基于隨機(jī)和認(rèn)知不確定性分離的PBX構(gòu)件可靠性分析

沈展鵬, 臧朝平, 陳學(xué)前, 劉信恩, 郝志明

(1. 南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院, 江蘇 南京 210016; 2. 中國(guó)工程物理研究院總體工程研究所, 四川 綿陽(yáng) 621999)

1 引 言

高聚物粘結(jié)炸藥(Polymer Bonder Explosive, PBX)是一類由高能炸藥晶體、高聚物粘接劑和降感劑等多種成分組成的混合炸藥。與 TNT 炸藥相比,PBX 具有能量高、感度低、強(qiáng)度高等優(yōu)點(diǎn),所以在各相關(guān)領(lǐng)域中應(yīng)用更為廣泛[1]。

由PBX澆注或壓制的炸藥件存在隨機(jī)和認(rèn)知兩類不確定性。一方面,由于制作工藝、加工精度、以及顆粒物實(shí)際分布情況的影響,炸藥件客觀地存在不可縮減的不確定性,稱之為隨機(jī)(或固有)不確定性。另一方面,在對(duì)其進(jìn)行建模計(jì)算時(shí),由于其本身特性和真實(shí)工作環(huán)境的復(fù)雜性,往往需要引入一定的假設(shè)以便于簡(jiǎn)化處理,或者由于認(rèn)識(shí)不足、觀測(cè)樣本太少等原因造成某些參數(shù)不能夠被準(zhǔn)確估計(jì)。這些假設(shè)簡(jiǎn)化或不準(zhǔn)確估計(jì)造成的不確定性將隨著建模的精細(xì)化和有效信息(試驗(yàn)更新、理論完善等)的補(bǔ)充,而不斷減少,將其稱之為認(rèn)知不確定性[2]。這兩類不確定性由于其本質(zhì)的不同,對(duì)炸藥件響應(yīng)量的影響也不同。若對(duì)兩者分離地量化、傳播,進(jìn)而獲得關(guān)心響應(yīng)量的隨機(jī)和認(rèn)知不確定性,則不僅掌握了響應(yīng)量的不確定性范圍,還可以清晰地看出模型是否具有改進(jìn)空間以及多大的改進(jìn)空間,指導(dǎo)模型改進(jìn)方向。

在對(duì)PBX構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度可靠度分析時(shí),傳統(tǒng)的確定性方法將一次確定性的有限元計(jì)算結(jié)果乘以安全系數(shù),根據(jù)強(qiáng)度理論獲得二元(成敗型)可靠性分析結(jié)果[3]。這種方法曾在工程應(yīng)用中起到至關(guān)重要的作用,但隨著技術(shù)的進(jìn)步和工程需求的發(fā)展,已經(jīng)難以滿足工程設(shè)計(jì)需求。20世紀(jì)50年代,基于概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論的概率可靠性方法開始發(fā)展并迅速成熟起來(lái),并從最初的軍工、電子產(chǎn)品擴(kuò)展到許多其他技術(shù)領(lǐng)域,得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用[4]。在結(jié)構(gòu)的概率可靠性方法中,應(yīng)力和強(qiáng)度被視為隨機(jī)變量,并受載荷、環(huán)境溫度、邊界約束、結(jié)構(gòu)尺寸、材料特性等不確定性參數(shù)的影響,最終由應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型給出結(jié)構(gòu)的可靠度或失效概率。相比于傳統(tǒng)確定性方法,概率可靠性方法考慮了結(jié)構(gòu)的固有不確定性,為工程決策提供了有力支撐。但是當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)并不充分,參數(shù)不確定性難以準(zhǔn)確表征時(shí),或者模型本身的精確程度不夠時(shí),認(rèn)知不確定性對(duì)結(jié)果影響較大,不能輕易忽略,此時(shí)概率方法給出的可靠度僅是真實(shí)可靠度的一個(gè)估計(jì),并不能保證與真實(shí)可靠度足夠接近。2001年,美國(guó)能源部三大實(shí)驗(yàn)室提出了裕量與不確定性量化(Quantification of Margins and Uncertainties, QMU)方法[5],致力于解決在數(shù)據(jù)不足、知識(shí)缺乏情況下的結(jié)構(gòu)可靠性評(píng)估問(wèn)題,其關(guān)鍵思想即在于不確定性的嚴(yán)格量化。目前,以Helton等為代表的諸多學(xué)者[5-8]基于經(jīng)典概率論、證據(jù)理論、貝葉斯估計(jì)、凸集模型或概率盒等不確定性表征方式,研究工程結(jié)構(gòu)的可靠性分析方法,豐富了不確定性量化和QMU的理論。國(guó)內(nèi)學(xué)者中,姜潮等[9-10]關(guān)注了不確定性參數(shù)的相關(guān)性對(duì)可靠性分析的影響,吳丹青等[11]則重點(diǎn)研究了認(rèn)知不確定性對(duì)可靠性分析的影響,并強(qiáng)調(diào)了兩類不確定性的分離。這些學(xué)者們采用各種方式對(duì)參數(shù)的不確定性進(jìn)行了量化,但是沒(méi)有詳細(xì)地量化數(shù)值不確定性和模型形式不確定性并考慮三者疊加,且僅有少數(shù)學(xué)者強(qiáng)調(diào)并嚴(yán)格執(zhí)行了隨機(jī)和認(rèn)知不確定性的分離。

