具有極點(diǎn)約束的海洋平臺的主動減振控制方法及仿真

王媛

摘要： 本文主要研究海洋平臺振動控制系統(tǒng)具有極點(diǎn)約束的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題。首先將海洋平臺系統(tǒng)進(jìn)行量化分析，抽象成數(shù)學(xué)模型，并給出符號標(biāo)記和定義。其次采用極點(diǎn)配置方法將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在復(fù)平面上適當(dāng)區(qū)域，通過改善系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性，從而提高海洋平臺振動控制系統(tǒng)的性能?；诖耍鲃涌刂坡傻脑O(shè)計問題最終被化為線性矩陣不等式的求解問題。最后，通過改變參數(shù)對系統(tǒng)性能進(jìn)行仿真模擬，仿真結(jié)果表明了方法的有效性。

Abstract： In this paper， the state feedback stabilization problem of offshore platform vibration control systems with pole constraints is studied. Firstly， the marine platform system is quantified and analyzed， and the mathematical model is abstracted. Secondly， the pole placement method is used to assign the poles of the closed-loop system to the appropriate region in the complex plane. The performance of the vibration control system is improved by improving the dynamic and steady state characteristics of the system. Based on this， the design problem of the active control law is finally solved as a linear matrix inequality problem. Finally， the performance of the system is simulated by changing the parameters， and the simulation results show the effectiveness of the method.

關(guān)鍵詞： 海洋平臺；主動控制；極點(diǎn)配置；減振

Key words： offshore platform；active control；pole assignment；vibration attenuation

中圖分類號：TP13 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4311（2017）12-0202-03

0 引言

海洋平臺是指在海上進(jìn)行鉆井、采油、集運(yùn)、施工等活動提供生產(chǎn)和生活設(shè)施的構(gòu)筑物。隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會進(jìn)步，近三十年來，人們對海洋的探索和挖掘越來越深入，海岸和近海建筑工程建設(shè)也越來越受到人們的關(guān)注。海洋平臺結(jié)構(gòu)復(fù)雜，價格高，且經(jīng)常會遭受到風(fēng)、潮汐、地震等作用的損害。海洋平臺一旦出現(xiàn)事故，生命和財產(chǎn)損失難以估量。

因此為了維持海洋平臺系統(tǒng)的可靠性和安全性，有效地減少風(fēng)浪、地震、海嘯等外部擾動對平臺造成的影響，保護(hù)平臺上工作人員的安全，加強(qiáng)和完善海洋平臺的減振控制十分關(guān)鍵。

國內(nèi)外專家學(xué)者對控制系統(tǒng)的研究已取得一定進(jìn)展，許多控制裝置和控制手段，如被動控制，主動控制，以及半主動裝置都已經(jīng)被應(yīng)用于減振控制。

舉例來說，Patil 和 Jangid[1]通過海上平臺設(shè)備反應(yīng)的能量損耗，如在海浪作用下的彈簧和摩擦阻尼器，研究了在波浪力影響下已經(jīng)安裝了摩擦減振器等能耗裝置的海洋平臺的響應(yīng)。Golafshani和Gholizad[2]研究摩擦阻尼器的性能，防止波浪振動導(dǎo)致海洋平臺的振動?；７椒ㄌ峁┝撕芎玫聂敯粜院筒蛔冃韵到y(tǒng)擾動特性（Vtkin，1977）[3]，基于一個簡單的線性變換，可以將滑模方法及最優(yōu)控制方法相結(jié)合，提出一個最優(yōu)滑動模式控制器，并采用規(guī)定的衰變率得到滑模方法及最優(yōu)控制方法。

海洋平臺系統(tǒng)的外部自然環(huán)境既不受人為控制，又復(fù)雜多變，且波浪力具有動態(tài)性，這給在減振控制研究方面造成很大阻力。因此，在建模并給出模型算法的同時，還要結(jié)合實際情況進(jìn)行模擬仿真。

有鑒于此，為了改善海洋平臺系統(tǒng)性能，減少海面波動力對平臺系統(tǒng)的影響，優(yōu)化海洋平臺系統(tǒng)的內(nèi)部設(shè)置，本文提出了研究海洋平臺振動控制系統(tǒng)具有極點(diǎn)約束的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題。

結(jié)構(gòu)安排如下：第一部分給出海洋平臺的數(shù)學(xué)模型和符號標(biāo)記，以及相關(guān)的推斷定理。第二部分給出了極點(diǎn)配置方法，提出了將主動控制律問題轉(zhuǎn)換為線性矩陣不等式等相關(guān)結(jié)論的定理公式，并給出其證明過程。第三部分結(jié)合前文的定理公式，分別針對無控制力無波浪力、無控制力有波浪力、有控制力無波浪力、有控制力有波浪力四種情形，在不同參數(shù)控制下，根據(jù)AMD的速度響應(yīng)和平臺速度響應(yīng)的數(shù)值模擬波形圖給出各指標(biāo)的響應(yīng)情況。第四部分針對數(shù)值模擬結(jié)果分析給出了本文的結(jié)論，并指出研究的創(chuàng)新性和不足。第五部分給出了結(jié)論與展望，并總結(jié)了全文。

