特高壓換流站內電壓變送器中鐵磁材料勵磁曲線擬合方法研究

葉有名，唐 明，張 華，陳 剛

(1.國網(wǎng)四川省電力公司，四川 成都 610041；2.國網(wǎng)四川省電力公司電力科學研究院，四川 成都 610072)

特高壓換流站內電壓變送器中鐵磁材料勵磁曲線擬合方法研究

葉有名1，唐 明2，張 華2，陳 剛2

(1.國網(wǎng)四川省電力公司，四川 成都 610041；2.國網(wǎng)四川省電力公司電力科學研究院，四川 成都 610072)

研究了特高壓換流站中由交直流耦合引發(fā)的鐵磁諧振過電壓問題，針對套管末屏測量單元中電壓變送器的勵磁曲線特性，分析了奇次多項式擬合與正切函數(shù)擬合的特點。利用泰勒公式與伯努利函數(shù)等數(shù)學工具論證了二者的擬合特具有內在統(tǒng)一性，為鐵磁諧振非線性方程的各種解析解和數(shù)值提供了理論支撐。

特高壓；鐵磁諧振；伯努利函數(shù)

0 引 言

隨著中國西部大開發(fā)戰(zhàn)略以及新能源戰(zhàn)略的扎實推進和不斷深入，“十三五”末四川電網(wǎng)水電外送能力預計超過60 Gw，其中通過超特高壓直流輸電工程外送的電力接近50 Gw，占到總外送能力的80%左右。在此期間，西南+兩華異步電網(wǎng)格局也將逐步形成，以四川為中心的西南電網(wǎng)特性將發(fā)生巨大改變，直流輸電運行特性及其擾動的實時控制、響應特性將對電網(wǎng)運行產(chǎn)生越來越顯著的影響。預計至2025年，四川電網(wǎng)內可能將再建10條以上的直流輸電工程，直流輸電系統(tǒng)運行性能和可靠性將對四川電網(wǎng)和交直流混聯(lián)電網(wǎng)安全運行起到至關重要的作用。

雖然中國在特高壓直流輸電技術領域已經(jīng)達到國際領先水平，但近年來的特高壓運維經(jīng)驗表明，在直流輸電的諸多細節(jié)方面仍有大量的研究工作有待深入開展。其中，交流系統(tǒng)和直流系統(tǒng)之間的耦合以及引發(fā)的鐵磁諧振過電壓問題尤為突出，其電磁暫態(tài)過程機理復雜，對特高壓直流輸電工程的安全穩(wěn)定運行構成很大威脅。

在鐵磁諧振領域，人們做了大量的研究；但由于鐵磁諧振問題理論上屬于高階非線性系統(tǒng)[1]，無法得到數(shù)學上的解析解，因此對問題的本質還未完全搞清楚。大量的試驗研究和運行均表明，實際的諧振情況十分復雜，可能存在基頻、高頻和分頻諧振甚至混沌等不同的諧振狀態(tài)[2]，因此長期以來鐵磁諧振一直是內部過電壓的理論難題和實際難題。

在理論分析上，主要有圖解法、相平面法、諧波平衡法、描述函數(shù)法等[3-5]。在數(shù)值計算和仿真分析方面，用給定參數(shù)進行計算得出有關諧振的規(guī)律，或者是采用電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)計算程序對實際系統(tǒng)進行建模仿真計算。

20世紀80年代后期，學者們又將鐵磁諧振與非線性動態(tài)系統(tǒng)和混沌分析結合起來[6]，將分叉理論、奇異和非奇異吸引子的概念引入鐵磁諧振的研究領域[7]，利用功率譜密度和龐加萊映射等方法對其進行動態(tài)分析[8]。

但無論是求近似解析解還是數(shù)值解，勵磁曲線的獲取和精確擬合是最核心的問題。在忽略磁滯和渦流的前提下，常見的勵磁曲線擬合方法有奇次多項式擬合與反正切函數(shù)擬合等方法。這里重點研究這兩種擬合方法各自的特點，并論證二者在數(shù)學本質上的統(tǒng)一性。

1 換流變壓器套管末屏鐵磁諧振的非線性方程

特高壓換流站換流變壓器套管末屏分壓器是監(jiān)測閥側繞組電壓的重要節(jié)點，其所采用的電容分壓原理與后續(xù)電壓采集單元構成了典型的CVT結構。為方便研究，可以采用戴維南定理將其等效轉化成如圖1所示的RLC串聯(lián)電路。

圖1 末屏分壓器的戴維南等效電路圖

該等效電路為一典型的串聯(lián)RLC電路，其回路電壓方程為

(1)

式中：E為等效電壓源電動勢；i為回路中的電流；R為串聯(lián)電阻；C為等效電容；φ為鐵心主磁鏈。

將i=f(φ)代入末屏分壓器回路電磁方程中可得

(2)

取E=Emsin(ωt)，對式(2)兩邊求導可得

(3)

式(3)是二階非線性方程，且?guī)в泻泐l恒幅激勵項。結合實際勵磁曲線進行擬合之后，可以方便地得到f(φ)中各多項式的系數(shù)。但即便如此，該方程也無法得到解析解。在不同的參數(shù)下，結果可能存在周期響應、擬周期響應甚至混沌響應，且不同初始條件對解的形式影響很大。

2 勵磁曲線擬合方法的統(tǒng)一性證明

在考慮鐵心的飽和之后，其磁鏈和勵磁電流之間不再是簡單的線性關系，某特高壓換流站中換流變壓器套管末屏電壓采集器的勵磁曲線如圖2所示。

圖2 電壓采集器的勵磁曲線

不失一般性，定義電流和磁鏈之間的關系為

i=f(φ)

