大學(xué)物理課程中剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測量的誤差分析

劉 丹，金 奇

(湖北第二師范學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院,武漢 430205)

大學(xué)物理課程中剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測量的誤差分析

劉 丹，金 奇

(湖北第二師范學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院,武漢 430205)

扭擺法是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中測量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一種有效方法。本文首先測量了剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并進(jìn)行了誤差分析，然后對影響實(shí)驗(yàn)的誤差因素進(jìn)行了研究。得到如下結(jié)論：將光電門擺放在扭擺平衡位置才會(huì)令誤差最??；初擺角只要在75°到150°之間彈簧的K值就基本為一個(gè)定值；測量周期不能低于10次。

扭擺法；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；誤差分析

剛體是大學(xué)物理課程中力學(xué)部分的一種重要的模型，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過程中慣性大小的量度，是研究剛體動(dòng)力學(xué)特性的一個(gè)重要物理量。隨著現(xiàn)代高新技術(shù)的發(fā)展，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測量也已經(jīng)應(yīng)用到了許多重要產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域，如在機(jī)械行業(yè)、汽車工業(yè)、兵器系統(tǒng)、航天工程、生物工程、體育等行業(yè)中對轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求解問題都是存在的。

在物理實(shí)驗(yàn)中有很多方法來測量物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，如復(fù)擺法、扭擺法、三線擺法、落體法等[1]。對比這幾種方法的優(yōu)缺點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)：(1)落體法測物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一種比較簡便的方法，但是測量時(shí)受阻尼影響比較大，精度相對不夠高；(2)三線擺法擁有成本低、受阻尼影響較小、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，不過被測件在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中常常還伴有扭動(dòng)，會(huì)讓擺動(dòng)周期的準(zhǔn)確測定很難實(shí)現(xiàn)，并且對懸線的剛度、長度和懸掛位置要求都比較高；(3)復(fù)擺法精度較高，但比較適用于測量長徑比比較大的回轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(4)雖然彈簧的扭擺常數(shù)需要測定得出，但在扭擺托盤轉(zhuǎn)動(dòng)速度較低的情況下，且忽略了空氣阻力等因素后，扭擺法的測量精度很高。其測量裝置的承載力較高，測量過程也較為簡單[2]。由上可知，扭擺法具有很高的優(yōu)越性，因此本文重點(diǎn)研究扭擺法。

1 實(shí)驗(yàn)裝置

扭擺的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示，在垂直軸上安裝了一根薄片狀的螺旋彈簧，能夠產(chǎn)生恢復(fù)力矩。待測物體可放置在垂直軸上。垂直軸與支座之間裝有軸承，作用是降低扭擺的摩擦力矩?？赏ㄟ^調(diào)節(jié)底座上的三個(gè)螺絲和水平儀來令儀器水平[3]。

將待測物放置在水平扭擺上并轉(zhuǎn)過一個(gè)角度θ之后，彈簧會(huì)產(chǎn)生一個(gè)恢復(fù)力矩對物體作功，待測物會(huì)開始繞垂直軸做往返運(yùn)動(dòng)。依據(jù)胡克定律，彈簧受扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的恢復(fù)力矩M與其轉(zhuǎn)過的角度θ成正比[3]，即

M=-Kθ

(1)

式(1)中的K是彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)。根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律

M=Iβ

(2)

圖1 扭擺實(shí)驗(yàn)裝置簡圖

(3)

方程(3)說明扭擺運(yùn)動(dòng)具有角簡諧振動(dòng)的特性，角加速度與角位移成正比，而且方向相反。此方程解為

θ=Acos(ωt+φ)

(4)

式(4)中，A為諧振動(dòng)的角振幅，φ為初相位角，ω為角頻率。諧振動(dòng)的周期為

(5)

由式(5)可知，只要測量得到物體的扭擺周期T，而且I與K中有任意一個(gè)量為已知量時(shí)，可以計(jì)算出另一個(gè)量。

2 實(shí)驗(yàn)步驟與測量結(jié)果

扭擺的彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)K需要測量，實(shí)驗(yàn)中采用先測定出一個(gè)幾何形狀規(guī)則的物體(本次實(shí)驗(yàn)中使用的是圓柱體)的擺動(dòng)周期，然后測得它的質(zhì)量和幾何尺寸，用理論公式直接算出其理論轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，再根據(jù)式(5)算出實(shí)驗(yàn)儀器的彈簧的扭擺常數(shù)K值。接著測量得到其他待測物體的擺動(dòng)周期，然后利用式(5)計(jì)算出待測物體繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[4]。

