基于高斯偽譜法的空天飛機(jī)上升段最優(yōu)軌跡設(shè)計(jì)*

張佩俊，劉魯華，王建華

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073)

?

基于高斯偽譜法的空天飛機(jī)上升段最優(yōu)軌跡設(shè)計(jì)*

張佩俊，劉魯華，王建華

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073)

針對(duì)復(fù)雜多約束條件下空天飛機(jī)上升段燃料最優(yōu)軌跡優(yōu)化問(wèn)題，提出一種基于高斯偽譜法的上升段軌跡優(yōu)化策略.依據(jù)發(fā)動(dòng)機(jī)的推力特性將上升軌跡合理分段，使原最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多段最優(yōu)控制問(wèn)題后,采用高斯偽譜法進(jìn)行并行優(yōu)化計(jì)算.數(shù)值仿真結(jié)果表明采用這種軌跡優(yōu)化策略能夠滿足組合動(dòng)力系統(tǒng)工作模態(tài)轉(zhuǎn)換時(shí)對(duì)飛行狀態(tài)的約束條件，可以在較短的時(shí)間內(nèi)完成高精度的上升段軌跡優(yōu)化任務(wù)，從而驗(yàn)證了該方法的有效性.

空天飛機(jī)；燃料最優(yōu)；分段優(yōu)化；高斯偽譜法

0 引 言

研究滿足廉價(jià)、快速與高可靠性等要求的新型天地往返運(yùn)輸系統(tǒng)已經(jīng)成為新的研究熱點(diǎn)，多個(gè)航空航天強(qiáng)國(guó)都已提出了發(fā)展空天飛機(jī)的研究計(jì)劃. 如英國(guó)在1991年就提出了“SKYLON”空天飛機(jī)研究計(jì)劃，目前該計(jì)劃已在新型預(yù)冷式組合發(fā)動(dòng)機(jī)的研制方面取得了重大突破并預(yù)計(jì)在2030年實(shí)現(xiàn)首飛[1-2]；此外，日本提出了將完全可重復(fù)使用的兩級(jí)入軌組合動(dòng)力飛行器作為未來(lái)天地往返運(yùn)輸平臺(tái)這一空天戰(zhàn)略，目前針對(duì)該飛行器的相關(guān)研究仍在持續(xù)進(jìn)行[3]. 為了趕超世界先進(jìn)水平，在2016年8月中國(guó)也提出了組合動(dòng)力飛行器的研制計(jì)劃，這種飛行器將集成渦輪、沖壓和火箭發(fā)動(dòng)機(jī)等多種動(dòng)力模式，預(yù)計(jì)在2030年達(dá)到飛行試驗(yàn)的水平. 目前，組合動(dòng)力系統(tǒng)的集成方式主要有串聯(lián)式和并聯(lián)式這兩種方式[4]，所使用的推進(jìn)劑主要有碳?xì)浠蛘咭簹湟貉跞剂?，此外，分別以液氫、碳?xì)淙剂蠟橥七M(jìn)劑的超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)均得到了成功驗(yàn)證[5]，從而極大地降低了組合動(dòng)力發(fā)動(dòng)機(jī)的研制難度.由于空天飛機(jī)能夠很好地克服傳統(tǒng)運(yùn)載模式的缺點(diǎn)，大幅度提高進(jìn)入空間的安全性并降低空天往返的運(yùn)輸費(fèi)用，因此具有極其廣闊的發(fā)展前景. 最優(yōu)軌跡設(shè)計(jì)是飛行器設(shè)計(jì)的核心技術(shù)之一，能降低對(duì)結(jié)構(gòu)、材料和發(fā)動(dòng)機(jī)等專(zhuān)業(yè)的設(shè)計(jì)要求，因此對(duì)空天飛機(jī)最優(yōu)上升軌跡的研究具有重要的意義.