1 問題描述

為便于研究平臺系統(tǒng)的特性，從量化、參數(shù)上對平臺進(jìn)行減振，現(xiàn)優(yōu)化一定的外在因素，如天氣、海洋的物理特性，并將海洋平臺抽象成一個完整的系統(tǒng)，因此根據(jù)海洋平臺的特性，可將海洋平臺和平臺所處的外部系統(tǒng)抽象為如下方程組：

①基于線性化莫里森方程，不規(guī)則的波浪力可近似地制定為下列外部系統(tǒng)的輸出

w（t）=Gcw（t） f（t）=Hcw（t）（1）

且w（t）=[v（t）v′（t）]T，v（t）=[v1…vN]T，

vj=Ajcos（-wjt+？著j），j=1，2，…，N（2）

Gc=■，Hc=T[I 0]（3）

②令f為波浪力，m1為平臺的質(zhì)量，x1是平臺的位移，k1是平臺的剛度系數(shù)，c1是平臺的阻尼系數(shù)，m2、x2、k2、c2分別表示主動質(zhì)量阻尼器（Active Mass Damper，AMD）的質(zhì)量、位移、剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，u為控制力，則海洋平臺模型受力圖抽象簡化如圖1。

令z=[x1 x2]T，則經(jīng)過簡化的海洋平臺動力方程可以表達(dá)為

x■■（t）=-（？棕■■+？棕■■■）x1（t）+？棕■■■x2（t）-2m1（？孜1？棕1+？孜2？棕2■）x■■（t）+2？孜2？棕2■x■■（t）+■[f（t）-u（t）]

x■■（t）=？棕■■[x1（t）-x2（t）]+2？孜2？棕2[x■■（t）-x■■（t）]（4）

令z3=x■■，z4=x■■，即，則z（t）=[z1（t） z2（t） z3（t） z4（t）]T（1）式簡化后可以表達(dá)為z′（t）=Az（t）+Bu（t）+Df（t）z（0）=z0（5）

其中，

A=■

B= 0 0-■-■，D= 0 0■ 0（6）

此時，設(shè)系統(tǒng)的主動控制律為：u（t）=Kx（t）（7）

其中，K為待求增益矩陣。

則閉環(huán)系統(tǒng)為x′（t）=（A+BK）x（t）+Df（t）（8）

為了使閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)特性，通常將閉環(huán)極點(diǎn)配置在指定的？茁-半平面區(qū)域T：

Re（x）<-？茁：x+x+2？茁<0，？茁>0（9）

為了得到本文的主要結(jié)果，提出引理如下：

引理1[4]：矩陣A的所有特征值均在？茁-半平面區(qū)域D的充分必要條件是存在對稱正定矩陣X>0，使得

AX+XAT+2？茁X<0（10）

由以上分析可知，本文的目的在于設(shè)計狀態(tài)反饋控制律（7）鎮(zhèn)定海洋平臺系統(tǒng)（5），并使閉環(huán)系統(tǒng)（8）的極點(diǎn)位于指定的？茁-半平面區(qū)域T內(nèi)。

2 模型推理及證明

定理1.給定常數(shù)？茁>0和指定的？茁-半平面區(qū)域T，對于海洋平臺主動減振系統(tǒng)（5），若存在4×4正定矩陣P和1×4矩陣K，使得下列線性矩陣不等式成立：

AP+PAT+BK+KTBT+2？茁P<0（11）

則：

①狀態(tài)反饋控制律為公式（7），穩(wěn)定海洋平臺系統(tǒng)為公式（5）；

②閉環(huán)系統(tǒng)（8）的極點(diǎn)位于？茁-半平面區(qū)域T內(nèi)；

③狀態(tài)反饋增益矩陣K由K=K P-1確定。

證明：設(shè)Lyapunov函數(shù)為：

V（x（t））=xT（t）Px（t）（12）

其中P為待定的對稱正定矩陣。

需要注意的是，當(dāng)w（t）=0時，有

V′（x（t））=xT（t）[PA+ATP+PBK+KTBTP]x（t）（13）

此時，若矩陣不等式

PA+ATP+PBK+KTBTP<0（14）

成立，則閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

另一方面，據(jù)引理1，若存在對稱正定矩陣X，使得下面矩陣不等式成立：

AX+XAT+BKX+XKTBT+2？茁X<0（15）

則閉環(huán)系統(tǒng)（8）的極點(diǎn)位于？茁-半平面區(qū)域D內(nèi)。

顯然，矩陣不等式（12）等價于：

YA+ATY+YBK+KTBTY+2？茁Y<0（16）

其中，Y=X-1。

特別地，令P=Y，則矩陣不等式（13）隱含了（11）。從而，如果矩陣不等式（13）成立，則狀態(tài)反饋控制律（4）鎮(zhèn)定懸架系統(tǒng)（2），且閉環(huán)系統(tǒng)（5）的極點(diǎn)位于？茁-半平面區(qū)域T內(nèi)。

