混沌檢測系統(tǒng)對噪聲的免疫性分析及穩(wěn)健建模

孫文軍，芮國勝，張 馳，王 瑞

(海軍航空工程學院電子信息工程系 山東 煙臺 264001)

混沌檢測系統(tǒng)對噪聲的免疫性分析及穩(wěn)健建模

孫文軍，芮國勝，張 馳，王 瑞

(海軍航空工程學院電子信息工程系 山東 煙臺 264001)

噪聲是影響Duffing振子相態(tài)躍遷的重要因素，其結(jié)果導致Duffing檢測可靠性降低，從而影響其在實際工程中的應用。為此，提出了一種含強非線性阻尼項的廣義Van der Pol振子相態(tài)躍遷模型，從理論上證明了其用于弱信號檢測的可行性。與經(jīng)典Duffing振子相比，新模型具有更強的狀態(tài)穩(wěn)定性和噪聲免疫性。仿真實驗表明，基于新模型的檢測方法可以有效降低噪聲對相態(tài)躍遷的影響，改善弱信號檢測的可靠性。

廣義Van der Pol振子; 非線性阻尼項; 相態(tài)躍遷; 弱信號檢測

混沌理論是非線性科學中最重要的研究方向之一，作為其中的經(jīng)典模型，Duffing振子被廣泛應用于信號檢測、盲源分離、流體結(jié)構(gòu)分析和非線性控制等領(lǐng)域[1-3]。Duffing振子弱信號檢測的機理來源于混沌控制，將待測信號作為系統(tǒng)的周期擾動，即使信號幅值很小，系統(tǒng)也會發(fā)生本質(zhì)的相態(tài)躍遷。但是，系統(tǒng)并不是對周期信號唯一敏感的，一定強度的噪聲驅(qū)動也會導致Duffing振子發(fā)生相態(tài)躍遷，進而降低檢測系統(tǒng)的可靠性，這也是多年來制約混沌檢測方法在實際工程應用中的重要原因之一[4-5]。

對于這種問題，國內(nèi)外學者進行了大量研究，文獻[6]明確指出，Duffing振子的臨界態(tài)和大尺度周期態(tài)都具有一定的敏感性，輸入端驅(qū)動白噪聲的強度對系統(tǒng)相態(tài)的躍遷行為具有重要影響。為了更好地量化分析這種影響，諸多學者給出了自己的研究思路和改進方法：文獻[7]結(jié)合人工神經(jīng)網(wǎng)絡方法分析了強噪聲背景下目標小信號的提取，但其噪聲背景嚴格限定于混沌干擾范疇；隨后，文獻[8]采用混沌狀態(tài)的主動控制實現(xiàn)了微波信號測量，但比例微分控制方式需要持續(xù)不間斷的參數(shù)反饋，實現(xiàn)難度較高；文獻[9]結(jié)合系統(tǒng)參數(shù)的設置提出了一種可檢測斷續(xù)諧波信號頻率的變阻尼混沌系統(tǒng)；文獻[10]分析了檢測系統(tǒng)靈敏度，噪聲免疫性與振子參數(shù)選取之間的關(guān)系，提出了一種含五階非線性恢復力項的L-Y改進模型；文獻[11]對系統(tǒng)模型的狀態(tài)差異及能量分布特性進行研究，提出了基于哈密頓量的弱信號參數(shù)辨識方法；文獻[12]對混沌振子臨界態(tài)的突變性、保持性和容噪性進行研究，提出了調(diào)整參數(shù)的隨機共振檢測方法；文獻[13]結(jié)合通信、雷達等領(lǐng)域復信號的接收需求，建立了復數(shù)域的新型混沌振子。這些研究成果仍然基于經(jīng)典Duffing振子，著眼于系統(tǒng)參數(shù)的修正優(yōu)化，對檢測性能的改進有限，并未從根本上解決噪聲的影響問題。因此，本文將尋求建立一種新的混沌模型以替代現(xiàn)有的Duffing系統(tǒng)，從而降低噪聲對相態(tài)躍遷的影響，提高弱信號檢測算法的可靠性。