基于此,本研究針對(duì)拱形PBX構(gòu)件,采用經(jīng)典概率或概率盒方式表征材料特性、幾何尺寸、所受載荷等參數(shù)不確定性,由理查森外推法[12-14]量化炸藥件關(guān)心響應(yīng)量數(shù)值不確定性,并由面積度量法[15]獲得模型形式不確定性,并將三者疊加,以分析炸藥件的可靠性。在整個(gè)過(guò)程中,通過(guò)概率盒和嵌套抽樣法嚴(yán)格分離量化隨機(jī)、認(rèn)知兩類不確定性,獲得了可靠度區(qū)間,以期給出更多有效的信息,為風(fēng)險(xiǎn)決策者提供依據(jù)和支持。

2 有限元模型建立

2.1 炸藥件結(jié)構(gòu)

拱形的PBX構(gòu)件模型放置在剛性水平平面上,拱兩側(cè)的位移不限制約束,頂部受到豎直向下的集中力作用,如圖1所示,其幾何尺寸、材料屬性以及所受載荷等模型參數(shù)的名義值如表1所示。

PBX炸藥屬于拉壓不對(duì)稱材料,其強(qiáng)度準(zhǔn)則有很多,本研究為展示兩類不確定性分離的強(qiáng)度分析方法,采用簡(jiǎn)單的最大應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則評(píng)估炸藥件的靜力可靠性,同時(shí)為保證結(jié)構(gòu)件的特殊功能,假設(shè)要求炸藥件豎向位移不超過(guò)0.0406 mm。因此,研究中炸藥件的關(guān)心響應(yīng)量為最大拉、壓應(yīng)力和最大豎向位移。

圖1 拱形PBX構(gòu)件的結(jié)構(gòu)示意圖

Fig.1 Sketch of arched polymer bonder explosive

表1 模型參數(shù)的名義值

Table 1 Nominal values of the model parameters

parameterW/mmD1/mmD2/mmelasticmodulus/GPaPossion'sratiodensity/g·cm-3F/Nnominalvalue12.738.176.270.3651.89700

2.2 有限元模型

在有限元軟件ANSYS中,選取線性各項(xiàng)同性材料,并取20節(jié)點(diǎn)六面體實(shí)體單元solid186進(jìn)行模型離散,如圖2所示。為減少計(jì)算量,根據(jù)左右和前后方向的對(duì)稱性建立了1/4模型,模型的左端面和后端面均施加對(duì)稱約束,底部所有節(jié)點(diǎn)的豎直方向位移約束為零。為近似試驗(yàn)加載情況,將集中力等效為頂部小部分位置上(圖2中紅色區(qū)域)的均勻壓力載荷。由于需要估計(jì)離散數(shù)值誤差,在基準(zhǔn)網(wǎng)格(特征尺寸記為h0=3.35 mm,圖2a所示)上進(jìn)行均勻一致加密,獲得了特征尺寸分別為h0/2,h0/4和h0/8的離散網(wǎng)格。