在儀器上裝上金屬載物盤，利用載物盤上的擋光桿測出載物盤的擺動(dòng)周期T0。然后將圓柱體裝在在載物盤上，測出擺動(dòng)周期T1。

(6)

將測得的載物盤和塑料圓柱周期以及塑料圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值代入式(6)，計(jì)算得出彈簧的扭擺常數(shù)為K=3.841×10-2Nm-1。

取下圓柱體，放上金屬圓筒，測定其擺動(dòng)周期T2。取下載物盤，裝上塑料球，測定其擺動(dòng)周期T3。接著利用夾具測定出金屬細(xì)桿的擺動(dòng)周期T4。

利用測量得到的這些數(shù)據(jù)，能夠計(jì)算出各個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表1，計(jì)算結(jié)果見表2。

表1 擺動(dòng)周期測量數(shù)據(jù)

表2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算數(shù)據(jù)及誤差計(jì)算

由于計(jì)算彈簧的K值時(shí)使用了塑料圓柱的擺動(dòng)周期數(shù)據(jù)，所以表2中可看到塑料圓柱的誤差特別??；而塑料球則因?yàn)橹ё脑?，百分誤差比其他物體誤差稍大；其他物體的誤差在容許范圍之內(nèi)。

3 不確定度分析

文獻(xiàn)5中推導(dǎo)出了扭擺法誤差分析的準(zhǔn)確公式，[5]在忽略了標(biāo)準(zhǔn)件的相對誤差后公式簡化為

(7)

式(7)中：J0——托盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Js——托盤與標(biāo)準(zhǔn)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jd——托盤與被測件的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；uJd——被測件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的相對誤差；uT0——托盤周期的相對誤差。

測量儀器的精確度為千分之一秒，根據(jù)托盤轉(zhuǎn)動(dòng)周期可計(jì)算出其中uT0=1.4×10-5，將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入式(7)中計(jì)算出相對誤差，結(jié)果如表3所示。

表3 相對誤差

從上表可以看出實(shí)驗(yàn)誤差在允許范圍內(nèi)，且當(dāng)被測物的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相對于載物盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大時(shí)，被測物的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相對誤差越小。

由不確定度評定公式可知[6]：

u(Is)=Is

(8)

u(It)=It

(9)

式中：Is、It為圓柱和金屬圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

T0、Ts、Tt為載物盤、圓柱、金屬圓筒的扭轉(zhuǎn)周期

u(T0)、u(Ts)、u(Tt)為載物盤、圓柱、金屬圓筒的扭轉(zhuǎn)周期不確定度

u(ms)、u(mt)為圓柱和金屬圓筒的質(zhì)量不確定度

u(Is)、u(It)為圓柱和金屬圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定度

由于實(shí)驗(yàn)中用到的物體除重量外的參數(shù)皆使用出廠參數(shù)，即除重量外的參數(shù)皆為已知，所以圓柱直徑和圓筒的內(nèi)外徑的不確定度從計(jì)算中略去。

圓柱體質(zhì)量的不確定度：實(shí)驗(yàn)所用天平的最大分度值為100mg，則圓柱體質(zhì)量的不確定度為：

u(ms)=Δ儀=0.1g

測量結(jié)果為ms=(711±0.1)g

金屬圓筒質(zhì)量的不確定度：實(shí)驗(yàn)所用天平最大分度值為100mg，則金屬圓筒質(zhì)量的不確定度為：

u(mt)=Δ儀=0.1g

測量結(jié)果為mt=(710±0.1)g

實(shí)驗(yàn)所用的測量儀器的精確度為0.001s，每次測量時(shí)間為10個(gè)周期，共測3次，測量數(shù)據(jù)見表1，算得不確定度：

u(T0)=0.00027s

u(Ts)=0.00010s

u(Tt)=0.00010s

將上述數(shù)據(jù)及表2中個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量代入式(8)與式(9)中計(jì)算得

u(Is)=5.155×10-6kgm2

u(It)=10.574×10-6kgm2

即圓柱體和金屬圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的相對不確定度為

計(jì)算表明，其中圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的相對不確定度為0.58%，金屬圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的相對不確定度為0.63%，在實(shí)驗(yàn)誤差允許范圍內(nèi)。觀察式(8)與式(9)可看出測量周期時(shí)的測量精確度對測得的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的精確度有很大影響。

4 誤差影響研究

在實(shí)驗(yàn)過程中，很多外在因素都會(huì)對測量結(jié)果造成影響，因此本文對幾個(gè)會(huì)對實(shí)驗(yàn)結(jié)果帶來誤差的因素進(jìn)行了細(xì)致的分析和討論。