本文對一種包含強非線性阻尼項的廣義Van der Pol振子進行研究，在非線性動力學范疇內(nèi)證明了系統(tǒng)極限環(huán)的有界穩(wěn)定存在，可滿足弱信號檢測的建模要求。在此基礎上對新系統(tǒng)的可檢測性進行驗證，并從相態(tài)穩(wěn)定性、算法復雜度、檢測性能3個方面與經(jīng)典Duffing振子進行對比分析。經(jīng)過仿真驗證，新模型的應用可以有效降低噪聲對相態(tài)躍遷造成的影響，為混沌檢測算法在實際工程中的應用提供理論依據(jù)。

1 問題的提出

傳統(tǒng)混沌檢測方法來源于系統(tǒng)策動力強度的變化。首先設置系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，如圖1a所示，此時外加周期激勵的輸入將會使系統(tǒng)發(fā)生本質(zhì)性的相態(tài)躍遷，如圖1b所示。但是，大量研究結(jié)果已經(jīng)表明[7-13]，一定強度的噪聲也會使系統(tǒng)發(fā)生這種變化。噪聲對相態(tài)躍遷的重要影響，在一定程度上導致了系統(tǒng)無法準確實現(xiàn)信號的可靠檢測。

為了提高混沌檢測模型的穩(wěn)健性，可從以下3個方面進行分析并改進：1) 系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)定性，尤其是剛剛渡過臨界狀態(tài)的周期態(tài)，其穩(wěn)定程度直接決定了已有方法能否準確判斷相態(tài)躍遷現(xiàn)象的發(fā)生；2) 對噪聲的免疫性，即系統(tǒng)可以從更強的噪聲背景中有效提取出弱信號及其特征參量；3) 系統(tǒng)復雜度，混沌檢測的實現(xiàn)本質(zhì)上是一個高數(shù)據(jù)量的參數(shù)迭代過程，單次系統(tǒng)相變所需的激勵量可達104量級甚至更高，數(shù)據(jù)利用率很低。

根據(jù)以上分析，本文引入一種包含三階非線性阻尼項的自激振蕩系統(tǒng)代替現(xiàn)有的Holmes-Duffing模型。新模型的引入在保證算法復雜度無明顯增加的前提下，有效提升系統(tǒng)相態(tài)的穩(wěn)定性和噪聲免疫性。下面，首先對新模型用于信號檢測的可行性及約束條件進行分析。

2 廣義Van der Pol系統(tǒng)模型

廣義Van der Pol振子是一個具有強非線性阻尼項的微分方程，在振動分析等領(lǐng)域中占據(jù)著重要位置，代表了一類典型的數(shù)學問題。其與經(jīng)典Duffing系統(tǒng)的區(qū)別主要在于系統(tǒng)自激振蕩力的引入，方程的一般形式為：

引入變量y(t)，并令：

則由式(1)可得：

綜合式(2)和式(3)，可得系統(tǒng)積分曲線方程為：

連續(xù)時間系統(tǒng)中，有x=x(t)，y=y(t)。并且在區(qū)域上，f(x, y)連續(xù)且滿足局部Lipschitz條件[14]。

令f(x, y)=0，得到其水平等傾線：

其解曲線方程為：

分別記作Li(i=1,2,3)，如圖2所示。

圖2 廣義Van der Pol振子的解曲線

由增量法可知，在L1與L2之間，Q(x, y)＜0；在L1與L3之間，Q(x, y)＞0，下面開始構(gòu)造適合系統(tǒng)(3)的覆蓋環(huán)域W。

首先，系統(tǒng)(3)存在唯一的奇點O(0,0)，當δ＞0時，O為不穩(wěn)定結(jié)點，將其鄰域[(O, r), r→0]作為環(huán)域W的內(nèi)邊沿線Lin。然后，以第三象限為例構(gòu)造環(huán)域W的外邊沿線Lex。任取點A(0,yo)，y0＜0作為初值點，分兩個區(qū)域?qū)ν膺呇鼐€的存在進行證明。