由于（13）為非線性矩陣不等式，為求得其可行解，將其化為線性矩陣不等式。顯然，（13）等價于

AP-1+P-1AT+BKP-1+P-1KTBT+2？茁P-1<0（17）

令P=P-1及K=KP-1，則由（14）可得（8）。

定理證畢。

3 數(shù)值仿真

在圖1中，假設(shè)系統(tǒng)中m1=7825307kg，m2=78253kg，？孜1=2%，？孜2=20%，可得

A=■

B= 0 0 1.3*10-71.278*10-5，D= 0 0 1.3*10-7 0

外部波浪力的仿真如圖2。

為使仿真過程合理性和完整性，本文從無控制力和有控制力兩種情形針對系統(tǒng)進(jìn)行仿真模擬。其中，無控制力情形又分為無波浪力和有波浪力兩種情形，有控制力時也分為無波浪力和有波浪力兩種情形，并對參數(shù)？茁的不同取值情況進(jìn)行數(shù)據(jù)模擬分析，根據(jù)模擬時海洋平臺和AMD的位移及速度響應(yīng)圖，給出？茁取不同值時，其他各項指標(biāo)的數(shù)值變化。

4 結(jié)果分析

根據(jù)各指標(biāo)的響應(yīng)圖，統(tǒng)計后仿真結(jié)果的數(shù)值如表1所示。

根據(jù)數(shù)值模擬仿真結(jié)果，通過分析可得到結(jié)果如下：

當(dāng)海洋平臺系統(tǒng)有主動控制且有波浪力時，系統(tǒng)的鎮(zhèn)定的時間隨著？茁的增大而減小，平臺的最大位移基本不變，最大速度隨著？茁的增大而減??；AMD的最大位移隨著？茁的增大而增大，最大速度隨著？茁的增大而增大；在一定范圍之內(nèi)，控制力隨著？茁的增大而減?。怀鲆欢ǚ秶?，控制力隨著？茁的增大而迅速增大。當(dāng)？茁=0.04時，我們可以用較小的控制力得到較好的控制效果。

本文在研究對象和研究方法上均有一定的創(chuàng)新性。通過matlab模擬仿，根據(jù)用較小的控制力得到較好的控制效果的選取原則，得到衰減率參數(shù)？茁=0.04為最優(yōu)解，仿真結(jié)果說明了方法的有效性和可行性。但需要注意的是，在對參數(shù)？茁進(jìn)行賦值的過程中，并未將小數(shù)精確到更高分位（如0.045，0.0432），因此，在數(shù)值結(jié)果的精度上還有待提高。為使海洋平臺減振系統(tǒng)性能更好，模型結(jié)果更加精確，在模型完善、方法構(gòu)建上還需進(jìn)一步深入研究。同時，若要考慮天氣和海洋本身的物理特征（潮汐）等因素的影響，模型本身仍存在諸多方面有待完善。

5 總結(jié)

隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會進(jìn)步，人類對地球的探索和資源的挖掘越來越深入。因此，針對海洋系統(tǒng)和海洋平臺的研究將會愈發(fā)熱烈。海洋平臺系統(tǒng)的穩(wěn)定性、耐用性，對探索海洋和保證人員自身安全具有十分重要的研究價值。本文所提出利用極點(diǎn)配置方法，將主動控制律問題轉(zhuǎn)換為線性矩陣不等式問題，最后建立模型求解的思想只是海洋平臺減振系統(tǒng)研究的一角，越來越多減振控制研究將會應(yīng)用到完善海洋平臺系統(tǒng)性能上來。未來我們將更加關(guān)注海洋平臺振動控制的研究，將更完善的理論、更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒ā⒏_的仿真應(yīng)用到完善系統(tǒng)、優(yōu)化設(shè)置方面，是所有學(xué)者必然關(guān)注的問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]Patil K. C.， Jangid R. S.， 2005. Passive control of offshore jacket platforms， Ocean Engineering， 32：1933-1949.

[2]Golafshani A. A.， Gholizad A.， 2009. Friction damper for vibration control in offshore steed jacket platforms， Journal of Constructional Steel Research， 65：180-187.

[3]Utkin V. I.， 1977. Variable structure systems with sliding mode， IEEE Transactions on Automatic Control， 22（2）： 212-222.

[4]俞立.魯棒控制[M].