基于有理插值公式的GM(1，1)模型的背景值構(gòu)造新方法與應(yīng)用

韓然

(中國(guó)傳媒大學(xué) 理學(xué)院，北京 100024)

基于有理插值公式的GM(1，1)模型的背景值構(gòu)造新方法與應(yīng)用

韓然

(中國(guó)傳媒大學(xué) 理學(xué)院，北京 100024)

分析了GM(1，1)模型中的背景值，提出了用有理插值和數(shù)值積分中的梯形公式及外推法重構(gòu)背景值，可以有效地提高模型的預(yù)測(cè)精度和適用性，并將其方法應(yīng)用于我國(guó)人均發(fā)電量預(yù)測(cè)建模中，理論分析和應(yīng)用實(shí)例表明了文章所提方法的有效性。

灰色系統(tǒng)；背景值；重構(gòu)；GM(1，1)模型；有理插值

1 前言

灰色系統(tǒng)理論具有所需樣本數(shù)據(jù)少，不需要計(jì)算統(tǒng)計(jì)特征量等優(yōu)點(diǎn)。因此，自1982年提出以來(lái)得到了研究人員的重視，已經(jīng)在許多領(lǐng)域，特別是在顯著不確定性和缺乏數(shù)據(jù)信息的領(lǐng)域得到了成功應(yīng)用。利用GM(1，1)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)雖然有許多成功的實(shí)例，但同時(shí)也存在一些預(yù)測(cè)誤差過(guò)大的情況，反映了GM(1，1)模型的實(shí)用性有待提高。因此，對(duì)GM(1，1)模型進(jìn)行深入地研究，找出影響GM(1，1)模型精度及其適應(yīng)性，具有非常重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義。文獻(xiàn)[1]用實(shí)驗(yàn)的方法分析了GM(1，1)模型誤差特性，文獻(xiàn)[2]提出GM(1，1)模型中的背景值構(gòu)造方法影響其精度和適應(yīng)性的關(guān)鍵因素，并給出了一個(gè)重構(gòu)公式。文獻(xiàn)[3給出了基于多項(xiàng)式的Netwon插值重構(gòu)，本文作者提出了基于古老的連分式理論的有理插值，仿真例子表明本文所提出方法的有效性。

2 GM(1，1)動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型的建模機(jī)理

一次累加GM(1，1)模型是最常用的一種灰色動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型，該模型由一個(gè)單變量的一階微分方程構(gòu)成。其建模過(guò)程如下：

設(shè)原始非負(fù)數(shù)據(jù)序列為：

X(0)={x(0)(1)，…，x(0)(n)}，

(1)

其中x(0)(i)>0，i=1，…，n。

對(duì)原始數(shù)據(jù)作一次累加，

X(1)={x(1)(1)，…，x(1)(n)}，

(2)

由一階生成模塊X(1)建立模型GM(1，1)，對(duì)應(yīng)的白化微分方程為：

(3)

其中a和b為待辯識(shí)常數(shù)。

待辯識(shí)常數(shù)的最小二乘解為：

(4)

為背景值。

方程(3)的離散解為：

(5)

還原到原始數(shù)據(jù)為：

從公式(4)可看出擬合和預(yù)測(cè)精度取決于常數(shù)a和b，而a和b的求解則依賴于背景值z(mì)(1)(k+1)，背景值z(mì)(1)(k+1)的值成為直接影響GM(1，1)模型精度和適應(yīng)性的關(guān)鍵因素。

3 GM(1，1)模型背景值的改進(jìn)

考慮上述背景值的求法實(shí)際上就是數(shù)值積分中的梯形公式，而梯形法的誤差較大，精度較低，為此我們提出用基于連分式理論的有理插值與廣義梯形公式來(lái)重構(gòu)背景值。

定義1[4]設(shè){an}，{bn}為兩個(gè)實(shí)數(shù)列，稱形如：

(6)

的分式為連分式(continuedfractions)，記作

而式

(7)

稱為連分式(6)的n次漸近連分式。其運(yùn)算法則按一般分式運(yùn)算。見(jiàn)文獻(xiàn)[4]。

定義2下述形式的連分式：

調(diào)查還發(fā)現(xiàn)，影響學(xué)生對(duì)專業(yè)態(tài)度的因素依次為個(gè)人興趣愛(ài)好、就業(yè)出路和事業(yè)前途。在一二年級(jí)主要是受“個(gè)人興趣愛(ài)好”的影響，面臨畢業(yè)時(shí)，“就業(yè)出路”成為影響學(xué)生對(duì)專業(yè)態(tài)度的主要因素。

