基于魯棒H∞理論的三級倒立擺控制系統(tǒng)研究

夏炎 謝瑋??

摘要：為了研究三級倒立擺的魯棒控制方法，設計出三級倒立的狀態(tài)反饋H∞控制器。仿真結(jié)果表明三級倒立擺具有良好的魯棒穩(wěn)定性、魯棒性、抗干擾性，實現(xiàn)了對三級倒立擺的穩(wěn)定控制。同時運用了狀態(tài)空間極點配置法和LQR最優(yōu)控制法，分別設計出針對三級倒立擺的控制器。經(jīng)比較研究：采用狀態(tài)反饋H∞方法設計的三級倒立擺控制器的控制效果非常好，使其具有較小的振蕩和超調(diào)量，倒立擺起擺迅速，穩(wěn)定控制性能優(yōu)良。

關鍵詞：H∞控制理論；三級倒立擺；狀態(tài)反饋；控制器

中圖分類號：TP273文獻標識碼：ADOI：10.3969/j.issn.10036199.2017.01.004

1引言

三級倒立擺作為控制理論研究和進行各種控制實驗的一個理想實驗平臺[1]，對其不確定性的研究，在理論和實踐上都具有重要研究意義。倒立擺具有變量多、階次高、不穩(wěn)定、非線性和強等特性[2]，使得現(xiàn)代控制理論研究者把它作為研究火箭垂直姿勢、雙足行走機器人等控制對象的簡單模型[3]。對倒立擺的研究應用到了多種技術(shù)并且涉及多個領域，包括機器人技術(shù)、計算機控制技術(shù)、控制理論技術(shù)等，試圖通過對倒立擺的研究來檢驗控制理論在多變量、不穩(wěn)定系統(tǒng)上的應用能力，從而找出最優(yōu)的控制方法[4]。本文是基于魯棒H

設定倒立擺的擺桿為剛體，控制系統(tǒng)的輸入為電動機的輸出力矩。三級倒立擺變量名稱及系統(tǒng)模型參數(shù)見表1。利用動力學知識以及拉格朗日方程，可以建立起三級倒立擺的數(shù)學模型。結(jié)構(gòu)圖中的θ1，θ2，θ3為1、2和3級擺桿與垂直方向的夾角，其中g(shù)為重力加速度，g=9.8N/kg，F(xiàn)：電機對小車的驅(qū)動力

當給定初始狀態(tài)為平衡態(tài)時即X=0時給系統(tǒng)加入單位階躍響應信號，如圖3所示，大約在10s時小車基本處于靜止狀態(tài)，趨于穩(wěn)定。擺角1，2，3的振蕩幅值大約為0.4rad且在5s后趨于穩(wěn)定。為了通過對比驗證，在相同的初始狀態(tài)下，給系統(tǒng)施加一個脈沖信號作為擾動輸入W的輸入信號，如圖4所示，雖然小車的擺角1，2，3的擺動幅度很大且振蕩頻率增大，但在10 s的時候小車靜止，4s后擺角基本停止振蕩，系統(tǒng)又能夠重新回到平衡態(tài)，趨于穩(wěn)定狀態(tài)，說明系統(tǒng)具有很好的抗干擾能力。狀態(tài)反饋H∞方法能夠很好的控制倒立擺的擺角和小車的位置。

當給定初始狀態(tài)為X=[1 2 -1 2 1 1 2 2]時，顯然三級倒立擺系統(tǒng)是遠離平衡態(tài)X=0的，這時給系統(tǒng)加入單位階躍響應信號后如圖5所示，即使系統(tǒng)振蕩的幅度和頻率很大，但最終還是能在5 s的時候回到平衡態(tài)使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，具有很好的魯棒性。4.2三種控制方法比較研究

為了比較研究，又設計了基于LQR[12]-[13]和極點配置算法的三級倒立擺控制器，并進行了仿真比較研究。如圖6所示：

初始狀態(tài)為平衡態(tài)即X=0時加入同樣的單位階躍響應信號情況下，基于LMI魯棒H∞控制方法設計的倒立擺控制器具有很好的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性，雖然調(diào)整時間ts比另兩種方法的較長，但符合系統(tǒng)要求。擺角1，2，3的振蕩幅值和頻率較小，超調(diào)量明顯比其他兩種方法小得多，擺桿的擺動幅度也比較小，調(diào)節(jié)時間和上升時間比較短。通過對比三種方法；基于LMI魯棒H∞控制方法構(gòu)造的控制器可以很好的控制倒立擺，使其有更好的魯棒穩(wěn)定性、魯棒性和抗干擾性。

5結(jié)論

對三級倒立擺進行了魯棒控制問題的研究。通過對比仿真實驗，從系統(tǒng)魯棒性和魯棒穩(wěn)定性兩個角度綜合的論證了狀態(tài)反饋H∞方法的優(yōu)點。

在仿真過程中，小車的位移和擺桿與豎直方向的夾角的初始值對倒立擺的穩(wěn)定性影響很大，而在求取魯棒H∞控制器的過程中，加權(quán)矩陣C1的選取對控制器的控制效果影響比較顯著，現(xiàn)在沒有具體的方法來選取合適的加權(quán)矩陣C1，只能根據(jù)經(jīng)驗來反復選取，這也是未來值得探索的方面。

參考文獻

[1]SIEBER J，KRAUSKOPF B.Complex balancing motions of an inverted pendulum subject to delayed feedback control[J]. physica dnonlinear phenomena， 2004，197（3-4）：332-335.

[2]王俊.基于倒立擺的PID 控制算法的研究[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2012，35（23）：152-154.

[3]ASTROM K J，F(xiàn)URUTA K.Swinging up a pendulum by energy control[J]. Dans IFAC，13th Word Congress， San Francisco，1996.

[4]王強，陳煒，趙新華.直線倒立擺的快速起擺與穩(wěn)擺控制研究[J].機械設計與制造，2013（5）：74 - 77.

[5]張晉.時滯系統(tǒng)的H∞魯棒控制策略研究[D].蘭州：甘肅工業(yè)大學控制理論與控制工程專業(yè).2000.40-65.

[6]FRANCIS B A， HELTON J W， ZAMES G.H∞ optimal feedback controllers for linear multivariable systems[J].IEEE Trans.Automat.Control，1984，29（10）：888-900.

[7]俞立.魯棒控制一線性矩陣不等式處理方法[M].北京：清華大學出版社，2002.6-267.

[8]高云霞. 基于H∞理論的主汽溫控制系統(tǒng)的分析與綜合[D].保定：華北電力大學自動化系，2005.25-34.

[9]申鐵龍.H∞控制理論[M].北京：清華大學出版社，1996.

[10]薛定宇，陳陽泉.控制數(shù)學問題的MATLAB求解[M].北京：清華大學出版社，2007：411-414.

[11]薛定宇.控制系統(tǒng)計算機輔助設計（第二版）[M].北京：清華大學出版社，2006，87-90.

[12]王仲民，孫建軍，岳宏.基于LQR的倒立擺最優(yōu)控制系統(tǒng)研究[J].工業(yè)儀表與自動化裝置，2005，3（1）：6-8.

[13]郝智超，朱廷煥，劉克平.不確定柔性倒立擺系統(tǒng)魯棒控制器設計[J].吉林大學學報：信息科學版，2009，27（6）：

第36卷第1期2017年3月計算技術(shù)與自動化Computing Technology and AutomationVol36，No1Mar. 2 0 1 7第36卷第1期2017年3月計算技術(shù)與自動化Computing Technology and AutomationVol36，No1Mar. 2 0 1 7