基于matlab的常見插值法及其應用

郭小樂

（寧夏大學 數(shù)學統(tǒng)計學院，寧夏 銀川 750021）

基于matlab的常見插值法及其應用

郭小樂

（寧夏大學 數(shù)學統(tǒng)計學院，寧夏 銀川 750021）

本文就數(shù)值分析中幾種常見的插值法:拉格朗日插值、牛頓插值、Hermite插值及三次樣條插值,討論其不同形式的表達式及誤差,結合matlab給出具體實例,對比分析.此外還就三次樣條插值的不同計算方法進行歸納、總結.

拉格朗日插值；牛頓插值；Hermite插值；三次樣條插值；matlab

1 引言

在許多工程問題中,有時我們只能給出某一函數(shù)在一些離散點的值,給不出具體的函數(shù)表達式,或者函數(shù)的表達式過于復雜不利于計算,這時我們就需要構造這個函數(shù)的近似函數(shù),數(shù)學上我們把這種方法稱為插值[1].插值法作為函數(shù)逼近、數(shù)值微積分及微分方程數(shù)值解的基礎,在當今社會被越來越多的學者所關注.尤其隨著計算機的普及,很多學者將插值與matlab等軟件結合,使得插值法得到了更廣泛的應用.

常用的插值法包括：拉格朗日 (Lagrange)插值、牛頓(Newton)插值、Hermite插值、三次樣條插值,本文就這四種插值法,結合matlab,從其公式的構造、余項出發(fā),對不同的插值法通過數(shù)值實例進行對比研究.此外,還就具有良好收斂性的三次樣條函數(shù),歸納出不同的計算方法.

2 幾種常見插值法

由于代數(shù)多項式具有簡單和一些良好的特性,如多項式是無窮光滑的,容易計算它的導數(shù)及積分.故本文選擇代數(shù)多項式作為插值函數(shù).下面依次就這幾種插值法進行討論.

2.1 Lagrange插值

所謂n次Lagrange插值即給定平面上的n+1個互不相同的插值點(xi,f(xi)),i=0,1,2,…,n,利用插值基函數(shù)構造唯一的一條次數(shù)不高于n次的插值多項式.

2.1.1 n次Lagrange插值多項式形式及誤差

拉格朗日插值公式的優(yōu)點是格式整齊和規(guī)范,在理論分析中有重要的價值.它的缺點是沒有承襲性質(zhì),當需要增加插值節(jié)點時,需要重新計算所有的插值基函數(shù),計算繁瑣.

2.2 Newton插值

Newton插值是利用差商計算的,下面我們首先給出差商的概念.

定義1[1]設x0,x1,…，xk互不相同,f(x)關于x0,x1,…，xk的k階差商為

2.2.1 n次Newton插值多項式的形式及誤差

牛頓插值具有拉格朗日插值沒有的承襲性,當增加插值節(jié)點時,只需再計算一項即可得到相應的插值多項式.由插值多項式的唯一性可知二者是同一插值多項式的不同表達形式.

2.3 Hermite插值

常用Hermite插值描述如下[1]：對于f(x)具有一階連續(xù)導數(shù),以及插值點xi,i=0,1,…,n,xi互不相同,若有至多為2n+1次的多項式函數(shù)H2n+1(x)滿足：

則稱H2n+1(x)為f(x)關于節(jié)點{xi}ni=0的Hermite插值多項式.

2.3.1 Hermite插值多項式的形式及誤差:

2.4 三次樣條插值

在實際計算中,人們很少采用高次插值,其主要原因有兩個:其一,由于受到所要通過的插值節(jié)點的約束,高次插值描繪的代數(shù)曲線是擺動的.即我們常說的Runge(龍格)現(xiàn)象;其二,從計算的舍入誤差看,對于等距結點的差分形式,結點上函數(shù)值的微小變化可能導致高階差分的很大變動.故在應用中主要采用的是分段低次插值.實踐證明,用分段的低次插值多項式逼近被插函數(shù)比在全區(qū)間上用高次插值多項式效果好.

一般來說,分段插值所描繪的曲線是不光滑的.為了能獲得一條足夠光滑的插值曲線,近年來人們采用了分段多項式光滑插值法,即著名的樣條函數(shù)插值法.本文我們主要介紹具有良好的收斂性,具有二階光滑性的三次樣條插值.

