二維聲學(xué)黑洞對彎曲波的能量聚集效應(yīng)

黃 薇， 季宏麗,， 裘進(jìn)浩， 成 利

(1. 南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016； 2.香港理工大學(xué) 機(jī)械工程系，香港 999077)

二維聲學(xué)黑洞對彎曲波的能量聚集效應(yīng)

黃 薇1， 季宏麗1,2， 裘進(jìn)浩1， 成 利2

(1. 南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016； 2.香港理工大學(xué) 機(jī)械工程系，香港 999077)

聲學(xué)黑洞(Acoustic Black Holes,ABH)效應(yīng)是利用結(jié)構(gòu)厚度以一定冪函數(shù)形式減小，致使彎曲波的相速度逐漸減小而實(shí)現(xiàn)能量逐漸聚集，理想情況下彎曲波波速減小為0從而無法傳遞到結(jié)構(gòu)邊緣，也就不會發(fā)生反射。聲學(xué)黑洞效應(yīng)使得結(jié)構(gòu)產(chǎn)生高能量密度區(qū)域，因此能高效應(yīng)用于能量回收和振動噪聲控制。為了研究二維聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)具有彎曲波能量聚集效應(yīng)，運(yùn)用有限元分析軟件ABAQUS建立了二維聲學(xué)黑洞模型，從時(shí)域上研究彎曲波在聲學(xué)黑洞區(qū)域的傳播過程，結(jié)合有限元數(shù)值結(jié)果與振動功率流的結(jié)果分析彎曲波能量聚集過程。最后通過激光超聲實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)對二維聲學(xué)黑洞中彎曲波傳播過程進(jìn)行成像與分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了二維聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)對彎曲波能量的聚集效應(yīng)。

聲學(xué)黑洞；彎曲波；有限元分析；能量聚集；功率流

聲學(xué)黑洞(Acoustic Black Holes,ABH)將物理學(xué)中的黑洞概念引入到波動和聲振領(lǐng)域中，并將其作為一種全新的概念提出。聲學(xué)黑洞效應(yīng)通過結(jié)構(gòu)阻抗的變化，致使結(jié)構(gòu)中波的相速度和群速度發(fā)生變化，在結(jié)構(gòu)局部區(qū)域?qū)崿F(xiàn)波的聚集。薄板結(jié)構(gòu)中，如果阻抗的變化通過板的厚度以一定指數(shù)形式變化來實(shí)現(xiàn)，彎曲波速會隨著厚度的減小逐漸減小，在理想的情況下波速減小為0，這樣就不會在尖端產(chǎn)生反射[1-2]。Georgiev等[3]運(yùn)用Runge-Kutta-Fehlberg數(shù)值方法計(jì)算了頻域內(nèi)的阻抗矩陣，并得到了反射系數(shù)矩陣。Conlon等[4]運(yùn)用有限元和邊界元的數(shù)值方法，從頻域上研究了排布多個聲學(xué)黑洞的板結(jié)構(gòu)的聲輻射特性。Bayod等[5-8]針對含有ABH的梁和板結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察和分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明聲學(xué)黑洞效應(yīng)的有效頻率作用主要集中于中高頻。盡管現(xiàn)有研究從頻域上表明了聲學(xué)黑洞效應(yīng)的存在，但是波在聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)中的傳播過程無法通過頻域方法得到很好的解釋，無法從時(shí)域上認(rèn)識聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)中的波傳播過程和黑洞效應(yīng)形成的機(jī)制。

此外，聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)由于實(shí)際加工工藝問題往往產(chǎn)生截?cái)?，研究發(fā)現(xiàn)很小的截?cái)嗪穸染蜁诙葱?yīng)產(chǎn)生嚴(yán)重的影響，聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)邊緣的反射系數(shù)可達(dá)到50%～70%[9]。Bayod等研究了聲學(xué)黑洞邊緣的制造方法，通過直接在等厚度均勻板上拉延出一段尖銳的邊緣從而在一定程度上克服聲學(xué)黑洞邊緣制造的困難。將薄板結(jié)構(gòu)的厚度按照一定的形式裁剪即可得到二維聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)。理想二維聲學(xué)黑洞使得入射到黑洞的彎曲波被吸入聲學(xué)黑洞的中心[10]。實(shí)際二維聲學(xué)黑洞也會由于中心厚度極薄而產(chǎn)生截?cái)嗟热毕?，因此容易在中心處形成圓形穿孔。Conlon等通過數(shù)值表明了縮小聲學(xué)黑洞中心孔徑，在一定頻率范圍內(nèi)能夠大大提高聲學(xué)黑洞效應(yīng)。Bowyer等[11-12]將圓形壓痕置于矩形板中并進(jìn)行了相關(guān)的實(shí)驗(yàn)研究，表明中心圓孔的存在會對聲學(xué)黑洞效應(yīng)產(chǎn)生影響。現(xiàn)有的對聲學(xué)黑洞的研究著重于在頻域特性上研究非理想黑洞效應(yīng)的存在，而缺乏有效的手段揭示波在聲學(xué)黑洞中的傳播過程以及截?cái)啻笮〉葏?shù)對聲學(xué)黑洞效應(yīng)的影響關(guān)系。