1) 變量x的存在區(qū)域G1：x∈[?1,0]。此時解曲線的表達式為：

獨立分析 f(x, y)的構(gòu)成，可得恢復力項部分為：

阻尼項部分為：

此時，建立類比方程：

根據(jù)Cauchy比較定理[15]得知，

進一步，對式(11)求解，得：

至此，解曲線的存在兩種可能：P1:解曲線y(x)與{y=0,x＜0}相交于點E；P2:解曲線 y(x)與 {y, x=?1}交于點B(?1,y2)，且?。

如果假設1P成立，則可得環(huán)域W在第三象限的外邊沿線為，否則，假設2P成立，外邊沿線為。至此可以證明，系統(tǒng)(3)的解曲線在實數(shù)域內(nèi)存在唯一的穩(wěn)定極限環(huán)。

根據(jù)分析可以得出，廣義Van der Pol振子可用作弱信號混沌檢測模型。與經(jīng)典混沌檢測系統(tǒng)相同，在式(3)中引入代換變量y(t)=ω(t)，即可實現(xiàn)任意頻率弱信號的檢測[16]。

3 仿真實驗

當前深空遙測、精密儀器制造、故障檢修等高技術(shù)領(lǐng)域[17]，對于低信噪比信號的檢測需求非常突出，準確提取出弱信號及其參數(shù)具有重要意義。

3.1 實驗環(huán)境

實驗硬件環(huán)境為：計算機處理器Intel(R) Core (Pentium)；軟件環(huán)境為：Windows7 操作系統(tǒng)，Matlab仿真軟件。

系統(tǒng)模型設定為廣義Van der Pol振子，內(nèi)置周期策動力為角頻率為ω的諧波信號。實驗中所添加的噪聲均為零均值高斯白噪聲，系統(tǒng)初始位置設定為[X0, Y0]=[0,0]。為計算簡便，剛性阻尼系數(shù)取δ=1，系統(tǒng)恢復力項系數(shù)α1=0.1，α2=1?？紤]到實驗分析中數(shù)值精度和仿真時長的影響，采用二階EM (Euler-Maruyama)算法對系統(tǒng)進行建模解算。

3.2 系統(tǒng)性能分析

1) 穩(wěn)定性。系統(tǒng)相態(tài)的穩(wěn)定性對于實現(xiàn)相態(tài)躍遷的有效判別，提高混沌檢測算法的準確性非常重要[12,14]。首先對本文模型與Duffing振子的相態(tài)穩(wěn)定性進行比較，調(diào)整系統(tǒng)策動力，使兩種系統(tǒng)均剛剛越過臨界態(tài)進入穩(wěn)定周期相態(tài)，利用噪聲發(fā)生器輸入驅(qū)動高斯白噪聲，此時，系統(tǒng)輸出序列x的幅值也將會發(fā)生微妙的變化，本文對這種變化進行量化分析，進而判定系統(tǒng)相態(tài)的穩(wěn)定性。假設系統(tǒng)周期狀態(tài)下的輸出為xp(t)，加入噪聲后的系統(tǒng)輸出變化為x′p(t)，定義兩者的二階均方差期望[10]作為系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性的衡量標準：

圖3 兩種振子隨噪聲功率變化的幅值變化

圖3給出了兩種模型的波動方差隨噪聲功率增加的變化曲線。由仿真結(jié)果可以看出，兩種模型的周期相態(tài)都具有一定的穩(wěn)定性，但也存在明顯差異。有：1) 噪聲功率位于10?6～10?5W時，除個別噪聲功率值外，兩種模型的波動方差相差不大，二者的相態(tài)穩(wěn)定性相當，如圖3a；2) 進一步增加噪聲功率，Duffing振子的波動方差也隨之增加，二者的相態(tài)穩(wěn)定性開始出現(xiàn)較大差距，如圖3b；3) 繼續(xù)增加噪聲功率，Duffing振子的波動方差急劇變化，而本文模型仍舊保持了很強的穩(wěn)定性，其中，噪聲功率為4.0×10?4W時，Duffing振子輸出x幅值的波動方差為0.54，而本文模型的波動方差值為0.01，僅是前者的1 54。