2.4.1 三次樣條函數(shù)

定義2[5]給定[a,b]上n+1個節(jié)點a=x0＜x1＜…＜xn-1＜xn=b以及這些點上的函數(shù)值f(xi)=yi(i=0,1,…,n).若函數(shù)s(x)滿足:

（1）s(xi)=yi,i=0,1,2,…,n；

（2）在每個小區(qū)間[xi,xi+1]上是一個次數(shù)不超過三次的多項式；

（3）s(x)、s'(x)、s"(x)在[a,b]上都連續(xù).

則稱s(x)為函數(shù)f(x)關于節(jié)點x0,x1,…,xn的三次樣條函數(shù).

2.4.2 三次樣條插值的幾種計算方法

2.4.2.1 利用二階導數(shù)為線性函數(shù)求解

令s"(xj)=Mj,j=0,1,…,n.因為s(x)為分段三次多項式,故s"(x)在[xj,xj+1]上是線性函數(shù).可表示為

其中hj=xj+1-xj

為了求出s(x)在[xj,xj+1]上的表達式,需要對上式積分兩次,并利用s(xj)=yi及s(xj+1)=yj+1可求出積分常數(shù).得三次樣條函數(shù)表達式:

再利用光滑連接條件s'(xj-0)=s'(xj+0)，并對s(x)求導得

為了確定唯一的Mj(j=0,1,…,N),補充三個邊界條件:

（1）假定s'(x0)=f'0，s'(xn)=f'n；

（2）假定 s"(x0)=f"(x0)，s"(xn)=f"(xn)直接得端點方程M0=f"0，Mn=f"n；

（3）假定M0=MN=0,即為自然邊界條件,可得M0=Mn，λnM1+μnMn-1+2Mn=dn；

以上三個邊界條件將其寫成矩陣形式,得關于Mj(j=0,1,…,n)的三對角線性方程組,利用追趕法[2]求出唯一的Mj(j=0, 1,…,n),將其代入s(x)即可.

2.4.2.2 利用特殊形式的埃爾米特插值公式求解

若插值節(jié)點取為xk,xk+1,插值多項式為H3(x),則采用基函數(shù)法,

令H3(x)=αk(x)yk+αk+1yk+1+βk(x)mk+βk+1(x)mk+1

其中αk(x)，αk+1（x），βk(x)，βk+1(x)是關于插值節(jié)點 xk，xk+1的三次Hermite插值基函數(shù).

上式即為由特殊的埃爾米特插值公式推導的三次樣條插值的計算方法之一.

3 數(shù)值實例

下圖是利用matlab(2012b)編程軟件繪制的上述條件下四種不同算法在[0.25,4]插值函數(shù)曲線圖(a)及其相對誤差曲線圖(b),直觀明了地展示不同插值算法的效果.

圖a 插值函數(shù)曲線圖

從圖a中可看出不同插值方法對原函數(shù)的逼近效果相差不大.但從圖b中的不同插值法的相對誤差大小可知,這四種插值方法中,Lagrange插值和Newton插值的效果是一樣的,相對另外兩種插值方法來說,這兩種方法的逼近效果較差,其次是Hermite插值的逼近效果較好,而具有良好收斂性及二階光滑性的三次樣條插值來說,其誤差最小,逼近效果最好.

圖b 相對誤差曲線圖

4 總結

本文根據(jù)運用的插值條件的不同,對《數(shù)值分析》中常用的四種插值法進行歸納總結.通過具體的數(shù)值實例,結合matlab編程軟件,通過圖像直觀明了地展示不同方法的逼近效果,還繪制了不同插值方法的相對誤差曲線圖,從誤差的角度分析不同方法的效果.為不同領域的科研工作者提供理論基礎.

〔1〕張韻華,奚梅成,陳效群.數(shù)值計算方法與算法[M].北京：科學出版社,2006.

〔2〕李慶揚,王超能,易大義.數(shù)值分析（第五版）[M].北京：清華大學出版社,2008.

〔3〕徐利治,周蘊時,孫玉柏.逼近論[M].北京：國防工業(yè)出版社,1985.

〔4〕呂曉亞,張莉.插值法在數(shù)值分析中的教學實踐[J].唐山師范學院學報,2011,33(2):123-125.

〔5〕張希娜,李亞紅,郭中凱.關于三次樣條插值的教學研究[J].長沙大學學報,2012,26(2):131-132.

〔6〕張麗娟.三種插值方法的應用與比較[J].赤峰學院學報(自然科學版),2010,26(3):1-3.

〔7〕林昌華,楊巖.拉格朗日插值法在工程設計及CAD中的應用[J].重慶理工大學學報(自然科學版),2013,27(12):34-37.

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2017-01-25