飛行器最優(yōu)軌跡的設(shè)計(jì)方法主要包括直接法和間接法. 間接法具有計(jì)算精度高、計(jì)算結(jié)果具有一階最優(yōu)必要性條件等優(yōu)點(diǎn)，不足之處在于推導(dǎo)過(guò)程較為復(fù)雜，猜測(cè)沒(méi)有物理含義的協(xié)態(tài)變量的初始值較為困難；直接法主要有偽譜法、直接打靶法、遺傳算法和模擬退火等方法，無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜而繁瑣的最優(yōu)控制一階必要性條件的推導(dǎo)，在求解復(fù)雜約束條件下的最優(yōu)軌跡時(shí)更有優(yōu)勢(shì)[6]. 文獻(xiàn)[7]研究了空天飛機(jī)上升段最優(yōu)軌跡設(shè)計(jì)問(wèn)題，提出了分段優(yōu)化的策略并將攻角與推力閥門(mén)進(jìn)行離散化，利用配點(diǎn)法求解得到最優(yōu)控制量. 文獻(xiàn)[8]采用間接法設(shè)計(jì)了空天飛機(jī)上升段最優(yōu)軌跡，利用數(shù)值打靶法求解轉(zhuǎn)化后的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題. 由于在發(fā)動(dòng)機(jī)工作模態(tài)轉(zhuǎn)換時(shí)協(xié)態(tài)變量會(huì)出現(xiàn)突變，因此原最優(yōu)控制問(wèn)題將轉(zhuǎn)化為多段兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，從而極大地增加了問(wèn)題的求解難度. 文獻(xiàn)[9]針對(duì)X-51飛行器空基投放后上升段軌跡優(yōu)化問(wèn)題提出了分段優(yōu)化的思想，將上升軌跡分段后利用遺傳算法和序列二次規(guī)劃算法設(shè)計(jì)了最優(yōu)燃料軌跡，但沒(méi)有涉及飛行器水平起飛后爬升階段的軌跡設(shè)計(jì). 文獻(xiàn)[10]利用混合粒子群算法設(shè)計(jì)了RLV飛行器的上升段軌跡，但計(jì)算量較大、計(jì)算耗時(shí)問(wèn)題十分突出. 文獻(xiàn)[11]采用共軛梯度法與動(dòng)態(tài)規(guī)劃法對(duì)兩級(jí)入軌空天飛機(jī)的最優(yōu)分離速度進(jìn)行了研究. 文獻(xiàn)[12]利用高斯偽譜法設(shè)計(jì)了兩級(jí)入軌飛行器的最優(yōu)上升軌跡，仿真結(jié)果表明高斯偽譜法具有計(jì)算精度與計(jì)算效率較高的優(yōu)點(diǎn).

已有的研究主要集中于垂直起飛式飛行器的上升段軌跡設(shè)計(jì)或兩級(jí)入軌飛行器在級(jí)間分離后的軌跡設(shè)計(jì)，而對(duì)組合動(dòng)力飛行器水平起飛后爬升段軌跡的研究不夠充分. 組合動(dòng)力飛行器的推力與飛行狀態(tài)密切相關(guān)，在發(fā)動(dòng)機(jī)工作模態(tài)切換時(shí)對(duì)飛行器飛行狀態(tài)的約束較為嚴(yán)苛，從而給上升段軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)帶來(lái)了極大的困難. 近幾年，高斯偽譜法因其計(jì)算精度高、速度快等優(yōu)勢(shì)獲得了研究者的廣泛關(guān)注，但該方法存在計(jì)算節(jié)點(diǎn)的選擇較為困難，盲目增加計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù)容易造成計(jì)算量大、計(jì)算耗時(shí)等問(wèn)題. 因此，本文以一種新型水平起降式空天飛機(jī)為研究對(duì)象，依據(jù)組合動(dòng)力系統(tǒng)工作模態(tài)的不同將上升段軌跡進(jìn)行分段處理，合理分配在各個(gè)階段的計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù)，之后采用高斯偽譜法進(jìn)行軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì).

