù)值抽樣方法，其結(jié)果位于一階界限法的上、下界之間，當抽樣數(shù)量較大時，可將其作為近似精確值。在每級增量水平下，基于橋墩、支座等構(gòu)件地震需求樣本值，計算構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)系數(shù)并擬合各構(gòu)件地震需求的概率分布函數(shù)；在此基礎(chǔ)上，對多個構(gòu)件地震需求同時進行隨機抽樣以考慮構(gòu)件地震需求之間相關(guān)性的影響，抽樣次數(shù)取N=105次；將構(gòu)件地震需求的抽樣值和構(gòu)件的性能指標相減，得到構(gòu)件的功能函數(shù)；對構(gòu)件功能函數(shù)的樣本值進行統(tǒng)計分析，得到橋梁體系的失效樣本數(shù)，將其除以橋梁體系的樣本總數(shù)，即可得到橋梁體系的失效概率。對不同破壞狀態(tài)各增量水平下的失效概率依次進行分析，即可得到橋梁體系的易損性曲線，為便于對比，將其列于圖6。

2.5.3 結(jié)果驗證

對比多元Copula函數(shù)方法和Monte Carlo方法得到的橋梁體系易損性，由圖6可知：縱橋向，四種破壞狀態(tài)下二者的偏差最大分別為5.02%、7.83%、6.25%及6.90%；橫橋向，四種破壞狀態(tài)下二者的偏差最大分別為7.43%、6.82%、7.62%及5.29%。由此可見，兩種方法得到的橋梁體系易損性吻合良好，表明多元Copula函數(shù)方法的精度較高，結(jié)果穩(wěn)定可靠。此外，多元Copula函數(shù)能夠避免大量的數(shù)值抽樣，使橋梁體系易損性計算的效率顯著提高。

(a) 縱橋向

(b) 橫橋向

3 構(gòu)件需求相關(guān)性對橋梁體系易損性的影響

為分析橋墩、支座等構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)性對橋梁體系易損性的影響，計算構(gòu)件完全相關(guān)和完全不相關(guān)情況下的橋梁體系易損性。由可靠性理論可知，當構(gòu)件地震需求完全相關(guān)時，橋梁體系易損性等于單個構(gòu)件易損性的最大值，即

(18)

當構(gòu)件地震需求完全不相關(guān)時，各構(gòu)件地震需求為相互獨立的變量，橋梁體系易損性為

(19)

式中：Pfs為橋梁體系的易損性；Pi為構(gòu)件i的易損性；m為構(gòu)件數(shù)量。將橋墩、支座等單個構(gòu)件的易損性代入式(18)、式(19)，即可得到構(gòu)件完全相關(guān)和完全不相關(guān)情況下橋梁體系的易損性，并與Frank Copula函數(shù)對比，如圖7所示。

由圖7可知，假設(shè)橋墩、支座等構(gòu)件地震需求之間完全相關(guān)，得到的體系易損性偏小。在縱橋向，四種破壞狀態(tài)下最大偏差分別為-6.5%、-9.9%、-14.7%、-2.7%；在橫橋向，四種破壞狀態(tài)下最大偏差分別為-3.2%、-6.1%、-8.0%、-12.0%。假設(shè)橋墩、支座等構(gòu)件地震需求之間完全不相關(guān)，得到的體系易損性明顯偏大。在縱橋向，四種破壞狀態(tài)下最大偏差分別為33.9%、34.1%、38.1%、34.8%；在橫橋向，四種破壞狀態(tài)下最大偏差分別為20.6%、15.2%、23.0%、35.0%。由此可見，橋墩、支座等構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)性對橋梁體系易損性影響顯著；準確描述橋墩、支座等構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)性十分必要。

4 結(jié) 論

基于離差平方和最小準則和最小距離法，構(gòu)造了描述橋墩、支座等構(gòu)件地震需求相關(guān)性的多元Copula函數(shù)，提出了橋梁體系易損性分析的新方法，研究了構(gòu)件地震需相關(guān)性對橋梁體系易損性的影響，結(jié)果表明：

(1) 對于連續(xù)梁橋，多元Frank Copula函數(shù)能夠準確地描述橋墩、支座等構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，簡化了多個構(gòu)件同時破壞易損性的求解，從而保證在橋梁體系易損性分析中準確考慮構(gòu)件地震需求之間相關(guān)性的影響。

(2) 采用離差平方和最小準則對多元Copula函數(shù)進行參數(shù)估計，避免了極大似然估計中多元函數(shù)微分運算，有效降低了多元Copula函數(shù)的構(gòu)造難度。

(3) 橋墩、支座等構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)性對橋梁體系易損性影響顯著；準確描述橋墩、支座等構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)性十分必要。

(4) 作為處理構(gòu)件地震需求之間相關(guān)性的一種重要手段，多元Copula函數(shù)應(yīng)用范圍并不局限于連續(xù)梁橋，對于其他的工程結(jié)構(gòu)同樣適用，在實際應(yīng)用中，應(yīng)針對具體的結(jié)構(gòu)形式，選擇合適的Copula函數(shù)模型對構(gòu)件之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)進行準確描述。

本文采用多元Copula函數(shù)描述了橋墩、支座等多個構(gòu)件地震需求之間的相關(guān)性。然而，隨著齡期的增長，橋梁性能的不斷退化，橋墩、支座等構(gòu)件之間的相關(guān)性也隨之發(fā)生變化，如何考慮構(gòu)件之間相關(guān)性的時變特性，進而建立更為精確的橋梁體系時變易損性曲線還需深入研究。

(a) 輕微破壞

(b) 中等破壞

(c) 嚴重破壞

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Seismic fragility analysis of a bridge system based on multivariate Copula function

SONG Shuai1, QIAN Yongjiu1, WU Gang2

(1. School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China; 2. School of Transportation, Southeast University, Nanjing 210096, China)

In order to consider the dependence of piers, bearings and other components’ seismic demands, the multivariate Copula function was adopted to describe the dependence structure of components’ seismic demands and a new method for the seismic fragility analysis of a bridge system was proposed. Based on the results of incremental dynamic analysis, the marginal distribution function of each component was calculated by using the kernel smoothing method. Parameters of the multivariate Copula function were estimated based on the minimum deviation square sum and the optimal Copula function was selected by using the minimum distance method. Combining the component fragility with the multivariate Copula function, the fragility curve of the bridge system was developed and the effects of dependence of components’ seismic demands on the system fragility were analyzed. The results indicated that the dependence of piers, bearings and other components’ seismic demands has an important influence on the seismic fragility of the bridge system; the multivariate Copula function constructed with the minimum deviation square sum can describe the dependence structure of components’ seismic demands accurately and reduce the difficulty level of the bridge system fragility analysis effectively.

bridge system; seismic fragility; multivariate Copula function; dependence of seismic demands; minimum deviation square sum; kernel smoothing method

國家自然科學基金(51178395)

2016-02-02 修改稿收到日期：2016-05-06

宋帥 男，博士生,1987年生

錢永久 男，博士，教授，博士生導師，1963年生

U442.5+5

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.09.019