本文針對這些問題，以中心處為圓形平臺的二維聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)為研究對象，從時(shí)域上研究聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)中彎曲波的傳播。對含有二維聲學(xué)黑洞的板結(jié)構(gòu)建立有限元數(shù)值模型，并采用有限元數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行振動功率流分析，解釋了彎曲波能量在聲學(xué)黑洞中的傳播過程與彎曲波的能量聚集效應(yīng)，并探究了聲學(xué)黑洞中心圓形平臺大小對彎曲波傳播的影響。最后通過基于激光超聲技術(shù)的實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證了聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)對彎曲波能量的聚集效應(yīng)。

1 聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)中的彎曲波

在一維厚度變化的均勻介質(zhì)中，彎曲波動方程為

(1)

U(x)=A(x)eiΦ(x)

(2)

其中，

(3)

(4)

式中:Φ為累積相位;kp=ω/cp，kp為均勻板的波數(shù)。對于一個厚度呈指數(shù)形式變化的結(jié)構(gòu)

h(x)=εxm

(5)

當(dāng)指數(shù)m≥2，累積相位Φ將趨于無限大，也就是說波無法到達(dá)邊界也無法反射回來，因此彎曲波在邊緣處被捕獲而能量聚集。

對于變厚度的薄板結(jié)構(gòu)，其彎曲波動方程為

(6)

假設(shè)不考慮結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動慣量與剪切效應(yīng)，波數(shù)k為

k=(ρhω2/D)1/4

(7)

式中,ω為角頻率，根據(jù)c=ω/k可得到彎曲波相速度

(8)

2 模型的建立

2.1 二維聲學(xué)黑洞

(9)

(a)二維聲學(xué)黑洞板與橫截面(b)橫截面厚度變化示意圖

圖1 二維聲學(xué)黑洞示意圖

Fig.1 Schematic of two-dimensional ABH

2.2 有限元模型

為了研究彎曲波在聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)中的傳播特性，在有限元軟件ABAQUS中建立了含有二維聲學(xué)黑洞的板結(jié)構(gòu)模型(350 mm×240 mm×5 mm)，如圖2所示。為研究中心平臺大小即截?cái)啻笮ΧS聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)中彎曲波聚集的影響，分別對r1=20 mm和r1=30 mm的ABH建立有限元模型進(jìn)行計(jì)算。在計(jì)算中所使用的其他參數(shù)如表1所示。二維聲學(xué)黑洞局部區(qū)域網(wǎng)格的劃分如圖3所示，采用平面應(yīng)力下的C3D8R單元求解，每個波長內(nèi)至少包含10個單元以保證計(jì)算精度。

圖2 含有二維聲學(xué)黑洞的板結(jié)構(gòu)有限元模型

表1 結(jié)構(gòu)材料與幾何參數(shù)表

Tab.1 Geometrical and material properties of the plate

參數(shù)數(shù)值彈性模量/GPa270板材料密度/(kg·m-3)7800泊松比0.3m2h2/mm5r2/mm100

圖3 含有二維聲學(xué)黑洞板結(jié)構(gòu)局部區(qū)域網(wǎng)格的劃分

結(jié)構(gòu)受到五周期猝發(fā)音的集中力激勵，激勵點(diǎn)距離聲學(xué)黑洞中心點(diǎn)150 mm。如圖4所示，激勵中心頻率為f=20 kHz。結(jié)構(gòu)左端邊界固支，有限元求解得到結(jié)構(gòu)位移與速度響應(yīng)，運(yùn)用Python語言后處理獲取二維聲學(xué)黑洞板結(jié)構(gòu)平面板一側(cè)結(jié)點(diǎn)響應(yīng)，以Matlab平臺編程分析振動功率流以及能量分布。

(a)五周期猝發(fā)音激勵幅值

(b)激勵施加位置示意

3 振動功率流分析

板上任一點(diǎn)的振動功率流為x方向和y方向的振動功率流分量的矢量和

(10)

時(shí)間平均的功率流為

(11)

式中:F為力;v為速度。功率流在某一方向的分量由剪力、彎矩和扭矩三部分組成。例如沿x軸分量經(jīng)過簡化可寫成

(12)