1 問(wèn)題描述

空天飛機(jī)從跑道上水平起飛后進(jìn)入爬升階段，在該階段組合動(dòng)力系統(tǒng)依據(jù)飛行狀態(tài)依次切換至渦輪、超燃沖壓和火箭發(fā)動(dòng)機(jī)工作模態(tài). 為了保證沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)能夠正常工作，在其工作期間飛行速度應(yīng)嚴(yán)格滿足約束條件(如表1所示)且推力大小連續(xù)可調(diào). 假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)工作模態(tài)的切換過(guò)程在瞬間完成，即不考慮兩種發(fā)動(dòng)機(jī)同時(shí)工作的情況，飛行器的飛行任務(wù)是為國(guó)際空間站進(jìn)行貨物補(bǔ)給，所采用的飛行時(shí)序如1.1節(jié)所示.

1.1 飛行時(shí)序

1)飛行器在爬升段首先啟動(dòng)渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)工作，當(dāng)飛行速度達(dá)到M1、飛行高度達(dá)到h1時(shí)組合動(dòng)力系統(tǒng)切換至超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)工作模態(tài). 此后飛行器繼續(xù)提速爬升飛行直至飛行速度達(dá)到M2、飛行高度達(dá)到h2，此時(shí)組合動(dòng)力系統(tǒng)切換至火箭發(fā)動(dòng)機(jī)工作模態(tài). 其中M1、h1、M2和h2由優(yōu)化算法得到.

2)在火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的推動(dòng)下飛行器進(jìn)入與目標(biāo)軌道共面的橢圓軌道近地點(diǎn)，軌道的近地點(diǎn)高度為90 km，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度為200 km.

3)當(dāng)?shù)竭_(dá)橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)飛行器點(diǎn)火加速以進(jìn)入近地圓軌道(高度為200 km)，在近地圓軌道上等待一定時(shí)間后采用霍曼轉(zhuǎn)移的方式實(shí)現(xiàn)與目標(biāo)航天器交會(huì)對(duì)接.

圖1為上升段軌跡在縱平面的投影示意圖，圖2 為飛行器在軌道轉(zhuǎn)移過(guò)程的示意圖.

圖1 上升段飛行剖面示意圖Fig.1 Sketch map of ascent trajectory on the vertical plane

圖2 軌道轉(zhuǎn)移過(guò)程示意圖Fig.2 Sketch map of orbital transfer sequence

1.2 性能指標(biāo)

該新型空天飛機(jī)的發(fā)動(dòng)機(jī)推力沿體軸方向，控制變量為攻角、傾側(cè)角和推力閥門(mén)大小. 最優(yōu)燃料問(wèn)題可描述為：設(shè)計(jì)攻角、傾側(cè)角與推力閥門(mén)大小，在滿足過(guò)程約束與終端約束的條件下，在終端時(shí)刻飛行器的質(zhì)量最大，因此性能指標(biāo)可以表示為

minJ=-mf

(1)

式中mf為飛行器在終端時(shí)刻的質(zhì)量.

1.3 動(dòng)力學(xué)模型

在半速度坐標(biāo)系下飛行器的動(dòng)力學(xué)模型可簡(jiǎn)化為

(2)

式中，α—攻角，ν—傾側(cè)角，V—飛行速度，CD—阻力系數(shù)，CL—升力系數(shù)，S—參考面積，r—地心距，θ—當(dāng)?shù)厮俣葍A角，f—引力常數(shù)，m1—地球質(zhì)量，m—飛行器質(zhì)量，ρ—空氣密度，σ—方位角，速度方向與正北方向之間的夾角，逆時(shí)針為正，φ—緯度，λ—經(jīng)度，Isp—推進(jìn)劑比沖，g—當(dāng)?shù)刂亓铀俣?，T—組合發(fā)動(dòng)機(jī)的推力.