4.1 初擺角的影響

本實(shí)驗(yàn)中的注意事項(xiàng)之一就是要求初擺角為90°，但并沒有說明初擺角為非90°時(shí)對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。因此本文首先將初擺角從固定的90°改成了從30°逐漸改變到180°，將扭轉(zhuǎn)常數(shù)計(jì)算出來后進(jìn)行對比，具體見表4。

表4 擺角與K值數(shù)據(jù)

將表4的數(shù)據(jù)繪制成曲線后能更直觀的表明擺角θ與扭轉(zhuǎn)常數(shù)K的變化關(guān)系。很明顯，在擺角為30°時(shí)K值最大，在30°到60°時(shí)K值變化幅度很大，在75°到150°之間K值基本為一個(gè)定值。因此可得出結(jié)論：擺角并不是非要選在90°，可以在75°到150°之間選擇一個(gè)適宜的角度，不宜太大也不宜過小；但是在選定一個(gè)角度后，整個(gè)實(shí)驗(yàn)中的初擺角都要為同一角度，以減小誤差。

圖2 K值與擺角θ關(guān)系曲線圖

4.2 光電門擺放位置的影響

表5 不同光電門偏離角度與擺角時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期數(shù)據(jù)

圖3 轉(zhuǎn)動(dòng)周期隨光電門偏離角度α及擺角θ的變化曲線圖

分析圖3中可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)初擺角固定時(shí)，隨著光電門偏離平衡位置角度α變大，測量出的周期會(huì)越來越小；當(dāng)光電門放在扭擺平衡位置時(shí)，即使擺角改變，測得的周期值也很集中，而當(dāng)光電門偏離扭擺平衡位置越遠(yuǎn)即α越大時(shí)，改變初擺角測得的周期值越分散。

綜合上述分析可以得出結(jié)論：光電門擺放在扭擺平衡位置時(shí)，測量周期比光電門擺放在其他位置測量周期的準(zhǔn)確度高。

4.3 測量周期的影響

在現(xiàn)實(shí)中由于各種阻尼的作用，扭擺能維持的有效的振動(dòng)次數(shù)有是有限的，如果測量周期超過了其有效振動(dòng)次數(shù)的話，實(shí)驗(yàn)結(jié)果會(huì)受到較大誤差。因?yàn)閷?shí)驗(yàn)所使用計(jì)時(shí)儀器的最大測量周期為20，所以本文研究了20次以內(nèi)的測量周期是否會(huì)對實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成影響。以金屬細(xì)桿為例，詳細(xì)數(shù)據(jù)見表6。

表6 測量周期數(shù)與轉(zhuǎn)動(dòng)周期均值數(shù)據(jù)表

表6的數(shù)據(jù)表明，在測量周期在10次到20次時(shí)，測量周期均值基本相同；但測量周期小于10次時(shí)，由于扭擺最開始運(yùn)動(dòng)時(shí)還未做自由扭擺運(yùn)動(dòng)，對周期測量稍有影響，使得測量周期均值略低于10次到20次時(shí)。由此可以得出結(jié)論：測量周期要定在10次以上。

剛體是大學(xué)物理課程中的重要模型，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是反映剛體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要物理量。本文采用扭擺法來測量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并對影響實(shí)驗(yàn)的誤差因素進(jìn)行了詳細(xì)分析。研究結(jié)果將為大學(xué)物理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測量實(shí)驗(yàn)提供參考。

[1]馮艷秋. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測試系統(tǒng)設(shè)計(jì)及精度分析[D].長春理工大學(xué)，2011.

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Error Analysis on the Measurement with the Moment of Inertia of the Rigid Body in College Physics Teaching

LIU Dan, JING Qi

(School of Physical Mechanical and Electrical Engineering, Hubei University of Education, Wuhan 430205, China)

Torsion pendulum method is an effective method to measure moment of inertia. In this paper, firstly, the moment of inertia of the object is measured and the error analysis is carried out. Then, the error factors of the experiment are studied. The conclusions are as follows. In order to make the minimum error, photoelectric door should be placed in torsion balance. As long as the initial swing angle between 75 degrees to 150 degrees, the K value of the spring is basically a fixed value. Measurement period is not less than 10 times. It provides a reference for the measurement of the moment of inertia

torsion pendulum method; moment of inertia; error analysis

2016-12-25

湖北第二師范學(xué)院校級教學(xué)研究項(xiàng)目(X2014014)

劉 丹(1981-)，女，湖北紅安人，副教授，博士，研究方向?yàn)槟蹜B(tài)物理、光學(xué)與大學(xué)物理教學(xué)。

O369

A

1674-344X(2017)2-0017-05