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    “滾”動(dòng)中的數(shù)學(xué)

    2017-05-10 06:14:35渠英特級(jí)教師
    初中生世界 2017年19期
    關(guān)鍵詞:小圓大圓圈數(shù)

    渠英(特級(jí)教師)

    “滾”動(dòng)中的數(shù)學(xué)

    渠英(特級(jí)教師)

    數(shù)學(xué)來源于生活,生活中處處有數(shù)學(xué),如“滾”動(dòng)在生活中處處可見,火車輪子沿鐵軌的滾動(dòng),汽車輪子沿筆直的路面滾動(dòng)等,滾動(dòng)中蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)規(guī)律及知識(shí),下面就硬幣的滾動(dòng)、三角形的滾動(dòng)及矩形的滾動(dòng)三個(gè)方面介紹滾動(dòng)類問題的解法.

    一、硬幣的滾動(dòng)

    1.硬幣沿圓滾動(dòng).

    例1已知兩圓,其中大圓的半徑是小圓半徑的5倍,將大圓固定,小圓在大圓外面沿大圓無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周,那么,小圓自身轉(zhuǎn)運(yùn)了幾圈?小圓掃過的面積是多少?將大圓固定,小圓在大圓內(nèi)部沿大圓無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周,那么,小圓自身轉(zhuǎn)運(yùn)了幾圈?

    【分析】動(dòng)圓沿直線滾動(dòng)和動(dòng)圓沿定圓滾動(dòng)的距離實(shí)際上就是動(dòng)圓的圓心移動(dòng)的距離,抓住這些特點(diǎn),就能順利地解決相關(guān)問題.小圓轉(zhuǎn)一周所掃過的面積,即為圓環(huán)的面積.

    圖1 (1)

    圖1 (2)

    圖1 (3)

    解:設(shè)小圓的半徑為r,則大圓的半徑為5r.

    (1)如圖1(1),當(dāng)小圓在大圓外面沿大圓無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周時(shí),OP=5r+r=6r,所以,小圓圓心滾動(dòng)一周的距離為2π·6r=12πr,所以滾動(dòng)的圈數(shù)為(圈);如圖1(2),動(dòng)圓掃過的為圓環(huán),圓環(huán)的半徑是5r+2r=7r,大圓半徑為5r,圓環(huán)的面積是π(7r)2-π(5r)2=24πr2.

    (2)如圖1(3),當(dāng)小圓在大圓內(nèi)部沿大圓無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周時(shí),OP=5r-r=4r,小圓圓心滾動(dòng)的距離為2π·4r=8πr,所以滾動(dòng)的圈數(shù)為

    【點(diǎn)評(píng)】求動(dòng)圓轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)時(shí),關(guān)鍵求出動(dòng)圓圓心移動(dòng)的距離,用此距離除以動(dòng)圓的周長,即得到動(dòng)圓所轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù).

    2.硬幣沿折線滾動(dòng).

    例2(1)如圖2(1),⊙O作無滑動(dòng)滾動(dòng),⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點(diǎn)時(shí)刻的位置,⊙O的半徑為r.∠ABC=90°,AB=BC=πr.⊙O從⊙O1的位置出發(fā),在∠ABC外部沿A-B-C滾動(dòng)到⊙O4的位置,⊙O自轉(zhuǎn)多少周.

    (2)如圖2(2),△ABC的周長為5πr,⊙O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā),在△ABC外部,按順時(shí)針方向沿三角形滾動(dòng),又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置,⊙O自轉(zhuǎn)了多少周?請(qǐng)說明理由.

    圖2 (1)

    圖2 (2)

    (3)如圖2(3),多邊形的周長為5πr,⊙O從與某邊相切于點(diǎn)D的位置出發(fā),在多邊形外部,按順時(shí)針方向沿多邊形滾動(dòng),又回到與該邊相切于點(diǎn)D的位置,直接寫出⊙O自轉(zhuǎn)的圈數(shù).

    圖2 (3)

    【分析】求圓轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)時(shí),關(guān)鍵是求圓心移動(dòng)的距離.在折線的外側(cè)滾動(dòng)時(shí),在拐點(diǎn)處移動(dòng)的距離是扇形的弧長,而扇形的圓心角的度數(shù)為180°與兩條折線夾角度數(shù)的差.扇形的半徑即為動(dòng)圓的半徑.

    (2)∵△ABC的周長為5πr,⊙O在△ABC三頂點(diǎn)A、B、C處轉(zhuǎn)過的三條弧的中心角分別為:180°-∠A、180°-∠B、180°-∠C,這三條弧的中心角的和為360°,所以三條弧的和為一個(gè)圓即為2πr,因此圓移動(dòng)的距離為5πr+2πr=7πr,所以轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)為

    【點(diǎn)評(píng)】圓在多邊形的外面滾動(dòng)時(shí),各拐點(diǎn)處弧的長度的和剛好為動(dòng)圓的周長.所以滾動(dòng)的路程為多邊形的周長與動(dòng)圓的周長的和.

    二、三角形沿直線滾動(dòng)

    例3如圖3(1)所示,邊長為2的等邊三角形ABC的三邊貼著直線l向右滾動(dòng)一周,等邊三角形ABC的中心O經(jīng)過的路程是多少?等邊三角形頂點(diǎn)A經(jīng)過的路程又是多少?

    圖3 (1)

    【分析】等邊三角形的中心就是三角形三條中線的交點(diǎn).三角形滾動(dòng)時(shí),先繞點(diǎn)C,再繞點(diǎn)A,最后繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng).中心滾動(dòng)的路程是中心角為120°的三條弧長度的和.頂點(diǎn)A先繞點(diǎn)C,再繞點(diǎn)B繞轉(zhuǎn),滾動(dòng)的路程是中心角為120°的兩條弧長度的和.

    圖3 (2)

    三、矩形沿直線滾動(dòng)

    例4如圖4(1),將邊長為8cm的正方形ABCD的四邊沿直線l向右滾動(dòng)(不滑動(dòng)),當(dāng)正方形滾動(dòng)一周時(shí),正方形的頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長是cm.

    圖4 (1)

    圖4 (2)

    【分析】解決此類問題的關(guān)鍵是找出每一次的旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)半徑,旋轉(zhuǎn)次數(shù).

    解:正方形在直線l上滾動(dòng)時(shí),第一次旋轉(zhuǎn)中心為C,旋轉(zhuǎn)半徑是AC,路線長為第二次旋轉(zhuǎn)中心為D,旋轉(zhuǎn)半徑是AD,路線長為三次旋轉(zhuǎn)中心為B,旋轉(zhuǎn)半徑是AB,路線長為A所經(jīng)過的路線的長是4 2π +4π+4π=(8+4 2)π(cm).

    【點(diǎn)評(píng)】解決正多邊形的滾動(dòng)問題時(shí),抓住關(guān)鍵的旋轉(zhuǎn)點(diǎn),借助于紙片,動(dòng)手操作一下,可能更便于問題的解決.

    (作者單位:江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué))

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