基于SplitBregman算法的圖像處理

石國(guó)良

(中國(guó)傳媒大學(xué) 理工學(xué)部，北京100024)

基于SplitBregman算法的圖像處理

石國(guó)良

(中國(guó)傳媒大學(xué) 理工學(xué)部，北京100024)

在本文中，我們介紹了圖像去噪的經(jīng)典模型-TV去噪模型，TV去噪能更好地保留圖像的邊緣細(xì)節(jié)。我們通過實(shí)驗(yàn)使用SplitBregman迭代算法對(duì)TV模型進(jìn)行圖像去噪，最終我們得出SplitBregman算法收斂速度快，處理TV去噪模型時(shí)也能保留圖像的細(xì)節(jié)。

圖像去噪；TV模型；SplitBregman迭代算法；保留圖像細(xì)節(jié)

1 前言

數(shù)字圖像處理主要包括圖像去噪、圖像增強(qiáng)、圖像壓縮、圖像分割、圖像壓縮等，圖像去噪是數(shù)字圖像處理的一個(gè)重要研究方向。圖像在獲取和傳輸過程中，不可避免地會(huì)受到噪聲的污染，所以在后續(xù)的圖像處理分析之前去進(jìn)行圖像去噪是非常有必要的。在1992年 Leonid I.Rudin，S tanleyO sher and Emand Fatemi在”Nonlinear total vaiation based noise removal algorithms”一文中提出了TV去噪模型，該模型在圖像去噪和復(fù)原領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。本文主要介紹在TV模型的背景下，使用SplitBregman算法進(jìn)行圖像去噪，與ROF迭代算法進(jìn)行比較。

2 圖像去噪的TV模型及其ROF迭代算法

2.1 圖像去噪的TV模型

全變分圖像處理問題就是通過觀測(cè)到的帶噪聲圖像u0(x，y)，提取出“干凈的”圖像u(x，y)。模型是u0(x，y)=u(x，y)+n(x，y)

考慮如下的帶約束的梯度最小化問題：

(1)

這個(gè)優(yōu)化問題可以用Lagrange乘子技巧來解決，此時(shí)需要考慮的優(yōu)化問題變?yōu)?/p>

(2)

(3)

(4)

(5)

2.2ROF迭代算法

(xi，yi)=(ih，jh)，i，j=0，1，2，3，…，N

(6)

時(shí)間變化率和邊界條件離散，

(7)

將以上的數(shù)值應(yīng)用到(4)(5)式得出TV模型對(duì)應(yīng)的離散梯度下降流計(jì)算格式為

(i，j=0，1，…，N)

(8)

3 Bregman算法及SplitBregman算法

3.1 Bregman算法

從[3]中給出如下的算法：

(9)

我們提出以下迭代算法

(1)加載：u0=0，v0=0

(2)Fork=0，1，2，…，計(jì)算uk+1，并更新vk+1：

(注：vk+1的迭代式子由Euler-Lagrange公式推導(dǎo)出)

(10)

(11)

由此得到一個(gè)一般的迭代算法；

令u0=0，p0=0，fork=1，2…

計(jì)算pk：pk=pk-1+λK*(f-kuk)∈?J(uk)。

3.2 SplitBregman算法

觀察到在使用Bregman迭代解決問題時(shí)，求解u的子問題時(shí)，計(jì)算量大所以在求解u的子問題時(shí)采用Split的技巧。假設(shè)我們要求求解以下的問題[4]：

(12)

引入一個(gè)對(duì)偶變量d=Φu，此時(shí)(12)就轉(zhuǎn)化為求解下列問題

(13)

(14)

(15)

(16)

由(16)可得

(17)

bk+1=bk-dk+1+Φuk+1

注意到(17)式與下式等價(jià)

(18)

第三項(xiàng)

bk+1=bk-dk+1+Φuk+1

(19)

求解(19)式可使用交替迭代算法，即固定u，求解d，固定d，求解u。在固定u，求解d時(shí)，可使用shrink算子求解，在固定d，求u時(shí)，方程就是一個(gè)較好求解的方程，但是依然會(huì)用到求矩陣的逆或者其他手段。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

我們采用256×256的Lenna彩色圖象和256×256的cameraman灰度圖像，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。采用的高斯白噪聲均值為0，方差為0.01，圖1為使用SplitBregman算法的TV去噪效果，圖2為使用ROF迭代的去噪效果。

圖1 Split Bregman迭代

圖2 ROF迭代

5 總結(jié)

在本文中，我們以TV去噪模型為基礎(chǔ)，利用SplitBregman迭代算法進(jìn)行TV去噪，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，去噪的收斂速度大大加快，且依然很好地保留了圖像的邊緣。

事實(shí)上，當(dāng)噪聲強(qiáng)度比較大時(shí)，TV模型去噪會(huì)出現(xiàn)階梯效應(yīng)的現(xiàn)象，目前比較流行的是使用四階偏微分方程去噪[5]，可以有效地避免階梯效應(yīng)。

[1]LeonidIRudin，StanleyOsher，EmadFatemi.Nonlineartotalvariationbasednoiseremovalalgorithms[J].PhysicaD，1992，60(7)：259-268.

[2]王橋.數(shù)字圖像處理[M].北京：科學(xué)書版社，2009：222-228.

[3]MariusLysaker，StanleyOsher，Xue-ChengTai.NoiseRemovalUsingSmoothedNormalsandSurfaceFitting[J].IEEETransactionsonImageProcessing，2004，13(10)：1345-1357.

[4]TomGoldstein，StanleyOsher.TheSplitBregmanMethodforL1RegularizedProblems[J].SIAMJournalonImagingSciences)，2009，2(2)：323-343.

[5]MLysaker，ALundervold，Xue-ChengTai.NoiseRemovalUsingFourth-OrderPartialDifferentialEquationWithApplicationstoMedicalMagneticResonanceImagesinSpaceandtime[J].IEEETransactionsonImageProcessing，2003，12(12)：1579-1590.

(責(zé)任編輯：宋金寶)

The Image Processing Based on Split Bregman Algorithm

SHI Guo-liang

(Faculty of Science and Technology，Communication University of China，Beijing 100024，China)

In this paper，we introduce the classical model of image denosing-TV denosing model，TV denosing can retain the edge details of the noise image effectively.We denoise the blurred image through the Split Bregman iteration algorithm in experiment，and finally we known that using Split Bregman algorithm convergence is fast，what’s more，dealing with problem of TV denoising also can effectively retain the details of the image.

image denosing；Total Variation(TV)model；Split Bregman iteration algorithm；retain image details

2016-04-05

石國(guó)良(1988-)，男(漢族)，江蘇淮安人，中國(guó)傳媒大學(xué)碩士研究生，E-mail：shiguoliang@cuc.edu.cn.

TP

A

1673-4793(2017)02-0032-06