采用特征尺寸為h0/2的離散網(wǎng)格(圖2b),在各參數(shù)取表1所示的名義值(1/4模型中厚度僅取一半,集中力僅取1/4)下進(jìn)行有限元計(jì)算,獲得炸藥件拉應(yīng)力(第一主應(yīng)力)、壓應(yīng)力(第三主應(yīng)力)以及豎直方向位移的云圖如圖3所示。從圖3中可看出,炸藥件最大拉應(yīng)力(9.75 MPa)發(fā)生在圓拱頂部的內(nèi)環(huán)表面,最大壓應(yīng)力(8.84 MPa)發(fā)生在圓拱底部的內(nèi)環(huán)表面,最大豎直位移(0.0382 mm)發(fā)生在圓拱最頂端。

a. max mesh size:h0=3.35 mm b. max mesh size:h0/2 c. max mesh size:h0/8

圖2 炸藥件的1/4有限元離散模型

Fig.2 Quarter finite element model of the explosive

c. tensile stress b. crushing stress c. vertical displacement

圖3 參數(shù)取名義值時(shí)炸藥件的響應(yīng)云圖

Fig.3 Response cloud diagram of explosive with the parameters valued in their nominal values

3 不確定性量化與傳播

3.1 數(shù)值不確定性

采用成熟的商業(yè)有限元軟件計(jì)算線性靜力學(xué)問(wèn)題,保證了迭代誤差、舍入誤差、統(tǒng)計(jì)誤差等數(shù)值誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于離散誤差,即離散誤差是最主要的數(shù)值誤差。采用理查森外推(Richardson Extrapolation)法[12],可直接估計(jì)關(guān)心響應(yīng)量的離散數(shù)值誤差。

假設(shè)均勻、系統(tǒng)、一致加密的三重網(wǎng)格(特征尺寸為h1

yRE=y1-εh

(1)

(2)

(3)

表2 安全因子和收斂精度階的確定[14]

Table 2 Determination of the safety factor and the order of accuracy[14]

p^-pf()/pfFsp≤0.11.25pf>0.13.0minmax0.5,p^(),1()

根據(jù)理查森外推的應(yīng)用要求劃分四重網(wǎng)格,炸藥件的最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力及最大豎向位移隨網(wǎng)格特征尺寸的變化情況如圖4所示,基于特征尺寸分別為h0/2,h0/4和h0/8的三重網(wǎng)格計(jì)算關(guān)心響應(yīng)量的數(shù)值不確定性如表3所示,表3中相對(duì)數(shù)值不確定性等于數(shù)值不確定性和精細(xì)網(wǎng)格計(jì)算解絕對(duì)值的比值。另外,由于有限元計(jì)算選取20節(jié)點(diǎn)的六面體實(shí)體單元,其形函數(shù)為二階多項(xiàng)式,因此位移的理論精度階2,應(yīng)力的理論精度階為1。

表3 關(guān)心響應(yīng)量在精細(xì)網(wǎng)格h0/8下的數(shù)值不確定性估計(jì)結(jié)果

Table 3 Numerical uncertainty estimation of the response when the mesh size valued inh0/8

responseofinterestformalorderofaccuracyobservedorderofaccuracyrelativenumericaluncertainty/%maximumtensilestress10.046314.1maximumcrushingstress10.519412.5maximumverticaldisplacement21.97110.03

c. maximum tensile stress b. maximum crushing stress c. maximum vertical displacement

圖4 不同網(wǎng)格特征尺寸下的關(guān)心響應(yīng)量數(shù)值解

Fig.4 Numerical solution of responses of interest based on the FE model with different mesh sizes

圖4和表3表明: 最大拉應(yīng)力在特征尺寸h0網(wǎng)格下的計(jì)算解并沒(méi)有進(jìn)入收斂域; 位移的收斂速度比應(yīng)力響應(yīng)快得多; 位移的觀測(cè)精度階與理論精度階相差很小,安全因子取為1.25,對(duì)應(yīng)力而言兩者差距較大,安全因子取為3; 精細(xì)網(wǎng)格h0/8下豎向位移的數(shù)值誤差非常小,可忽略,而最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的數(shù)值誤差不可忽略。應(yīng)力的數(shù)值誤差雖然較大,但是隨網(wǎng)格加密收斂于絕對(duì)值較小的方向,即當(dāng)前計(jì)算的應(yīng)力結(jié)果偏保守。后續(xù)分析中,除了靈敏度分析基于尺寸為h0/2的網(wǎng)格模型計(jì)算,代理模型建立、參數(shù)不確定性傳播、可靠性分析等過(guò)程均基于尺寸h0/8的精細(xì)網(wǎng)格模型完成。

