具有投資收益的多險種復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率

魏 靜，葛世剛，倉定幫

(華北科技學(xué)院 基礎(chǔ)部，北京 東燕郊 101601)

具有投資收益的多險種復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率

魏 靜，葛世剛，倉定幫

(華北科技學(xué)院 基礎(chǔ)部，北京 東燕郊 101601)

在經(jīng)典風(fēng)險模型的基礎(chǔ)上，考慮到投保集體的不同質(zhì)性，建立了保費(fèi)收取過程和理賠過程均為負(fù)二項(xiàng)過程、投資收益率為常數(shù)的多險種隨機(jī)風(fēng)險模型，通過分析盈利過程的性質(zhì)，得到終極破產(chǎn)概率的計(jì)算公式和破產(chǎn)概率上界的Lundberg不等式,特別地，給出了兩險種時，保費(fèi)和理賠額服從指數(shù)分布下破產(chǎn)概率的精確表達(dá)式。結(jié)果表明：在投資收益一定時，保險公司增加用于投資的金額，可以降低破產(chǎn)概率，從而規(guī)避風(fēng)險。

多險種；投資；負(fù)二項(xiàng)過程；指數(shù)分布；破產(chǎn)概率

0 引言

破產(chǎn)概率的研究一直是保險風(fēng)險研究的一大熱點(diǎn)，經(jīng)典風(fēng)險模型往往只考慮單一險種的破產(chǎn)問題，隨著保險市場的多元化，保險種類的多樣化，越來越多的學(xué)者開始對經(jīng)典的風(fēng)險模型從不同的角度進(jìn)行推廣，簡而言之，近年的文獻(xiàn)主要從以下幾個方面對風(fēng)險模型進(jìn)行了推廣：(1)考慮兩種及以上的保險種類；(2)加入干擾項(xiàng)；(3)考慮利率的影響；(4)考慮退保的影響；(5)考慮投資收益。文獻(xiàn)[1-3]研究了兩險種風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率；文獻(xiàn)[4]對保費(fèi)收取服從不同的隨機(jī)過程的角度建立了多險種風(fēng)險模型，得到了破產(chǎn)概率的計(jì)算公式；文獻(xiàn)[5]考慮了干擾條件下復(fù)合Poisson Geometric過程的多險種風(fēng)險模型下的破產(chǎn)概率；文獻(xiàn)[6]將退保因素考慮進(jìn)來，建立了退保影響下的多險種風(fēng)險模型，通過分析盈余過程的性質(zhì)，得到了破產(chǎn)概率的表達(dá)式和破產(chǎn)上界；隨著保險經(jīng)營的多元化，保險公司會考慮將一部分資金拿去做投資，投資就會有風(fēng)險，考慮帶有投資收益的多險種風(fēng)險模型則更為合乎實(shí)際，文獻(xiàn)[7-8]研究了帶投資收益的多險種風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率。本文在以上的基礎(chǔ)上，考慮到在實(shí)際的風(fēng)險中，保單的不同質(zhì)性，保費(fèi)收取的次數(shù)和理賠次數(shù)的期望和方差不一定相等，建立了保費(fèi)收取和賠付服從負(fù)二項(xiàng)過程、帶投資收益的多險種風(fēng)險模型，通過分析盈余過程的性質(zhì)，得到破產(chǎn)概率公式和破產(chǎn)上界的Lundberg不等式。

1 模型建立描述

在保險實(shí)務(wù)中，保費(fèi)收取和理賠次數(shù)的期望和方差不一定相等，考慮到保單的不同質(zhì)性，我們考慮投保次數(shù)和理賠次數(shù)均符合負(fù)二項(xiàng)過程，建立帶投資收益的多險種風(fēng)險模型：

(1)

1)u:t=0時刻的盈余，即保險公司的初始準(zhǔn)備金；

3)Xki：第k類風(fēng)險第i次的保費(fèi)，i=1,2,…;k=1,2,…,n；

Mk(t):時刻t為止第k類風(fēng)險收取的保費(fèi)次數(shù)，服從參數(shù)為(hk,pkX)的負(fù)二項(xiàng)分布；k=1,2,…,n

4)Yki：第k類風(fēng)險第i次的理賠額，i=1,2,…;k=1,2,…,n；

Nk(t):第k類風(fēng)險時刻t為止的理賠次數(shù)，服從參數(shù)為(sk,pkY)的負(fù)二項(xiàng)分布；k=1,2,…,n；

5) {Mk(t):t≥0,k=1,2,…,n}，{Nk(t):t≥0,k=1,2,…,n}，

{Xki:k=1,2,…,n;i=1,2,…}，{Yki:k=1,2,…,n;i=1,2,…}相互獨(dú)立；

(2)

2 盈利特性分析

引理1：盈利過程{S(t),t≥0}具有平穩(wěn)獨(dú)立增量。

證明：由負(fù)二項(xiàng)過程具有的平穩(wěn)獨(dú)立增量性及模型的獨(dú)立性假設(shè)即可得證[3]。

3 計(jì)算與論證

引理3：對于盈利過程{S(t),t≥0}，存在函數(shù)g(r)，使得E(e-rS(t))=etg(r)，并且方程g(r)=0在(0,r)上r≥0存在唯一正解R∈(0,r)，稱R為調(diào)節(jié)系數(shù)。

