基于向量式有限元的結(jié)構(gòu)靜力分析

胡 強(qiáng), 曲激婷, 關(guān)增偉

(1. 大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部, 遼寧 大連 116024; 2. 大連理工工程建設(shè)監(jiān)理有限公司, 遼寧 大連 116023)

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基于向量式有限元的結(jié)構(gòu)靜力分析

胡 強(qiáng)1, 曲激婷1, 關(guān)增偉2

(1. 大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部, 遼寧 大連 116024; 2. 大連理工工程建設(shè)監(jiān)理有限公司, 遼寧 大連 116023)

將位移控制應(yīng)用到結(jié)構(gòu)靜力分析,討論了影響靜力解的主要因素,提出了向量式有限元靜力分析的意義.數(shù)值分析表明向量式有限元靜力分析在大變形、彈塑性和發(fā)生屈曲變形的結(jié)構(gòu)中均適用.

向量式有限元; 靜力分析; 非線性分析; 大變形; 彈塑性

靜力問(wèn)題是人們?cè)谘芯拷Y(jié)構(gòu)行為和工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中經(jīng)常遇到的基本問(wèn)題,相對(duì)于動(dòng)力問(wèn)題而言,靜力問(wèn)題的分析更加簡(jiǎn)單,分析的結(jié)果也更容易被觀察和應(yīng)用.結(jié)構(gòu)的靜止?fàn)顟B(tài)是結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的一種特殊狀態(tài),絕對(duì)的靜止?fàn)顟B(tài)實(shí)際上并不存在.為了得到靜力問(wèn)題的理論解,以便于在規(guī)范和設(shè)計(jì)過(guò)程中應(yīng)用,傳統(tǒng)的靜力分析在計(jì)算中作了一些簡(jiǎn)化[1].這些簡(jiǎn)化限制了結(jié)構(gòu)的載荷和行為,使得靜力分析和動(dòng)力分析被人為地劃分為兩個(gè)不同的范疇,采用兩種完全不同的分析思路進(jìn)行求解[2].這一做法實(shí)際上割裂了靜力分析與動(dòng)力分析之間的客觀聯(lián)系,求得的靜力解存在一定的局限性.

為了處理各種靜力問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)做了大量研究,提出了各種實(shí)用的計(jì)算方法[3-4].比較有代表性的有:1960年Clough[5]提出的有限單元法(Finite Element Method),20世紀(jì)70年代Cundall[6]提出的離散單元法等,但這些理論的靜力分析仍然是屬于傳統(tǒng)靜力分析.

普渡大學(xué)丁承先教授等人[7-8],從向量力學(xué)的基本概念出發(fā),提出了一種新型數(shù)值計(jì)算方法----向量式有限元法(Vector Form Intrinsic Finite Element,也稱有限質(zhì)點(diǎn)法).該方法不再以偏微分方程表示結(jié)構(gòu)的行為,而是直接以結(jié)構(gòu)的物理模式對(duì)結(jié)構(gòu)的行為進(jìn)行描述;線性和非線性、連續(xù)行為和不連續(xù)行為以及靜力問(wèn)題和動(dòng)力問(wèn)題均采用統(tǒng)一的計(jì)算格式,使得結(jié)構(gòu)復(fù)雜行為的分析難度大大降低.向量式有限元靜力分析摒棄了傳統(tǒng)靜力分析中對(duì)結(jié)構(gòu)行為的限制,將靜力分析與動(dòng)力分析統(tǒng)一在了一起,是一個(gè)廣義的分析.

向量式有限元的研究和應(yīng)用目前還處于起步階段,但已經(jīng)在多個(gè)領(lǐng)域取得了研究成果.張燕如[9]應(yīng)用向量式有限元研究了單跨門式剛架在真實(shí)火災(zāi)下載荷和約束條件對(duì)結(jié)構(gòu)性能的影響;王仁佐等[10]利用向量式有限元對(duì)桁架結(jié)構(gòu)彈塑性和斷裂過(guò)程進(jìn)行了模擬;陳柏宏[11]運(yùn)用向量式有限元對(duì)隔振橋梁在強(qiáng)震條件下的極限狀態(tài)進(jìn)行了研究.在靜力分析方面,朱明亮等[12]將向量式有限元應(yīng)用于索穹頂?shù)撵o力分析,在ANSYS分析已不收斂情況下向量式有限元仍然能夠得出準(zhǔn)確結(jié)果;喻瑩等[2]對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力非線性分析并闡述了向量式有限元“靜”與“動(dòng)”問(wèn)題分析的特殊思路.靜力分析的內(nèi)容在文獻(xiàn)中均有涉及,但專門就這一問(wèn)題進(jìn)行介紹和深入思考的文獻(xiàn)還比較少.