經(jīng)過以上實驗分析，得出：在不同強度噪聲下，本文模型的相態(tài)穩(wěn)定性均強于經(jīng)典Duffing振子，尤其是強噪聲條件下，該模型相態(tài)穩(wěn)定性和噪聲免疫性的優(yōu)勢更加明顯，也更加適合弱信號檢測的需求。

2) 復雜度。廣義Van der Pol振子是一個非線性微分方程，無法得到其精確解析解，只能采用EM等數(shù)值分析方法對其進行求解。因此，本節(jié)對兩種模型的復雜度進行比較時，以數(shù)值分析方法中實數(shù)加法和乘法次數(shù)為標準。

對于式(3)所示的本文模型，其單次迭代運算過程中乘法次數(shù)為：C1,mul=5+i(i+1)，加法次數(shù)為：C1,add=4+i，總的運算復雜度可表示為：CVan={[5+ i(i+1)]M+(4+i) L} N ，其中M代表乘法，L代表加法，N代表迭代次數(shù)。

此時，Duffing振子的運算復雜度為CDuf=(5M+ 4L) N，可得運算復雜度的增加量為：

因而當i=1時，本文模型即為三階廣義Van der Pol振子，其運算復雜度增加為(2M+L N)，主要體現(xiàn)在非線性阻尼項上。其中，乘法和加法運算次數(shù)的增加量分別為：Bmul=0.6，Badd=0.25，即本文模型與Duffing振子的運算復雜度為同一量級。

圖4給出了本文模型與Holmes-Duffing振子的時間復雜度實驗對比結(jié)果。

圖4 兩種振子的時間復雜度對比圖

由仿真結(jié)果可以看出，混沌模型復雜度的改變主要體現(xiàn)在高數(shù)據(jù)量的迭代次數(shù)N上，其迭代次數(shù)的絕對值一般達到104量級甚至更高。當?shù)螖?shù)N=4×104時，步長h=10?2s時，經(jīng)典模型的運算時間為1.4×10?1s，本文模型的運算時間為1.6×10?1s，其運算復雜度約為Duffing振子的1.16倍；迭代次數(shù)增加到N=4×105時，步長h=10?1s時，經(jīng)典模型的運算時間為1.5 s，本文模型的運算時間為1.7 s，其運算復雜度約為Duffing振子的1.13倍。因此，實驗結(jié)果與理論分析均可以證實，與經(jīng)典Duffing振子模型相比，本文模型的運算復雜度雖有一定增加，但并沒有數(shù)量級的提高。

3) 檢測性能。采用新模型對弱信號檢測的可靠性進行檢驗，調(diào)整周期策動力強度使系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。待測信號為諧波信號，表示式為Acos(ωt )+ η(t)，其中η(t)為高斯白噪聲，A為待測信號的幅值，實驗中信號幅值為服從[0.001,0.01]之間均勻分布的105個隨機數(shù)，信號頻率ω=10 rad/s 。待測信號的信噪比定義為：

式中，j=1,2,…,105，代表全部待測信號。另外，對應于SNR范圍?35～0 dB，可設定i=0,1,…,35。

在每個信噪比點上進行100次蒙特卡洛實驗，并計算系統(tǒng)的平均差錯概率為：

式中，M=100。圖5給出了兩種模型的檢測結(jié)果對比。

圖5 廣義Van der Pol模型的檢測差錯概率

對比相同差錯概率條件下兩者的性能差異，定義其信噪比增益如下：

式中，SNRD為某一固定差錯概率值下，Duffing振子對應的信噪比；SNRV為本文模型對應的信噪比。分析圖5中的仿真結(jié)果，當輸入信噪比為?35～?26 dB時，兩種模型的檢測差錯概率波動范圍集中于10?4～10?2之間的量級。其參考線為Holmes-Duffing振子取得3 dB信噪比增益的假設曲線。