1.4 無(wú)綱量化方法

由于飛行器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參數(shù)在量級(jí)上存在很大的差異，對(duì)優(yōu)化計(jì)算十分不利，因此在優(yōu)化計(jì)算前先進(jìn)行無(wú)量綱化處理. 對(duì)地心距r、速度大小V和時(shí)間t作如下處理：

(3)

(4)

1.5 約束條件

(1)起始狀態(tài)約束

x0=[V0θ0σ0φ0λ0r0m0]

(2)過(guò)程約束

(5)

式中Kh為熱流密度系數(shù). 考慮到飛行器控制能力有限，控制量大小與變化率都受到一定的限制

(6)

(3)終端狀態(tài)約束

由于在上升段結(jié)束后飛行器進(jìn)入與目標(biāo)軌道共面的橢圓軌道的近地點(diǎn)，因此其終端狀態(tài)需滿足如下等式約束條件:

(7)

式中，Ω為目標(biāo)軌道的升交點(diǎn)赤經(jīng)，i為軌道傾角，ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度，td為飛行器的等待時(shí)間，tf為上升段飛行時(shí)間，下標(biāo)f代表各狀態(tài)量的終端值. 式(7)中第一個(gè)等式用于求解終端的速度方位角，第二個(gè)等式用于求解最優(yōu)起飛時(shí)間.

由此可知，飛行器在飛行過(guò)程中受到的過(guò)程約束和終端約束較為復(fù)雜，設(shè)計(jì)出滿足復(fù)雜多約束條件的最優(yōu)軌跡具有很大的難度.

2 軌跡分段策略

由于空天飛機(jī)一般采用組合動(dòng)力系統(tǒng)，而組合動(dòng)力系統(tǒng)的可用推力與飛行狀態(tài)高度耦合，在不同的飛行階段，飛行環(huán)境、最大可用推力與推進(jìn)劑比沖的變化十分劇烈，給軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)帶來(lái)了極大的困難. 因此，通過(guò)將上升段軌跡合理分段后進(jìn)行優(yōu)化，在狀態(tài)參數(shù)變化較為劇烈的階段采用較多的計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù)，在狀態(tài)參數(shù)變化較為光滑的階段可適當(dāng)減少計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)在不降低計(jì)算精度的前提下快速生成滿足多約束條件的最優(yōu)軌跡.

傳統(tǒng)的軌跡分段方法主要有依據(jù)飛行時(shí)間、航路點(diǎn)、飛行狀態(tài)等[13]，對(duì)于空天飛機(jī)而言，在發(fā)動(dòng)機(jī)工作模態(tài)切換時(shí)對(duì)飛行器的飛行狀態(tài)有著十分嚴(yán)苛的約束，因此可將發(fā)動(dòng)機(jī)工作模態(tài)的切換點(diǎn)作為分段點(diǎn)(如圖3所示)，從而較為方便地考慮發(fā)動(dòng)機(jī)工作模態(tài)切換時(shí)飛行狀態(tài)所受的約束. 研究中將上升段軌跡分為3段：渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)、超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)和火箭發(fā)動(dòng)機(jī)工作階段. 在渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)和超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)飛行器的飛行高度較低，氣動(dòng)特性和推力特性變化十分劇烈，因此需要相應(yīng)地增加計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù)；在火箭發(fā)動(dòng)機(jī)工作階段，雖然可獲得的推力較大，但此時(shí)飛行器的飛行高度較高，氣動(dòng)特性的變化對(duì)飛行狀態(tài)的影響較小，推力特性與飛行狀態(tài)無(wú)關(guān)，因此可適當(dāng)減少計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù). 增加每段起始與終端位置處分布的節(jié)點(diǎn)，從而保證分段點(diǎn)的飛行狀態(tài)滿足約束條件，使飛行器順利地實(shí)現(xiàn)發(fā)動(dòng)機(jī)工作模態(tài)的轉(zhuǎn)換. 研究中首先根據(jù)上升段動(dòng)力學(xué)特性設(shè)計(jì)出控制量剖面，之后進(jìn)行數(shù)值積分得到各段彈道優(yōu)化時(shí)的初值，軌跡優(yōu)化流程如圖4所示.