本文將就向量式有限元結(jié)構(gòu)靜力分析的特點(diǎn)和思想進(jìn)行專門地研究,并就其應(yīng)用作一些有益的探討,最后通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證向量式有限元靜力分析的有效性.

1 向量式有限元簡(jiǎn)介

向量式有限元是結(jié)構(gòu)行為分析的新方法,該方法創(chuàng)新性地提出了點(diǎn)值描述、途徑單元和虛擬逆向運(yùn)動(dòng)的概念.點(diǎn)值描述,即在時(shí)間上將結(jié)構(gòu)離散為一群質(zhì)點(diǎn),用質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)描述結(jié)構(gòu)的幾何形狀和空間位置的變化,質(zhì)點(diǎn)之間采用無(wú)質(zhì)量的結(jié)構(gòu)單元連接和傳遞內(nèi)力,質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)滿足牛頓第二定律.途徑單元,即在空間上將運(yùn)動(dòng)歷程分割為一系列單元,在途徑單元內(nèi)結(jié)構(gòu)單元的變形為小變形,可以有大變位;結(jié)構(gòu)單元的特性、組合方式以及質(zhì)點(diǎn)的受力的改變等不連續(xù)行為只發(fā)生在途徑單元之間,而在途徑單元內(nèi)保持不變.虛擬逆向運(yùn)動(dòng),即采用虛擬的逆向運(yùn)動(dòng)將結(jié)構(gòu)單元的剛體位移從變形中直接扣除,得到計(jì)算內(nèi)力增量所需的純變形;計(jì)算內(nèi)力增量,再將內(nèi)力增量疊加得到的內(nèi)力全量經(jīng)過(guò)一個(gè)虛擬的正向運(yùn)動(dòng)回歸到當(dāng)前位置,得到當(dāng)前時(shí)刻的內(nèi)力.

結(jié)構(gòu)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程[1]可寫成

(1)

(2)

將式(2)代入式(1),當(dāng)作用在結(jié)構(gòu)上的外力已知,觀察結(jié)構(gòu)的響應(yīng)時(shí)可采用力控制(force controlled)方法,即

(3)

當(dāng)結(jié)構(gòu)位移已知,觀察作用在結(jié)構(gòu)上的外力和結(jié)構(gòu)內(nèi)力時(shí)可以使用位移控制(displacement controlled)方法,即

(4)

式中下角標(biāo)0、n-1、n和n+1分別表示初始、n-1、n和n+1時(shí)間步,h為時(shí)間步長(zhǎng).

從上面的計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程可以看到,結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)控制方程是一組向量方程式,每個(gè)質(zhì)點(diǎn)單獨(dú)進(jìn)行求解,其求解過(guò)程中只需進(jìn)行一系列簡(jiǎn)單的向量運(yùn)算,不形成總剛度矩陣,避免了有限單元法中整體剛度矩陣求逆帶來(lái)的運(yùn)算量劇增和復(fù)雜的迭代運(yùn)算,且計(jì)算效率不受質(zhì)點(diǎn)編號(hào)順序的影響.限于篇幅,向量式有限元的詳細(xì)計(jì)算流程可參考文獻(xiàn)[1,13],這里不再贅述,本文重點(diǎn)討論向量式有限元分析靜力問(wèn)題的特點(diǎn)和思想.

2 向量式有限元靜力分析的基本思想

向量式有限元以牛頓第二定律作為控制方程,計(jì)算結(jié)果是結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng),因此,結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析是向量式有限元分析的本質(zhì).為了得到結(jié)構(gòu)的靜力解,向量式有限元采用緩慢加載和設(shè)置阻尼兩種方法來(lái)逼近結(jié)構(gòu)的靜止?fàn)顟B(tài)[14].

緩慢加載與靜力試驗(yàn)中逐級(jí)加載的思路一致,即在單位時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi),施加很小的力增量或位移增量,以免改變結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì).緩慢加載雖不能削減加載過(guò)程引起的結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng),但較小的加載速度能夠?qū)⒔Y(jié)構(gòu)的振動(dòng)限制在一定的范圍內(nèi),有利于進(jìn)一步通過(guò)阻尼耗散結(jié)構(gòu)動(dòng)能.如圖1所示,采用力控制或位移控制時(shí),可先經(jīng)過(guò)一個(gè)斜坡緩慢地將載荷或位移分別加到指定位置,再穩(wěn)定一段時(shí)間,其中t0和ET分別是緩慢加載時(shí)間和總加載時(shí)間.同一加載過(guò)程中,t0和ET比值越大加載速度就越緩慢.