3.2 參數(shù)不確定性

在參數(shù)不確定性傳播分析之前,需要進(jìn)行靈敏度分析以剔除對(duì)響應(yīng)不敏感的參數(shù),減少計(jì)算量。初步考慮炸藥件加工尺寸誤差為±0.05 mm,彈性模量E、泊松比ν和密度ρ的變化范圍分別為[6.5, 7.5] GPa、[0.36, 0.37]和[1.78, 2] g·cm-3,集中力F的誤差為名義值的0.5%,采用基于抽樣的秩相關(guān)靈敏度分析[16]可獲得如圖5所示的參數(shù)靈敏度餅圖。由圖5可知,彈性模量和密度對(duì)最大拉、壓應(yīng)力影響很小,可以忽略; 但彈性模量對(duì)豎向位移影響占絕大部分。值得注意的是,參數(shù)不確定性變化時(shí),最大拉、壓應(yīng)力,最大豎向位移的變化相對(duì)其名義值的百分比分別為2.75%,2.42%和15.9%。

采用概率盒表征具有隨機(jī)、認(rèn)知兩類混合的輸入?yún)?shù)不確定性,并結(jié)合嵌套抽樣法進(jìn)行不確定性傳播,可保證響應(yīng)不確定性中隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性的分離,有利于可靠性評(píng)估。概率盒是一種非精確概率方法[2,8,17],可以清晰地表征兩類混合不確定性,且形式上保留兩類不確定性可分離,如圖6所示。當(dāng)認(rèn)知不確定性縮減時(shí),概率盒收窄,直至退化為單條概率曲線,即隨機(jī)變量服從的真實(shí)概率分布。

圖5 關(guān)心響應(yīng)量的靈敏度分析結(jié)果

Fig.5 Sensitivity analysis of the response of interest

圖6 概率盒示意

Fig.6 Schematic diagram of probability box

為了細(xì)致地考察輸入?yún)?shù)的不確定性并將其傳播到關(guān)心響應(yīng)量,根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)對(duì)各參數(shù)的不確定性做出合理假設(shè)如下。集中力服從均值為名義值、標(biāo)準(zhǔn)差1N的正態(tài)分布,三個(gè)幾何尺寸(W,D1,D2)服從中值為名義值、半寬度為加工誤差0.05 mm的均勻分布,它們均為隨機(jī)變量,由概率分布曲線量化其不確定性。由于PBX的材料屬性復(fù)雜,彈性模量和泊松比具有混合不確定性,假設(shè)它們分別服從區(qū)間參數(shù)的正態(tài)分布和均勻分布,即彈性模量的均值在區(qū)間[6.9, 7.1] GPa內(nèi)變化,標(biāo)準(zhǔn)差在區(qū)間[0.09, 0.11] GPa內(nèi)變化; 泊松比的上界在[0.368, 0.37]內(nèi),下界在[0.36, 0.362]內(nèi)。需要說(shuō)明,在解決工程實(shí)際問(wèn)題時(shí),輸入?yún)?shù)不確定性的分布形式和分布超參數(shù)(指均值、方差、區(qū)間上界等)往往需要結(jié)合工程經(jīng)驗(yàn)和一定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),并根據(jù)核密度估計(jì)等方法獲得,而本文研究重點(diǎn)并不在此,因此根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)直接進(jìn)行了假設(shè)。

基于雙層嵌套抽樣將輸入?yún)?shù)的不確定性傳播至響應(yīng),可獲得由概率盒表征的響應(yīng)量不確定性。外層由拉丁超立方抽樣(Latin Hypercubes Sampling)獲得認(rèn)知不確定性變量(泊松比的上界和下界、彈性模量的均值及方差)的樣本M組; 在每一組外層樣本下,由蒙特卡洛法抽樣獲得N組隨機(jī)變量樣本。將M×N組參數(shù)樣本代入有限元模型中計(jì)算,可獲得對(duì)應(yīng)的關(guān)心響應(yīng)量樣本。對(duì)于每一組外層樣本,都可由內(nèi)層樣本繪制響應(yīng)量的一條經(jīng)驗(yàn)概率分布曲線; 當(dāng)繪制出所有外層樣本對(duì)應(yīng)的概率分布曲線后,即獲得了關(guān)心響應(yīng)量的概率盒,如圖7所示。

c. maximum tensile stress b. maximum crushing stress c. maximum vertical displacement