根據(jù)圖5的實驗結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)本文模型的檢測差錯概率始終在3 dB參考線的下方。其中，當信號檢測平均差錯概率為5.0× 10?3時，Duffing振子對應的信噪比約為?28 dB，而文中模型為?33 dB，其信噪比增益為5 dB；當檢測差錯概率為5.0×10?4時，Duffing振子對應的信噪比為?24 dB，而文中模型約為?27 dB，其信噪比增益為3 dB。實驗結(jié)果表明，當兩者的檢測差錯概率均位于10?4～10?2之間時，本文模型可獲得至少約3 dB的信噪比增益。

隨著輸入信噪比的增加，新模型的可靠性提升程度相比傳統(tǒng)Duffing模型更加顯著，當輸入信噪比為?15 dB時，Duffing模型的檢測差錯概率為2.3×10?4，而新模型的檢測差錯概率為2.1× 10?5，新模型的應用使混沌檢測算法的檢測差錯概率降低了一個數(shù)量級。

綜合上述分析可知，新模型的應用可以有效降低噪聲對系統(tǒng)相態(tài)躍遷的影響，在算法復雜度并未明顯增加的前提下，提高了混沌檢測算法的可靠性，對混沌理論的實際工程應用具有較好的實用價值。

4 結(jié) 束 語

本文提出了一種基于廣義Van der Pol振子的混沌檢測模型，并從理論上證明了新模型存在一個穩(wěn)定的極限環(huán)，可用于弱信號檢測，通過實驗分析可知新模型可用于深空探測、遙感控制等領(lǐng)域的微弱信號檢測。實驗表明，該模型可實現(xiàn)隨機幅值的諧波信號檢測，相對于傳統(tǒng)Duffing檢測模型，可以有效降低噪聲對相態(tài)躍遷的影響，提高信號檢測的可靠性。

[1] GUI-TIAN H, MAO K L. Dynamic behavior of fractional order Duffing chaotic system and its synchronization via singly active contro[J]. Applied Mathematics And Mechanics, 2012, 33(5): 567-582.

[2] ALEX E. Analytical solution of the damped Helmholtz–Duffing equation[J]. Applied Mathematics Letters, 2012(25): 2349-2353.

[3] LI Y, YANG B. Chaotic system for the detection ofperiodic signals under the background of strong noise[J]. Chinese Science Bulletin, 2003, 48(5): 508-512.

[4] 盛廣銘, 馬德保. 微弱直接序列擴頻信號Duffing振子檢測方法研究[J]. 電子科技大學學報, 2012, 41(5): 693-696.

SHENG Guang-ming, MA De-bao. Method for weak DSSS signal detecter based on Duffing oscillator[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2012, 41(5): 693-696.

[5] WANG Y Q, WU Q. Analytical and numerical studies for chaotic dynamics of a duffing oscillator with a parametric force[J]. Communications, 2007, 48(3): 477-480.

[6] 王永生, 姜文志, 趙建軍, 等. 一種Duffing弱信號檢測新方法及仿真研究[J]. 物理學報, 2008, 57(4): 2053-2059.

WANG Yong-sheng, JIANG Wen-zhi, ZHAO Jian-jun, et al. Weak period signal detection through Duffing oscillator by considering noise effect[J]. Acta Physica Sinica, 2008, 57(4): 2053-2059.

[7] HAYKIN L. Detection and estimation using an adaptive rational function filter[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1994, 42(12): 3366-3376.

[8] CHANCE M G, SCOTT H. Weak signal detection by small-perturbation conteol of chaotic orbits[J]. IEEE MTT-S Digest, 1996, 3(3): 1883-1886.

[9] 韓建群. 一種減小Duffing系統(tǒng)可檢測斷續(xù)正弦信號頻率范圍的方法[J]. 電子學報, 2013, 41(4): 733-738.