則E(e-rS(t))=etg(r)得證。下證方程g(r)=0在(0,r)上r≥0存在唯一正解，由

定理：本文所建立的帶投資多險種隨機(jī)風(fēng)險模型

的最終破產(chǎn)概率為

證明：對于t>0和r>0，有

E[e-rU(t)]=e-ruE[e-rS(t)]，取r=R，則

E[e-RU(t)]=e-Ruetg(R)=e-Ru，故由條件期望公式有，

(3)

對于給定的T≤t，

U(t) =U(T)+U(t)-U(T)

下證(3)式右端第二項(xiàng)為0，令

(4)

由切比雪夫不等式，得

當(dāng)t→∞時，(4)式→0，故

特殊地，當(dāng)取n=2時，可以得到：

推論2：帶投資雙險種復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險模型中，若個體理賠額Y1i,Y2i(i=1,2,…)獨(dú)立同分布且分別服從參數(shù)為α1>0,α2>0的指數(shù)分布，收取的保費(fèi)X1i,X2i(i=1,2,…)獨(dú)立同分布且分別服從參數(shù)為β1>0,β2>0的指數(shù)分布，則最終破產(chǎn)概率為

其中R是方程

的唯一正解。

證明：設(shè)Z=Y1i+Y2i，其概率密度函數(shù)為fz(z)，由卷積公式可得

從而有

4 結(jié)論

本文考慮到保險經(jīng)營的多樣性，利用負(fù)二項(xiàng)分布期望和方差不相等的性質(zhì)，建立了帶投資的多險種復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險模型，對經(jīng)典風(fēng)險模型進(jìn)行了推廣：

1) 考慮了n個相互獨(dú)立的險種，更具一般性；

2) 考慮到實(shí)際保險業(yè)務(wù)中，保費(fèi)收取次數(shù)與理賠次數(shù)的期望和方差不一定相等，引入更加符合實(shí)際的負(fù)二項(xiàng)過程；

3) 為了提高經(jīng)營的穩(wěn)健性，考慮了將資金進(jìn)行再投資，在投資收益率一定的情況下，增加投資金額，可以降低破產(chǎn)概率，這與實(shí)際相吻合。

[1] 陳鳳麗, 施齊焉. 一類雙險種風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率研究[J]. 福州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2012, 40(4):449-452.[2] 趙金娥, 王貴紅, 龍 瑤. 一類雙險種風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率[J]. 西南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2013, 38(1):16-21.[3] 魏靜, 桂文永, 劉海生. 雙險種復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險模型破產(chǎn)概率的研究[J]. 華北科技學(xué)院學(xué)報, 2012,9(2):81-84.

[4] 曲中憲, 徐中海, 武文華. 隨機(jī)投保費(fèi)下多險種破產(chǎn)模型的研究[J]. 東北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2010, 42(1):18-21.

[5] 于文廣, 黃玉娟. 干擾條件下復(fù)合Poisson-Geometric過程的多險種風(fēng)險模型下的破產(chǎn)概率[J].山東大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2008,43(2):16-18.

[6] 王永茂, 高 陽, 李 杰. 退保因素影響下多險種風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率[J]. 揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2012, 15(3):20-26.

[7] 喬克林, 侯致武. 考慮投資的雙復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率[J]. 延安大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,30(3):32-34.[8] 管偉青, 牛銘. 常利率下帶投資和干擾風(fēng)險模型[J]. 佳木斯大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2013,31(1): 137-139.

Ruin probability of multi-type compound negative binomial riskmodel with investment profit

WEI Jing, GE Shi-gang, CANG Ding-bang

(DepartmentofBasicCourses,NorthChinaInstituteofScienceandTechnology,Yanjiao,101601,China)

Based on classic risk model，considering the non homogeneity of the policyholders, a multiple stochastic risk model was established with negative binomial process for the premium collecting frequency and claim frequency and the rate of return on investment be constant. Through analyzing the properties of the profit process, it obtains the ultimate ruin probability and the Lundberg inequality formula of upper bound for ruin probability. In particularly, the exact expression of probability was obtained for two-type insurance with premiums and claims in exponential distribution. The results show that when the investment income is certain, the insurance company can reduce the ruin probability by increasing investment to avoid risks.

multi-type insurance; investment; negative binomial process; exponential distribution; ruin probability

2016-12-26

廊坊市科技局科學(xué)技術(shù)研究與發(fā)展計(jì)劃自籌經(jīng)費(fèi)項(xiàng)目(2016011031, 2016011048,2016013113)

魏靜(1980-)，女，河北邢臺人，碩士，華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部講師，研究方向：風(fēng)險分析。E-mail：weijing_jcb@ncist.edu.cn

O211.6

A

1672-7169(2017)01-0106-04