圖7 概率盒表征參數(shù)不確定性引起的響應(yīng)量不確定性

Fig.7 Response uncertainty caused by model input uncertainty represented with p-box

為保證樣本的收斂性,M和N往往比較大(本研究分別取100和10000),有限元計(jì)算耗時(shí)太長(zhǎng),工程上不能接受。為減少計(jì)算量,本文基于少量有限元計(jì)算建立了三個(gè)關(guān)心響應(yīng)量的Kriging代理模型。它們?cè)诹硗?0個(gè)測(cè)試樣本上的相對(duì)均方根誤差分別為1.3E-6,1.1E-6以及1.8E-6,證明代理模型精度很高,其誤差可忽略。

3.2 模型形式不確定性

除了計(jì)算模型的參數(shù)具有不確定性外,由于假設(shè)簡(jiǎn)化或樣本不足造成的模型形式不確定性(或稱為模型形式誤差)也應(yīng)該被量化,它通常需要通過(guò)與實(shí)驗(yàn)的比較間接獲得。面積度量(Area metric)方法通過(guò)響應(yīng)量實(shí)驗(yàn)觀測(cè)和仿真計(jì)算的概率分布曲線之間圍城的面積定量地表征兩者不一致性,其表達(dá)式如式(4)所示[17]。當(dāng)仿真計(jì)算結(jié)果的不確定性由概率盒表征時(shí),則采用概率盒和實(shí)驗(yàn)觀測(cè)分布之間所圍成的最小面積作為度量,如圖8陰影面積所示。

(4)

式中,y為關(guān)心的不確定性響應(yīng)量,函數(shù)F為累積概率分布函數(shù),上標(biāo)e表示實(shí)驗(yàn)觀測(cè),上標(biāo)m表示仿真預(yù)測(cè),下標(biāo)xi為由輸入變量表示的位置點(diǎn),面積度量值d與關(guān)心響應(yīng)量y的單位相同。d越小表示模型越準(zhǔn)確,d越大表示模型和實(shí)驗(yàn)之間的差異越大。需要注意的是,面積度量還包含由于實(shí)驗(yàn)樣本不足(概率分布函數(shù)呈階梯狀)而帶來(lái)的不確定性,這將會(huì)增大模型形式不確定性,使可靠性評(píng)估結(jié)果趨于保守。

a. simulation uncertainty represented with probability distribution curve

b. simulation uncertainty represented with probability-box

圖8 響應(yīng)量的面積度量示意

Fig.8 Schematic diagram of the area metric for the response

由于缺乏真實(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),以高精度數(shù)值計(jì)算結(jié)果疊加人工試驗(yàn)誤差構(gòu)造虛擬實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),采用面積度量量化關(guān)心響應(yīng)量的模型形式不確定性。虛擬實(shí)驗(yàn)的樣本量取為10,人工試驗(yàn)誤差假設(shè)為零均值的正態(tài)分布,如式(5)所示,最終面積度量結(jié)果如圖9所示。

(5)

式中,下標(biāo)e表示虛擬實(shí)驗(yàn)觀測(cè),下標(biāo)m表示仿真預(yù)測(cè),虛擬實(shí)驗(yàn)誤差ε、誤差標(biāo)準(zhǔn)差σε與關(guān)心響應(yīng)量y的單位相同,當(dāng)響應(yīng)量y為應(yīng)力和位移時(shí)單位分別為MPa和mm。

a. maximum tensile stress b. maximum crushing stress c. maximum vertical displacement