HAN Jian-qun. A method of narrowing frequency range of intermittent sine signal detected by Duffing system[J]. Acta Electronica Sinica, 2013, 41(4): 733-738.

[10] 劉海波, 吳德偉, 金偉, 等. Duffing振子微弱信號檢測方法研究[J]. 物理學報, 2013, 62(5): 42-47.

LIU Hai-bo, WU De-wei, JIN Wei, et al. Study on weak signal detection method with Duffing oscillators[J]. Acta Physica Sinica, 2013, 62(5): 42-47.

[11] 魏恒東, 甘露, 李立萍. 基于哈密頓量的Duffing振子微弱信號檢測[J]. 電子科技大學學報, 2012, 41(2): 203-207.

WEI Heng-dong, GAN Lu, LI Li-ping. Weak signal detection by Duffing oscillator based on Hamiltonian[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2012, 41(2): 203-207.

[12] 范劍, 趙文禮, 王萬強. 基于Duffing振子的微弱周期信號混沌檢測性能研究[J]. 物理學報, 2013, 45(1): 1-7.

FAN Jian, ZHAO Wen-li, WANG Wan-qiang. Study on the weak sinusoidal signal detection property using Duffing chaos system[J]. Acta Physica Sinica, 2013, 45(1): 1-7.

[13] 鄧小英, 劉海波, 龍騰. 一個用于檢測微弱復信號的新Duffing型復混沌振子[J]. 科學通報, 2012, 57(13): 1176-1182.

DENG Xiao-ying, LIU Hai-bo, LONG Teng. A new complex Duffing oscillator used in complex signal detection[J]. China Science Bulletin, 2012, 57(13): 1176-1182.

[14] 馬知恩, 周義倉. 常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M]. 北京: 科學出版社, 2001.

MA Zhi-en, ZHOU Yi-cang. Stability and quality analysis of nonlinear differential equation[M]. Beijing: Science Publication, 2001.

[15] LEUNG H, HAYKIN S. Detection and estimation using an adaptive rational function filter[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1994, 42(12): 3366-3376.

[16] 李國軍, 曾孝平, 周曉娜, 等. 基于隨機共振的微弱高頻CW信號檢測技術(shù)研究[J]. 電子科技大學學報, 2010, 39(5): 737-741.

LI Guo-jun, ZENG Xiao-ping, ZHOU Xiao-na, et al. Detection technique based on stochastic resonance for weak high-frequency CW signal[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2010, 39(5): 737-741.

[17] RAD J A, KAZEM S, PARAND K. A numerical solution of the nonlinear controlled Duffing oscillator by radial basis functions[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2012, 64(6): 2049-2065.

編 輯 稅 紅

Analysis on Noise Immunity of Chaotic Detection System and Robustness Modeling Approach

SUN Wen-jun, RUI Guo-sheng, ZHANG Chi, and WANG Rui

(Department of Electronic Information Engineering, Naval Aeronautical and Astronautical University Yantai Shandong 264001)

Recent studies suggest that noise could cause the occurrence of Duffing oscillator’s phase-state transition, which is one of the most important reasons for the low system detection reliability and has been restricting the application of chaos theory in practical engineering. And hence one novel detection model containing nonlinear damping term is proposed in the paper based on generalized Van der Pol oscillator. And then it is proved feasible for weak signal detection by theoretical analyses. Compared to classical chaotic oscillators, the new model has stronger state robustness and noise immunity with equal complexity. Finally, Simulation results show that the application of the new model can reduce the impacts of noise on the phase-state transition and improve the detection reliability of weak signals.

generalized Van der Pol oscillator; nonlinear damping term; phase-state transition; weak signal detection

TP302.7

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2017.03.003

2015 ? 10 ? 09；

2015 ? 12 ? 16

國家自然科學基金(41476089, 61372027)

孫文軍(1987 ? )，男，博士生，主要從事非線性動力學及弱信號檢測方面的研究.