巧算橢類形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

張定梅，蔣再富，楊 司

(荊楚理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 荊門(mén) 448000)

巧算橢類形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

張定梅，蔣再富，楊 司

(荊楚理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 荊門(mén) 448000)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是研究剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一個(gè)重要物理量，橢類形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算十分復(fù)雜。本文利用慣量主軸法巧妙計(jì)算了橢類剛體繞過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，給出了參數(shù)表達(dá)式，對(duì)大學(xué)物理教學(xué)有一定的促進(jìn)作用。

橢球；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；慣量主軸

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是大學(xué)物理教學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)研究剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)必須計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量才能利用動(dòng)量矩定理求出相應(yīng)的物理量。在教學(xué)中經(jīng)常有學(xué)生問(wèn)到橢類形狀剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算問(wèn)題，如果采用極坐標(biāo)積分的方法進(jìn)行計(jì)算，過(guò)程將十分繁瑣，很多文獻(xiàn)中介紹了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法[1-7]，但利用慣量主軸法計(jì)算橢類形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量卻鮮有提及。利用慣量主軸法計(jì)算時(shí)將大大減少計(jì)算量，提高計(jì)算速度，并且可以給出參數(shù)表達(dá)式，下面介紹這種簡(jiǎn)單的計(jì)算方法。

1 基本理論

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式為[3]：

(1)

其中mi為所選取的剛體上任一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，ri為該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的垂直距離。對(duì)于復(fù)雜形狀的剛體，質(zhì)量微元不好選取，我們可以先選取剛體的對(duì)稱軸作為慣量主軸，計(jì)算出剛體繞慣量主軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，然后利用公式(2)可方便的計(jì)算出剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

I=Ixxcos2α+Iyycos2β+Izzcos2γ

(2)

其中α,β,γ為轉(zhuǎn)動(dòng)軸與慣量主軸的三個(gè)方向角。Ixx，Iyy，Izz為剛體繞慣量主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，(2)式我們稱為慣量主軸法，一旦確定了剛體的慣量主軸，便可方便地計(jì)算出剛體繞任一過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2 橢圓盤(pán)形狀剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

圖1 橢圓盤(pán)繞L軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

由于L不是橢圓盤(pán)的對(duì)稱軸，直接以L建立坐標(biāo)系計(jì)算將十分不便，如果選取橢圓盤(pán)的對(duì)稱軸建立坐標(biāo)系，利用公式(2)計(jì)算將大幅簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，首先計(jì)算橢圓盤(pán)繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ixx。

圖2 橢圓盤(pán)俯視圖

選取如圖2所示的積分元，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式可得出：

(3)

利用橢圓盤(pán)質(zhì)量公式m=ρπabh和積分公式：

(4)

(5)

(6)

則依據(jù)公式2可求出橢圓盤(pán)繞L軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

(7)

3 橢球形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

圖3 橢球繞L軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

根據(jù)前面的分析，我們先求出橢球繞三個(gè)慣量主軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，然后利用公式(2)可計(jì)算出該橢球繞L轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由于前面已經(jīng)算出橢圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，我們可以利用前面的結(jié)果和平行軸定理計(jì)算出橢球繞其中一個(gè)慣量主軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

在橢球上垂直于Y軸取一個(gè)厚度為dy的橢圓形薄圓盤(pán)，該橢圓方程為：

(8)

(9)

(10)

如果a=b，橢球?qū)⑥D(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)橢球，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:

(11)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用慣量主軸法巧妙地算出了橢圓盤(pán)和橢球剛體繞過(guò)質(zhì)心的任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，給出了參數(shù)表達(dá)式，并針對(duì)結(jié)果進(jìn)行了討論。在計(jì)算過(guò)程中利用了垂直軸定理和平行軸定理，并且利用了一些積分的技巧，所得結(jié)果可在大學(xué)物理課堂教學(xué)中進(jìn)行推廣。

[1]蔣再富,張定梅.轉(zhuǎn)子定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸上附加壓力計(jì)算的研究[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào),2016,13(19):69-71.

[2]蔣再富,張定梅.慣量主軸法在三維剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算中的應(yīng)用[J] .荊楚理工學(xué)院學(xué)報(bào),2016,32(6):68-70.

[3]周衍柏.理論力學(xué)課程3版[M] . 北京:高等教育出版社, 2014: 129-137.

[4]韓眾.幾種形狀規(guī)則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算[J]. 山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，(4)：25-26.

[5]周瑞雪.對(duì)幾種剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的研究[J].貴陽(yáng)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版) ,2011,6(3):10-13.

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[7]樓智美.巧算常見(jiàn)均質(zhì)旋轉(zhuǎn)體對(duì)母線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[J].大學(xué)物理,2003,22(11) :26-27.

A Simple Calculation of the Moment of Inertia on the Elliptical Rigid Body

ZHANG Ding-mei, JIANG Zai-fu, YANG Si

(School of mathematics and Physics, Jingchu University of Technology, Jingmen Hubei 448000, China)

The moment of inertia is an important physical quantity for studying the law of motion of a rigid body. The calculation of the moment of inertia is very complicated for the elliptical rigid body. In this paper, the inertia principal axis method is used to calculate the moment of inertia on the elliptical rigid body around the center of mass, and the expression of the parameters is put forward. It has a certain promotion for the college physics teaching.

ellipsoid; moment of inertia; principal axis of inertia

2017-01-02

張定梅(1981-), 女,湖北江陵人, 講師, 碩士,研究方向?yàn)榱W(xué)。

O369

A

1674-344X(2017)2-0022-03