圖9 關(guān)心響應(yīng)量的面積度量

Fig.9 The area metric for the response of interest

4 可靠性評(píng)估

為了分離表征響應(yīng)量的隨機(jī)和認(rèn)知不確定性,前文采用嵌套抽樣法進(jìn)行參數(shù)不確定性傳播分析,獲得了關(guān)心響應(yīng)量的概率盒,如圖7所示。但這僅為參數(shù)不確定性引起的響應(yīng)不確定性,還應(yīng)該疊加數(shù)值不確定性和模型形式不確定性。而由于它們兩者都屬于認(rèn)知不確定性,因此可對(duì)圖7所示的概率盒進(jìn)行兩側(cè)拓寬。當(dāng)然,如果認(rèn)知不確定性有明確的方向性,則僅需向一側(cè)拓寬即可,例如由圖4中的曲線即表明了數(shù)值解的收斂方向。將三種不確定性通過(guò)概率盒疊加后,可獲得炸藥件最大應(yīng)力和最大豎向位移的總不確定性如圖10所示。從圖10中還可清晰地看出三種不確定性對(duì)總不確定性的貢獻(xiàn)。

假設(shè)選取的PBX炸藥材料的拉伸強(qiáng)度為9.5 MPa,壓縮強(qiáng)度為25 MPa。根據(jù)最大應(yīng)力準(zhǔn)則,結(jié)構(gòu)內(nèi)的最大應(yīng)力超過(guò)相應(yīng)的強(qiáng)度值視為失效,同時(shí)為保證結(jié)構(gòu)件的特殊功能,要求豎向位移不超過(guò)0.0406 mm。圖10表明最大壓應(yīng)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于壓縮強(qiáng)度,而最大拉應(yīng)力接近于拉伸強(qiáng)度值,更危險(xiǎn)。因此通過(guò)概率盒截?cái)嗫芍?強(qiáng)度可靠度R1在區(qū)間[0.974, 1]內(nèi),功能可靠度R2在[0.284, 0.939]內(nèi)。也就是說(shuō),如果僅考慮結(jié)構(gòu)件不破壞,現(xiàn)有設(shè)計(jì)的可靠度超過(guò)97.4%; 但是如果同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)的功能性要求,可靠度會(huì)高于0.284且低于0.939。

c. maximum tensile stress b. maximum crushing stress c. maximum vertical displacement

圖10 炸藥件最大拉、壓應(yīng)力和最大豎向位移的總不確定性

Fig.10 Total uncertainty of the maximum tensile stress, crushing stress and vertical displacement of the explosive

如果僅在各參數(shù)取名義值時(shí)由精細(xì)網(wǎng)格進(jìn)行一次確定性計(jì)算,可知最大拉應(yīng)力為9.3747 MPa(小于拉伸強(qiáng)度),最大豎向位移為0.037277 mm(小于功能性要求閾值),可靠性校核結(jié)果為二元邏輯值(是或否)[3]。通常出于保守性需要給出安全因子,但安全因子的取值大小往往依賴于工程經(jīng)驗(yàn),且主觀成分極大。因此,這種確定性方法難以成為產(chǎn)品可靠性設(shè)計(jì)的有力支撐。

如果僅考慮模型參數(shù)的隨機(jī)不確定性,根據(jù)經(jīng)典概率方法和蒙特卡洛抽樣,可以獲得概率形式表征的炸藥件可靠性[4],如圖11所示。當(dāng)計(jì)算模型與工程實(shí)際足夠接近,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)也比較充足時(shí),模型參數(shù)的固有不確定性可以準(zhǔn)確地表征,該方法非常有效且實(shí)用,是經(jīng)常采用的可靠性設(shè)計(jì)方法。但是還有很多情況下,數(shù)據(jù)并不充分,參數(shù)不確定性難以準(zhǔn)確表征,或者模型本身的精確程度不夠,總之認(rèn)知不確定性對(duì)結(jié)果影響較大,難以輕易忽略。此時(shí)概率方法給出的可靠度僅是真實(shí)可靠度的一個(gè)估計(jì),并不能保證與真實(shí)可靠度足夠接近。

a. strength requirement

b. performance requirement

圖11 概率方法獲得炸藥的可靠度[4]

Fig.11 Reliability obtained by probabilistic method[4]

本文的概率盒方法分離地表征、量化認(rèn)知和隨機(jī)兩類不確定性,相比于前兩種方法[3-4],至少有三個(gè)優(yōu)點(diǎn)。

(1)當(dāng)認(rèn)知不確定性影響嚴(yán)重時(shí),經(jīng)典概率方法給出的可靠度可能誤差較大,本方法給出了結(jié)構(gòu)的可靠度區(qū)間,該區(qū)間覆蓋了真實(shí)可靠度和經(jīng)典概率方法給出的可靠度(如表4所示)。