(4)

在不考慮磁滯、渦流的情況下，鐵磁材料的勵磁曲線i=f(φ)是一條過原點的單調遞增曲線，具有奇對稱的性質，且滿足狄利克雷條件。在(0,0)點對其進行泰勒展開：

(5)

式中，Rn(φ)為φn的高階無窮小。

由i=f(φ)的奇對稱特性可知，其泰勒展開的無窮級數(shù)中只有φ的奇次冪而沒有偶次冪，且f(0)=0，因此i=f(φ)的泰勒級數(shù)展開可以化簡為

(6)

因此，對于i=a1φ+a3φ3、i=a1φ+a5φ5、i=a1φ+a7φ7、i=a1φ+a3φ3+a5φ5等擬合方法，均是勵磁曲線i=f(φ)在某種程度上的截斷和近似，其精度僅在某些范圍內滿足工程要求。

正、余弦函數(shù)的麥克勞林級數(shù)為

(7)

(8)

式中，R2n(φ)為φn的高階無窮小。

則正切函數(shù)泰勒展開可以由式(9)計算：

(9)

采用多項式相除常見的“長除法”，對式(9)進行化簡可得

(10)

式中，Bn為n次伯努利數(shù)，可以通過遞推公式進行計算。

(11)

于是正切函數(shù)的泰勒展開可以表達為

(12)

由上面推導可見，tanφ函數(shù)其本身的泰勒展開即為無窮項奇次冪多項式的加權之和，用其對勵磁曲線進行擬合在精度上必然要高于有限項奇次多項式的擬合結果，這是由正切函數(shù)本身的性質所決定。

上述結果表明，勵磁特性曲線i=f(φ)為一滿足狄利克雷條件的單調遞增奇函數(shù)，因此可以展開為奇次冪多項式無窮級數(shù)的加權之和。各類文獻中關于i=f(φ)函數(shù)關系式的各種擬合方法具有內在的統(tǒng)一性，均是奇次冪多項式的疊加；但采用正切函數(shù)進行擬合時，由于其本身就是奇次冪多項式的無窮級數(shù)之和，因此擬合效果會明顯優(yōu)于有限項多項式的擬合效果。

3 總 結

特高壓換流站中由交直流系統(tǒng)間的耦合而引發(fā)的鐵磁諧振過電壓問題尚不多見：由于鐵磁材料的飽和特性所引進的非線性特點，以至于無法得到解析解，在求取其數(shù)值解的時候，對勵磁曲線的近似擬合十分關鍵。

前面探討了常見的兩種擬合方法，并通過泰勒公式和伯努利函數(shù)等數(shù)學工具論證了兩種擬合方法在本質上是一致的?？梢哉J為，采用有限項多項式對勵磁曲線進行擬合是采用正切函數(shù)進行擬合的子集。從勵磁特性曲線本身的泰勒展開表達式上講，兩類方法具有高度的統(tǒng)一性。

[1] 楊鳴. 鐵磁諧振過電壓非線性特性及其柔性抑制策略研究[D].重慶：重慶大學，2014.

[2] 劉凡. 中性點直接接地系統(tǒng)鐵磁諧振過電壓的混沌特性與控制檢測方法[D]. 重慶：重慶大學，2006.

[3] 李俊. 500kVCVT鐵磁諧振問題研究[J]. 電測與儀表，2010，47(7A)：65-68.

[4] 張業(yè). 電力系統(tǒng)鐵磁諧振過電壓研究[D].成都：西南交通大學，2008.

[5] 秦祖澤，黃紹平. 電容式電壓互感器分頻鐵磁諧振新的分析方法[J]. 高壓電器，1997(4)：19-22.

[6] 王世凱. 小電流接地電力系統(tǒng)鐵磁諧振消諧裝置的研究[D].呼和浩特：內蒙古工業(yè)大學，2007.

[7] 張博，魯鐵成，杜曉磊. 中性點接地系統(tǒng)鐵磁諧振非線性動力學分析[J].高電壓技術，2007，33(1)：31-35.

[8] 黃治國，雷紅才，苗青，等.電容式電壓互感器分頻諧振的分析與對策[J]. 高電壓工程，2004，30(7)：58-59.

國家電網(wǎng)公司面向社會各界征集新技術

國家電網(wǎng)公司貫徹落實國家創(chuàng)新驅動發(fā)展戰(zhàn)略，致力于推動電力新技術在電網(wǎng)建設、生產(chǎn)、運營中的推廣應用工作?，F(xiàn)誠邀社會各界通過新技術征集平臺(國家電網(wǎng)公司電子商務平臺http://ecp.sgcc.com.cn)開展新技術申報工作。

Ferroresonance over-voltage caused by coupling of AC and DC system in ultra-high voltage (UHV) converter station is studied. Based on the excitation curve in voltage transformer unit, both characteristics of odd order polynomial fitting and tangent function fitting are analyzed and compared. Taylor′s formula and Bernoulli function are induced to prove the unity of both fitting methods, which provides a theoretical foundation for analytic solution and numerical solution.

ultra-high voltage; ferroresonance; Bernoulli function

TM713

A

1003-6954(2017)02-0001-03

2016-11-08)

葉有名(1972)，碩士，高級工程師，研究方向為電力系統(tǒng)自動化、高壓直流輸電。

唐 明(1986)，博士、工程師，主要從事電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析與控制的研究。