圖1 位移控制法或力控制法的加載過(guò)程

(5)

式中,μ是阻尼系數(shù),可任取一個(gè)正數(shù)值,不必按結(jié)構(gòu)的真實(shí)模型選取.

向量式有限元靜力分析方法是一種靜力逼近算法,不能獲得結(jié)構(gòu)絕對(duì)的靜止?fàn)顟B(tài),因此,需要設(shè)置合適的收斂準(zhǔn)則來(lái)結(jié)束計(jì)算.對(duì)于力控制和位移控制可分別采用式(6)和式(7)作為收斂準(zhǔn)則[13]

(6)

(7)

式中εx和εf分別為給定的位移和力的收斂精度,一般取值非常小(10-10～10-5),具體取值根據(jù)計(jì)算精度和計(jì)算時(shí)間綜合考慮.

傳統(tǒng)的靜力分析作了兩個(gè)假設(shè)[1]:路徑獨(dú)立和靜態(tài)解.①靜力分析時(shí),僅需考慮初始和終止兩個(gè)狀態(tài),不考慮中間的轉(zhuǎn)變過(guò)程,即不論中間過(guò)程外力如何施加、阻尼如何耗能、結(jié)構(gòu)的形狀和位置如何改變,只要最終的邊界條件和外力相同,結(jié)構(gòu)都會(huì)達(dá)到相同的終止?fàn)顟B(tài);②忽略慣性項(xiàng),認(rèn)為控制方程是平衡方程,即認(rèn)為初始和終止?fàn)顟B(tài)是兩個(gè)絕對(duì)靜止平衡態(tài).

向量式有限元靜力分析沒(méi)有以上兩點(diǎn)假設(shè)的限制,是一種廣義的分析,除了需要計(jì)算初始和終止?fàn)顟B(tài)的外力和位移外,還需要計(jì)算中間過(guò)程的外力和位置變化,需要更多的已知條件,同時(shí)也可得到更多的結(jié)果,這是向量式有限元靜力分析的特點(diǎn).因此,采用向量式有限元得到的靜力解,與傳統(tǒng)靜力分析中先經(jīng)過(guò)一系列簡(jiǎn)化再通過(guò)平衡方程的得到的靜力解可能很接近,但不會(huì)完全相同.

3 數(shù)值算例

3.1 力控制法

以一個(gè)平面桁架[15]為例(如圖2所示),各桿件截面面積均為2.5×10-3m2,彈性模量E=210 GPa,密度ρ=7.8×103kg/m3,A點(diǎn)受到一個(gè)豎直向下的集中載荷P=20 MN.采用向量式有限元方法對(duì)該平面桁架進(jìn)行靜力分析.

圖2 平面桁架單元模型

取時(shí)間步長(zhǎng)h=1.0×10-4s,分析時(shí)長(zhǎng)為0.3 s,阻尼系數(shù)μ=50.將A點(diǎn)所受外力P逐步緩慢地施加到結(jié)構(gòu)上,0～0.15 s為緩慢加載階段,0.15～0.30 s為穩(wěn)定階段.經(jīng)過(guò)緩慢加載階段,結(jié)構(gòu)從初始平衡狀態(tài)過(guò)渡到外力P作用下的平衡狀態(tài),穩(wěn)定階段結(jié)束后,A點(diǎn)豎向位移為向下的1.124 m,整個(gè)加載過(guò)程中A點(diǎn)位移的變化如圖3所示.

圖3 平面桁架A點(diǎn)在力加載下的位移

(1) 向量式有限元與有限單元法分析結(jié)果比較.采用SAP 2000對(duì)該平面桁架進(jìn)行靜力分析,計(jì)算結(jié)果如圖4所示.A點(diǎn)豎向位移為向下的1.103 5 m,與向量式有限元計(jì)算結(jié)果相差約為1.9%,說(shuō)明了本文方法的合理性.A點(diǎn)豎向位移與桿件初始長(zhǎng)度處于同一數(shù)量級(jí),說(shuō)明該桁架在集中載荷P的作用下已經(jīng)出現(xiàn)了大變形,該問(wèn)題是一個(gè)典型的幾何非線性問(wèn)題,小變形假設(shè)已不再適用.