表4 三種方法對(duì)炸藥件可靠度的表征對(duì)比

Table 4 Comparison of the explosive reliability representation with the three methods

methodR1R2representationofreliabilitydeterminatecheckingmethodreliablereliablelogicvalueprobabilisticmethod0.9960.351probabilityp-boxmethod[0.974,1][0.284,0.939]interval-valuedprobability

(2)隨著有效信息的增加(例如更多的PBX材料實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可獲得其力學(xué)參數(shù)更準(zhǔn)確的概率分布,更精細(xì)的材料本構(gòu)關(guān)系將會(huì)使計(jì)算結(jié)果更逼近于實(shí)驗(yàn)),該區(qū)間逐漸變窄,收斂于真實(shí)可靠度。

(3)區(qū)間值的可靠度還可以在某種程度上指導(dǎo)設(shè)計(jì)改進(jìn)方向。當(dāng)計(jì)算獲得的可靠度區(qū)間下界大于可靠度設(shè)計(jì)期望值時(shí),產(chǎn)品肯定可靠; 當(dāng)可靠度區(qū)間包含了設(shè)計(jì)期望值時(shí),說(shuō)明產(chǎn)品可能可靠、也可能不可靠,需要減少認(rèn)知不確定性的范圍重新評(píng)估其可靠性; 當(dāng)可靠性區(qū)間上界小于設(shè)計(jì)期望值時(shí),說(shuō)明產(chǎn)品一定不可靠,需要更改方案、重新設(shè)計(jì)。例如,如果要求炸藥件的可靠度不低于0.95時(shí),由于位移給出的可靠度R2為[0.284, 0.939],說(shuō)明該炸藥件肯定不滿足可靠性設(shè)計(jì)要求,需要重新更改設(shè)計(jì)。

本方法還適用于拉伸強(qiáng)度也具有不確定性的情形。在可靠性分析前定義新變量R,它是結(jié)構(gòu)應(yīng)力σ和材料強(qiáng)度S的函數(shù),當(dāng)其大于零時(shí)結(jié)構(gòu)可靠。當(dāng)選取最大應(yīng)力準(zhǔn)則作為強(qiáng)度判據(jù)時(shí),R的表達(dá)式如式(6)所示。由于R與零的大小關(guān)系直接表征可靠性,因此可將R作為關(guān)心響應(yīng)量,采用文中方法由概率盒量化、疊加各種不確定性,并進(jìn)行可靠性分析。實(shí)際上,這樣可以更靈活地選取強(qiáng)度準(zhǔn)則,并可考慮應(yīng)力和強(qiáng)度的相關(guān)性。

Rσ,S=S-maxσ

(6)

式中,結(jié)構(gòu)應(yīng)力σ、材料強(qiáng)度S,以及新變量R的單位均為MPa。

5 結(jié) 論

(1) 參數(shù)不確定性、數(shù)值誤差以及模型形式不確定性都會(huì)影響PBX構(gòu)件位移、應(yīng)力等響應(yīng)量的預(yù)測(cè)值,并且影響程度與感興趣響應(yīng)量有關(guān)(例如數(shù)值誤差對(duì)位移的影響很小,但是對(duì)應(yīng)力影響較大),相比于確定性強(qiáng)度校核法,考慮不確定性的可靠性評(píng)估會(huì)降低工程應(yīng)用的風(fēng)險(xiǎn)。

(2) 采用概率盒方法量化響應(yīng)的不確定性,可直觀地展示參數(shù)不確定性、數(shù)值不確定性以及模型形式不確定性對(duì)響應(yīng)不確定性的貢獻(xiàn)比例。

(3) 基于本文方法,保持隨機(jī)和認(rèn)知不確定性分離,可獲得PBX構(gòu)件的可靠度區(qū)間,該區(qū)間覆蓋了真實(shí)可靠度,并隨著認(rèn)知不確定性的減少逐漸收斂于真實(shí)可靠度。

(4) 認(rèn)知不確定性影響嚴(yán)重時(shí),經(jīng)典概率方法計(jì)算的可靠度可能誤差較大,而本方法仍可給出可靠度區(qū)間(該區(qū)間覆蓋了經(jīng)典概率法的可靠度和真實(shí)可靠度),補(bǔ)充了經(jīng)典概率方法的不足。

(5) 本方法并不局限于文中的炸藥件結(jié)構(gòu),也適用于其他結(jié)構(gòu)的可靠性分析。

參考文獻(xiàn):

[1] 高軍, 黃再興. PBX炸藥粘彈性損傷本構(gòu)模型的參數(shù)識(shí)別[J]. 工程力學(xué), 2013, 30(7): 299-304.