(8)

為Thiele型連分式。

定義3[4]設(shè)X={x0，x1，…，xn，…}是實(shí)平面上一點(diǎn)集，f(x)是定義在G?X上的函數(shù)，令

φ[xi]=f(xi)，i=0，1，2，…，

稱由上述公式確定的φ[x0，x1，…，xl]為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0，x1，…，xl處的l階逆差商。

定理1[4]設(shè)

(9)

其中φ[x0，x1，…，xk]≠0，∞，k=0，1，…，n為f(x)在x0，x1，…，xk處的k階逆差商，則有

Rn(xi)=f(xi)，i=0，1，…，n

即函數(shù)Rn(x)為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0，x1，…，xn處的有理插值函數(shù)。

3.2 基于廣義梯形公式的背景值改進(jìn)法步驟如下：

1)取(2)中的一次累加序列：

X(1)={x(1)(1)，…，x(1)(n)}，

2)取y(k)=k，k=1，2，…，n，m=4(或m=8)，

4)構(gòu)造背景值

當(dāng)m=4時(shí)

當(dāng)m=8時(shí)

或組合公式

4 應(yīng)用實(shí)例

例1：本文以我國(guó)人均能源消耗量的預(yù)測(cè)為例，比較本文與文獻(xiàn)[3]模型的模擬預(yù)測(cè)精度，數(shù)據(jù)來(lái)源《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》。其中以1998-2004年的數(shù)據(jù)建模，預(yù)測(cè)2005，2006，2007年的數(shù)據(jù)。結(jié)果如表1。按本文方法，建立我國(guó)人均能源消耗量灰色預(yù)測(cè)模型為如(10)式，文獻(xiàn)[3]模型如(11)式所示：

(10)

(11)

表1 我國(guó)人均能源消耗量預(yù)測(cè)比較

續(xù)表

例2：

本文以我國(guó)航空客運(yùn)量預(yù)測(cè)為例，比較本文與文獻(xiàn)[3]的模型模擬預(yù)測(cè)精度，數(shù)據(jù)來(lái)源《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》。其中以2000-2004年的數(shù)據(jù)建模，預(yù)測(cè)2005，2006，2007年的數(shù)據(jù)。結(jié)果如表2。按本文建立我國(guó)航空客運(yùn)量灰色預(yù)測(cè)模型如(12)式，文獻(xiàn)[3]模型如(13)所示：

(12)

(13)

表2 我國(guó)航空客運(yùn)量預(yù)測(cè)

5 小結(jié)

從上面的模擬和預(yù)測(cè)可以看出，所建立的模型模擬和預(yù)測(cè)精度是很高的，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。應(yīng)該指出，在應(yīng)用中應(yīng)重視數(shù)據(jù)的整理處理的方法、分析和篩選。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)可以用不同方法得到不同的模型，從中選擇與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題擬合較好的模型，以便提高模型的擬合精度，得到較好的預(yù)測(cè)模型。

[1]黃巍松，吉培榮，胡翔勇.灰色GM(1，1)模型誤差特性的實(shí)驗(yàn)研究[J].武漢水利電力學(xué)報(bào)，2000，1(22)：69-72.

[2]譚冠軍.灰色GM(1，1)模型的背景值構(gòu)造方法和應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2000，20(4)：98-103.

[3]李俊峰，戴文戰(zhàn).基于插值和Netwon-cores公式的GM(1，1)模型的背景值構(gòu)造新方法和應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2004，24(10)：122-126.

[4]檀結(jié)慶.連分式理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

(責(zé)任編輯：宋金寶)

A New Approach of Background Value-Building and Its Application Based on the Data Rational Interpolation

HAN Ran

(Science School，Communication University of China，Beijing 100024，China)

In this paper，the author analyses that the building approach method of background value in Grey model GM(1，1)is important and that rationally constructing background value can improve precision and adaptability of the grey model.The method of background value reconstructing in grey model GM(1，1)based on the data rational interpolation and the extrapolation formula of numerical integral is pointed out.Simulation examples show the effectiveness of the proposed approach.

grey system；background value；reconstruction；GM(1，1)model

2016-07-05

韓然(1976-)，男(漢族)，山東濰坊人，中國(guó)傳媒大學(xué)理學(xué)院講師，E-mail：hanran@cuc.edu.cn.

O

A

1673-4793(2017)02-0022-06