現(xiàn)由兩點(diǎn)之間的速度信號求得某方向上的功率流，對于簡諧波

(13)

代入式(12)，于是有

(14)

假設(shè)結(jié)構(gòu)上沿x方向臨近兩點(diǎn)間距為d′如圖5,速度分別為v1和v2，則中點(diǎn)速度近似為

(15)

于是有

(16)

根據(jù)維納-辛欽公式,信號的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜函數(shù)互為傅里葉變換對

(17)

(18)

式中,V1和V2分別為v1和v2的傅里葉變換形式，按照帕斯瓦爾定理,信號按時(shí)域計(jì)算的平均功率等于按頻域計(jì)算的平均功率,可以得到功率流在頻域的表達(dá)式(取實(shí)部表示有功功率)

(19)

(20)

代入式(19)，就可得到功率流在x方向分量的互譜表達(dá)式(y方向可用同樣方法求得)

(21)

圖5 兩點(diǎn)排布坐標(biāo)示意圖

4 有限元數(shù)值計(jì)算結(jié)果

圖6為有限元數(shù)值計(jì)算所得位移響應(yīng)，選取板中含有二維聲學(xué)黑洞的正方形區(qū)域(240 mm×240 mm)部分進(jìn)行討論，聲學(xué)黑洞位于此正方形區(qū)域的中央位置，圖6(a)與圖6(b)為r1=20 mm的聲學(xué)黑洞，圖6(c)與圖6(d)為r1=30 mm的聲學(xué)黑洞，圖6(a)與圖6(c)為t=0.1 ms時(shí)的位移場，圖6(c)與圖6(d)為t=0.3 ms時(shí)的位移場?？梢?，在點(diǎn)激勵下彎曲波傳播以散射狀入射于聲學(xué)黑洞，而后在聲學(xué)黑洞中發(fā)生彎曲而能量聚集，并且波長在黑洞中心區(qū)域被壓縮，波動幅值顯著增大，在聲學(xué)黑洞中形成高能量密度區(qū)域。增大中心圓板的半徑，截?cái)嗪穸纫蚕鄳?yīng)增大，使得聚集在中心的彎曲波幅值降低，聚集區(qū)域明顯隨著平臺半徑的增大而擴(kuò)散。

(22)

式中,∑表示對0到T時(shí)刻內(nèi)的數(shù)值求和，圖7為t=0.3ms內(nèi)的能量分布，圖7(a)為r1=20mm的聲學(xué)黑洞，圖7(b)為r1=30mm的聲學(xué)黑洞。明顯可以看出能量聚集于聲學(xué)黑洞中，聲學(xué)黑洞對結(jié)構(gòu)中的彎曲波產(chǎn)生了類似陷波器的效果。同樣可以看出當(dāng)聲學(xué)黑洞中心的圓形平臺擴(kuò)大，能量聚集的范圍擴(kuò)大，但是依然聚集在聲學(xué)黑洞的中央?yún)^(qū)域。因此，減小中心平臺的大小即減小截?cái)嗪穸?，聲學(xué)黑洞的能量聚集效果增強(qiáng)。

振動功率流分析可以更加直觀地體現(xiàn)彎曲波能量在聲學(xué)黑洞中的傳遞。采用第3節(jié)中的方法計(jì)算二維聲學(xué)黑洞板中的振動功率流如圖8所示，圖8(a)與圖8(b)為r1=20mm的聲學(xué)黑洞，圖8(c)與圖8(d)為r1=30mm的聲學(xué)黑洞，圖8(b)與圖8(d)為圖8(a)與圖8(c)的局部放大。顯而易見，功率流以散射狀入射于聲學(xué)黑洞區(qū)域并在黑洞非均勻區(qū)域發(fā)生偏轉(zhuǎn)而聚集于聲學(xué)黑洞中心。對比圖8(b)與圖8(d)，當(dāng)中心平臺減小，在平臺附近的功率流矢量偏轉(zhuǎn)增大，因此，能量能夠更加高效地聚集于聲學(xué)黑洞中心。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

聲學(xué)黑洞試件在實(shí)驗(yàn)中的掃描區(qū)域與AE傳感器的位置如圖10所示，掃描區(qū)域大小為220mm×220mm，在寬度方向上距離邊界10 mm，聲學(xué)黑洞中心距離板長度方向邊界130 mm。ABH位于掃描區(qū)域中央。AE傳感器位于結(jié)構(gòu)對稱軸上與聲學(xué)黑洞中心的距離為d=150 mm。

(a)

(b)

(c)

(d)