圖4 SAP2000分析結(jié)果

(2) 加載速度和阻尼的影響.當(dāng)緩慢加載時(shí)間統(tǒng)一取為0.01 s時(shí),A點(diǎn)的豎向位移變化如圖5所示,當(dāng)阻尼系數(shù)不是很大(例如μ=50和μ=100)時(shí),結(jié)構(gòu)處于低阻尼狀態(tài),A點(diǎn)位移在1.124 m附近振蕩后趨于穩(wěn)定,且阻尼取值越大就能夠越快地穩(wěn)定;當(dāng)阻尼系數(shù)很大(本文取為μ=2×104)時(shí),結(jié)構(gòu)處于超阻尼狀態(tài),A點(diǎn)位移無(wú)振蕩地趨近平衡位置1.124 m處,但所需時(shí)間明顯更長(zhǎng).

圖5 阻尼的影響

因此,當(dāng)阻尼系數(shù)取非零值且不是很大時(shí),阻尼系數(shù)取值越大,結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)就能夠越快地被削弱,但阻尼系數(shù)取值過(guò)大雖然能夠限制結(jié)構(gòu)振蕩,但同時(shí)也延遲了結(jié)構(gòu)反應(yīng)到達(dá)平衡位置的時(shí)間,反而降低了取得穩(wěn)定靜力解的效率.在向量式有限元的靜力分析中,加載速度和阻尼系數(shù)是兩個(gè)重要的影響因素.分別考慮加載速度和阻尼的影響,將加載時(shí)間和阻尼系數(shù)設(shè)為表1所示的值,其中t0(s)越大表示加載速度越緩慢.由圖6可見(jiàn),阻尼一定的情況下,加載越緩慢,穩(wěn)定階段結(jié)構(gòu)位移的波動(dòng)越小,動(dòng)力反應(yīng)越小;不同的加載速度,中間過(guò)程結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)是不同的.

表1 加載速度和阻尼系數(shù)

向量式有限元靜力分析中,不同的阻尼系數(shù)相當(dāng)于不同的耗能機(jī)制,不同的阻尼系數(shù)取值得到的分析結(jié)果幾乎相同,但計(jì)算的效率有較大差異.

圖6 加載速度的影響

3.2 位移控制法

圖7所示為一個(gè)由24根桿件鉸接而成的經(jīng)典的空間桁架穹頂[16],桿件截面面積S=20×10-6m2,密度ρ=6.309×103kg/m3.采用雙線形強(qiáng)化模型分析該桁架模型的彈塑性大變形行為,彈性模量E=3.03 kPa,強(qiáng)化段Et=0.2 GPa,屈服極限σy=0.25 GPa.穹頂A點(diǎn)上受到一個(gè)集中載荷P作用.

圖7 空間星型穹頂

本文提出向量式有限元靜力分析除使用力控制法外,還可使用位移控制法.采用向量式有限元位移控制方法計(jì)算載荷的P大小,時(shí)間步長(zhǎng)取h=5.0×10-4s,阻尼系數(shù)μ=50.位移施加過(guò)程:從0～0.2 s緩慢地將70 mm的豎向位移施加到結(jié)構(gòu)的A點(diǎn),再穩(wěn)定一段時(shí)間(0.2～0.4 s).

計(jì)算得到AB、BC和CD桿的軸力時(shí)程如圖8所示,從圖中可以看出,AB桿和BC桿分別在t=0.016 s、t=0.163 s達(dá)到屈服軸力-5 000 N,表明結(jié)構(gòu)此時(shí)已經(jīng)進(jìn)入彈塑性狀態(tài),因此是一個(gè)材料幾何雙重非線性問(wèn)題;t=0.014 s時(shí),A豎向位移達(dá)到47.57 mm,三桿軸力突然變號(hào),該桁架發(fā)生屈曲變形;t=0.2 s后,經(jīng)過(guò)些許振蕩,AB、BC和CD桿軸力最終分別穩(wěn)定在2 962 N、-4 980 N和-1 730 N.在分析的過(guò)程中,向量式有限元不僅計(jì)算了最終結(jié)果,還計(jì)算了中間過(guò)程(穩(wěn)定前的分析部分);阻尼取值較大,加載速度設(shè)置地較小,結(jié)構(gòu)振動(dòng)很小,接近靜態(tài),中間過(guò)程能夠很好地反映軸力的變化,具有一定的價(jià)值,向量式有限元靜力分析可計(jì)算中間過(guò)程的優(yōu)勢(shì)得到了體現(xiàn).

