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      中考中扇環(huán)問題分析

      2017-05-10 06:14:34董月紅
      初中生世界 2017年19期
      關(guān)鍵詞:圓心角扇形紙杯

      董月紅

      中考中扇環(huán)問題分析

      董月紅

      在兩個(gè)同心圓中,任作兩條半徑,它們與圓相交,形成的四邊形我們稱為扇環(huán),如圖1陰影部分.近年來,扇環(huán)問題頻頻出現(xiàn)在中考中.有面積問題,弧長問題等,這類中考題大多以現(xiàn)實(shí)生活為背景,經(jīng)常與解直角三角形、方程(組)綜合在一起.對(duì)于求陰影面積的有關(guān)考題,常用的方法有:直接應(yīng)用公式法,和差法,割補(bǔ)法等.

      圖1

      例1(2005·山西)圖2是一紙杯,它的母線AC和EF延長后形成的立體圖形是圓錐.該圓錐的側(cè)面展開圖是扇形OAB.經(jīng)測量,紙杯上開口圓的直徑為6cm,下底面直徑為4cm,母線長EF=8cm.求扇形OAB的圓心角及這個(gè)紙杯的表面積.(圖形計(jì)算結(jié)果用π表示)

      圖2

      即扇形OAB的圓心角是45°.

      ∵R=24,∴R-8=16.

      ∴S扇形OCD=

      S扇形OAB=

      S紙杯側(cè)面積=72π-32π=40π.

      S紙杯底面積=π×22=4π,從而S紙杯表面積=44π.

      【評(píng)析】對(duì)由多部分構(gòu)成的面積問題,需先明確要計(jì)算哪一部分的面積,它可通過哪些圖形進(jìn)行分割或拼湊而得到.

      例2(2016·黃石)如圖3所示,正方形ABCD對(duì)角線AC所在直線上有一點(diǎn)O,OA= AC=2,將正方形繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,在旋轉(zhuǎn)過程中,正方形掃過的面積是.

      圖3

      【分析】如圖3,正方形繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,所掃過的圖形是扇環(huán)的面積再加上正方形ABCD的面積.

      解:∵OA=AC=2,

      ∴AB=BC=CD=AD=2,OC=4,

      S陰影=

      故答案為:2π+2.

      【點(diǎn)評(píng)】此題考查了扇形的面積公式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理,能夠把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)換為規(guī)則圖形的面積是解答此題的關(guān)鍵.

      例3(2015·宜賓)如圖4,以點(diǎn)O為圓心的20個(gè)同心圓,它們的半徑從小到大依次是1、2、3、4、……、20,陰影部分是由第1個(gè)圓和第2個(gè)圓,第3個(gè)圓和第4個(gè)圓,……,第19個(gè)圓和第20個(gè)圓形成的所有圓環(huán),則陰影部分的面積為().

      A.231πB.210πC.190πD.171π

      【分析】根據(jù)題意求出各個(gè)圓環(huán)的面積,進(jìn)而求出它們的和.

      圖4

      解:由題意知,陰影部分的面積為π(22-12)+π(42-32)+π(62-52)+…+π(202-192)=π(3+7+ 11+15+…+39)=π·5(3+39)=210π,選B.

      【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式,求自然數(shù)和等知識(shí).

      例4(2016·福田二模)如圖5,⊙O的半徑為︵2,AB,CD是互相垂直的兩條直徑,點(diǎn)P是上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M,PN⊥CD于點(diǎn)N,點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D處時(shí),線段PQ掃過的面積為.

      圖5

      【分析】矩形的對(duì)角線相等且互相平分,即MN=OP=2,OQ=1,點(diǎn)P從點(diǎn)A沿︵轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D處時(shí),轉(zhuǎn)動(dòng)的圓心角為90°,線段PQ掃過的面積是圓心角為90°的扇環(huán).解:連接OP,由矩形性質(zhì)知:OP=MN,且它們相交于中點(diǎn)Q,則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿︵轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D處時(shí),轉(zhuǎn)動(dòng)的圖形是90°扇環(huán).線段PQ掃過的面積為

      【評(píng)析】解題的關(guān)鍵是要明確點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路線是以O(shè)為圓心,以1為半徑,圓心角為90°的扇形;點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線是以O(shè)為圓心,以2為半徑,圓心角等于90°的扇形.所以線段PQ運(yùn)動(dòng)的路線是以O(shè)為圓心的扇環(huán).

      例5(2015·樂山)如圖6,已知A(2 3,2)、B(2 3,1),將△AOB繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′(-2,2 3)的位置,則圖中陰影部分的面積為.

      圖6

      【分析】設(shè)以O(shè)為圓心,以O(shè)B為半徑的圓交OA于C,交OA′于C′,則曲邊形ABC的面積等于曲邊形A′B′C′的面積,所以陰影部分的面積等于扇環(huán)的面積..

      ∵由A(2 3,2)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′(-2,2 3),

      ∴∠A′OA=∠B′OB=90°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,S曲邊形ABC=S曲邊形A′B′C′,∴陰影部分的面積等

      【評(píng)析】利用分割法將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則的圖形,由條件A、A′的坐標(biāo)求出∠AOA′的度數(shù)為90°是解決問題的關(guān)鍵.

      (作者單位:江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué))

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