(a) 為r1=20 mm的聲學(xué)黑洞

(b) 為r1=30 mm的聲學(xué)黑洞

實(shí)驗(yàn)采樣頻率為1 MHz，采樣時(shí)間為0.4 ms，x方向與y方向的空間采樣間隔為1 mm。對采集得到的信號經(jīng)過15～25 kHz的濾波處理后，得到不同時(shí)刻波場圖像，圖11為0.3 ms時(shí)刻波場圖像。結(jié)果顯示了彎曲波在聲學(xué)黑洞板中聚集于聲學(xué)黑洞中心區(qū)域。

將AE所采集到的信號運(yùn)用式(22)的方法計(jì)算能量在聲學(xué)黑洞板上的分布，如圖12，可見在聲學(xué)黑洞的中央?yún)^(qū)域，能量明顯聚集。將實(shí)驗(yàn)所得的結(jié)果(圖11和圖12)與仿真所得結(jié)果(圖6和圖7)進(jìn)行對比，實(shí)驗(yàn)與仿真基本吻合。圖13為通過實(shí)驗(yàn)所采集的信號計(jì)算能量功率流分布，同樣可以看出能量傳遞到聲學(xué)黑洞，在中心圓板附近功率流矢量偏轉(zhuǎn)而能量聚集于黑洞中。

(a)

(b)

(c)

(d)

(a) 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意圖

(b) 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)實(shí)物圖

圖10 掃描區(qū)域與AE傳感器的位置

6 結(jié) 論

本文利用有限元數(shù)值計(jì)算以及基于激光超聲技術(shù)的實(shí)驗(yàn)方法對含有中心圓形平臺的二維聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的彎曲波能量聚集效應(yīng)進(jìn)行研究，結(jié)合數(shù)值計(jì)算結(jié)果與振動功率流分析，從時(shí)域上研究了彎曲波在聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)中聚集的現(xiàn)象與能量聚集過程，從功率流傳遞路徑圖中可以直觀地看出彎曲波射線的偏轉(zhuǎn)，彎曲波能量聚集在聲學(xué)黑洞的中心區(qū)域。并研究了不同圓形平臺的大小對彎曲波能量聚集效應(yīng)的影響，減小中心平臺可提高聲學(xué)黑洞的能量聚集效應(yīng)。此外，通過激光超聲技術(shù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了彎曲波在聲學(xué)黑洞板中的聚集。本文的研究對后續(xù)振動噪聲控制及能量回收的應(yīng)用具有指導(dǎo)意義。

圖11 二維聲學(xué)黑洞板0.3 ms時(shí)刻波場圖像

Fig.11 Experimental results of wavefields for plate with two-dimensional ABH at 0.3 ms

圖12 實(shí)驗(yàn)中二維聲學(xué)黑洞板0.3 ms內(nèi)的能量分布

Fig.12 Experimental results of energy distribution for plate with two-dimensional ABH within 0.3 ms

(a)二維聲學(xué)黑洞板中功率流分布

(b)四分之一板的放大圖

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Energy focusing effect of Two-dimensional acoustic black hole on flexural waves

HUANG Wei1, JI Hongli1,2, QIU Jinhao1, CHENG Li2

(1. State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, Nanjing 210016， China； 2. Department of Mechanical Engineering, Hong Kong Polytechnic University, Hong Kong 999077, China)

The acoustic black hole (ABH) phenomenon in thin-walled structures with a power function form reducing leads to a smooth reduction of the phase velocity of flexural waves and energy focalization. In an ideal case, flexural wave velocity decreases to zero so that it never reaches a structure’s edge, much less reflects back. This causes structural areas with high energy density, the high energy effects can be used for various engineering applications, such as, energy harvesting, vibration and noise control and so on. In order to investigate the energy focusing effect of two-dimensional acoustic black hole on flexural waves, the model of two-dimensional acoustic black hole was built using the finite element software ABAQUS, and numerical simulations were conducted for the transmission of flexural wave in the acoustic black hole areas. Vibration power flow and finite element simulation were combined to analyze the energy focalization of flexural waves. Finally, the transmission process of flexural wave in two-dimensional acoustic black hole was imaged and analyzed by using the laser ultrasonic scanning technique. The test results verified the energy focalization effect of two-dimensional acoustic black hole on flexural waves.

acoustic black hole; flexural wave; finite element analysis; energy focalization; power flow

國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(11532006);機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(南京航空航天大學(xué))自主研究課題資助(0515Y02);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助(NE2015101);六大人才高峰C類(JXQC-002)；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目;江蘇省重點(diǎn)基金項(xiàng)目(BK20150061)

2015-12-17 修改稿收到日期：2016-03-15

黃薇 女，博士生，1991年生

季宏麗 女，副教授，1983年生

O421+．5

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.09.008