GAO Jun, HUANG Zai-xing. Parameter identification for viscoelastic damage constitutive model of PBX[J].EngineeringMechanics, 2013, 30(7): 299-304.

[2] Helton J C, Johnson J D. Quantification of margins and uncertainties: Alternative representations of epistemic uncertainty[J].ReliabilityEngineeringandSystemSafety, 2011, 96(9): 1034-1052.

[3] 劉鴻文. 材料力學(xué)[M]. 第4版. 北京: 高等教育出版社, 2004: 212-251.

LIU Hong-wen. Material mechanics[M]. 4th edition.Beijing: Higher Education Publishing, 2004: 212-251.

[4] Svetlitsky V A. Statistical dynamics and reliability theory for mechanical structures[M]. Berlin: Springer-Verlag Publishing, 2003: 313-348.

[5] Helton J C. Quantification of margins and uncertainties: Conceptual and computational basis[J].ReliabilityEngineeringandSystemSafety, 2011, 96(9): 976-1013.

[6] Shah H, Hosder S, Winter T. A mixed uncertainty quantification approach using evidence theory and stochastic expansions[J].InternationalJournalforUncertaintyQuantification, 2015, 5(1): 21-48.

[7] Hamada M, Martz H F, Reese C S, et al. A fully Bayesian approach for combining multilevel failure information in fault tree quantification and optimal follow-on resource allocation[J].ReliabilityEngineeringandSystemSafety, 2004, 86(3): 297-305.

[8] Sentz K, Ferson S. Probabilistic bounding analysis in the quantification of margins and uncertainties[J].ReliabilityEngineeringandSystemSafety, 2011, 96(9): 1126-1136.

[9] Jiang C, Han X, Lu G Y, et al. Correlation analysis of non-probabilistic convex model and corresponding structural reliability technique[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering, 2011, 200(33-36): 2528-2546.

[10] 姜潮, 鄭靜, 韓旭, 等.一種考慮相關(guān)性的概率-區(qū)間混合不確定模型及結(jié)構(gòu)可靠性分析[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 46(4): 591-600.

JIANG Chao, ZHENG Jing, HAN Xu, et al. A probability and interval hybrid structural reliability analysis method considering parameters′ correlation[J].ChineseJournalofTheoreticalandAppliedMechanics, 2014, 46(4): 591-600.

[11] 吳丹清, 呂震宙, 程蕾. 正態(tài)相關(guān)變量主客觀不確定性分離和參數(shù)影響分析[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 46(5): 794-801.

WU Dang-qing, Lü Zhen-zhou, CHENG Lei. An separation of the aleatory and epistemic uncertainties with correlated normal variables and analysis of the influence of parameters[J].ChineseJournalofTheoreticalandAppliedMechanics, 2014, 46(5): 794-801.

[12] Richards S A. CompletedRichardson Extrapolation in Space and Time[J].CommunicationsinNumericalMethodsinEngineering, 1997, 13(7): 573-582.

[13] Roache P J. Verification and validation in computational scienceand engineering[M]. Albuquerque: Hermosa Publishers, 1998: 15-180.

[14] Oberkampf W L, Roy C J. Verification and validation in scientific computing[M].Cambridge: Cambridge University Press, 2010: 315-326.

[15] Ferson S, Oberkampf W L, Ginzburg L. Model validation and predictive capability for the thermal challenge problem[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering, 2008, 197(29-32): 2408-2430.

[16] Helton J C, Johnson J D, Sallaberry C J, et al. Survey of sampling-based methods for uncertainty and sensitivity analysis[J].ReliabilityEngineeringandSystemSafety, 2006, 91(10-11): 1175-1209.

[17] Williamson R C, Downs T. Probabilistic arithmetic I: numerical methods for calculating convolutions and dependency bounds[J].InternationalJournalofApproximateReasoning, 1990, 4: 89-158.