圖8 AB、BC和CD桿軸力變化過(guò)程

位移施加過(guò)程:從0～0.4 s緩慢地將80 mm的豎向位移施加到結(jié)構(gòu)的A點(diǎn),穩(wěn)定時(shí)間取為0 s.A點(diǎn)豎向位移與外載荷關(guān)系曲線如圖9所示,對(duì)比文獻(xiàn)[16]中Driemeier的分析結(jié)果,可以看到向量式有限元靜力分析的結(jié)果與文獻(xiàn)吻合得較好,驗(yàn)證了本文基于向量式有限元靜力分析方法的正確性.同時(shí),圖9中還給出了線彈性的分析結(jié)果,實(shí)際上該曲線(線彈性和彈塑性曲線)即是研究結(jié)構(gòu)屈曲行為時(shí)經(jīng)常討論的載荷-位移平衡曲線.有限單元法中計(jì)算該曲線的過(guò)程是一個(gè)較為復(fù)雜的過(guò)程,不僅需要復(fù)雜的迭代,還需要在極值點(diǎn)附近人為地加入一些特殊處理;而對(duì)于向量式有限元來(lái)說(shuō),該曲線只是靜力分析的中間過(guò)程曲線,僅需通過(guò)在全過(guò)程緩慢加載和適當(dāng)設(shè)置阻尼取值便自動(dòng)追蹤到了結(jié)構(gòu)的屈曲后行為,期間不需要對(duì)極值點(diǎn)作任何不同于曲線其他部分的特殊處理.這可以看作是向量式有限元靜力分析的一個(gè)應(yīng)用.

圖9 A點(diǎn)施加不同豎向位移對(duì)應(yīng)的外載荷

4 結(jié) 論

向量式有限元理論打破了靜力分析與動(dòng)力分析的界限,不僅計(jì)算最終狀態(tài),還可以得到計(jì)算的中間過(guò)程,是一個(gè)廣義的分析.本文介紹了向量式有限元靜力分析的基本思想和特點(diǎn),指出了向量式有限元靜力分析與傳統(tǒng)靜力分析的區(qū)別,通過(guò)兩個(gè)數(shù)值算例分別從力控制法和位移控制法兩個(gè)方向?qū)Y(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力分析.結(jié)果表明:

(1) 阻尼系數(shù)和加載速度是影響向量式有限元靜力分析的兩個(gè)重要因素,緩慢加載和較大的阻尼系數(shù)有助于結(jié)構(gòu)反應(yīng)盡快地穩(wěn)定于平衡位置.

(2) 適當(dāng)?shù)卦O(shè)置阻尼取值并控制加載速度,使靜力求解的中間過(guò)程與結(jié)構(gòu)受力后的實(shí)際情形接近,可得到結(jié)構(gòu)內(nèi)力和變形時(shí)程,也可追蹤結(jié)構(gòu)的屈曲變形行為,此時(shí)中間過(guò)程也具有了一定的工程意義.

(3) 結(jié)構(gòu)處于欠阻尼和超阻尼狀態(tài)均不能使結(jié)構(gòu)盡快收斂于靜力解.建議在向量式有限元靜力分析的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步推導(dǎo)臨界阻尼作為阻尼系數(shù),可以減少計(jì)算中間過(guò)程時(shí)間步數(shù),提高向量式有限元靜力分析的效率.

(4) 基于向量式有限元的靜力分析不僅可采用力控制法也可采用位移控制法,該方法在分析大變形、彈塑性、屈曲變形等復(fù)雜結(jié)構(gòu)行為時(shí)均適用.向量式有限元靜力分析具有廣泛的應(yīng)用前景.

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【責(zé)任編輯: 肖景魁】

Static Analysis of Structures Based on Vector Form Intrinsic Finite Element Method

HuQiang1,QuJiting1,GuanZengwei2

(1. Faculty of Infrastructure Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; 2. Dalian University of Technology Project Management CO., LTD, Dalian 116023, China)

The displacement control method is applied to static analysis of structures. The main factors that affect the static analysis are discussed. The significance of vector finite element analysis is proposed. The numerical analysis shows that this method is suitable for a structure with large deformation, elastic or plastic deformation.

vector form intrinsic finite element; static analysis; nonlinear analysis; large deformation; elastic-plastic

2016-12-07

國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃資助項(xiàng)目(2016YFC0701108).

胡 強(qiáng)(1989-),男,四川眉山人,大連理工大學(xué)碩士研究生.

2095-5456(2017)02-0158-06

TU 312

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