圖3 軌跡分段方法Fig.3 Segmentation method

圖4 軌跡優(yōu)化流程框圖Fig.4 Block diagram of the optimization procedure

3 軌跡優(yōu)化原理

高斯偽譜法是直接法的一種，同時(shí)離散控制量與狀態(tài)量并在離散節(jié)點(diǎn)上采用拉格朗日插值多項(xiàng)式來(lái)近似控制變量與狀態(tài)變量，從而將連續(xù)空間的最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問(wèn)題，之后利用非線性規(guī)劃方法進(jìn)行求解.

設(shè)上升段第i(i=1,2,3)段的飛行時(shí)間區(qū)間為[t0,tf]，為優(yōu)化問(wèn)題的方便一般需將時(shí)間區(qū)間轉(zhuǎn)化到區(qū)間內(nèi)，對(duì)時(shí)間變量作如下變換：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

至此可將動(dòng)力學(xué)微分方程約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程約束

(13)

性能指標(biāo)、終端約束與過(guò)程約束經(jīng)過(guò)高斯偽譜法離散后，就可以將多約束條件下的最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散形式的非線性規(guī)劃問(wèn)題，之后采用序列二次規(guī)劃算法(SQP)進(jìn)行求解. 由于上升軌跡共分為3段，因此上述離散過(guò)程執(zhí)行3次.

4 仿真分析

以某單級(jí)入軌空天飛機(jī)為研究對(duì)象[14]，設(shè)計(jì)該飛行器的燃料最優(yōu)上升軌跡. 飛行器起飛時(shí)總質(zhì)量為136 605 kg，在跑道上以160 m/s的速度水平起飛，組合發(fā)動(dòng)機(jī)的推力表達(dá)式如式(14)～(16)所示，工作范圍如表1所示.

(1)渦輪噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)推力的表達(dá)式為：

T=4.448τ(2.99×105-10h+1.331 0-4h2-6.481 0-10h3+3 750M3)

(14)

(2)超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)推力的表達(dá)式為：

T=4.448τ(1 033M2-13 530M+152 400)

(15)

(3)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推力的表達(dá)式為：

T=4.448(-16 400+669 295τ)

(16)

其中τ為推力閥門(mén)，h為飛行高度，M為馬赫數(shù).

表1 發(fā)動(dòng)機(jī)的工作范圍Tab.1 Engine types and constraints

仿真中考慮的約束條件主要有：

(1)起始條件：

x0=[160 m/s,0,0,0,0,637 813 7 m,136 605 kg]

(2)過(guò)程約束：

(3)終端約束：

θf(wàn)=0,hf=90 km，vf=7 883 m/s，終端速度方位角σf與經(jīng)度λf滿足式(7).

表2和表3給出了高斯偽譜法與數(shù)值積分結(jié)果的精度對(duì)比情況，由此可以看出飛行器的終端狀態(tài)量具有很高的計(jì)算精度，相對(duì)誤差一般小于 2.38%.上升段飛行時(shí)間為765.80 s，圖5～8給出了高斯偽譜法的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值積分結(jié)果的對(duì)比情況.

表2 偽譜法與數(shù)值積分的結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of the results obtained from GPM and numerical integration

表3 軌道要素結(jié)果對(duì)比Tab.3 Comparison of the orbital elements

設(shè)置模式搜索算法的相對(duì)步長(zhǎng)和步長(zhǎng)縮減因子為0.5，粒子群算法的粒子個(gè)數(shù)為130，全局增量為0.8，最大速度為0.06，表4給出了在內(nèi)存為4 GB、主頻為2.8 GHz的普通微機(jī)上，基于Matlab?2015a平臺(tái)利用高斯偽譜法、模式搜索和粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算的計(jì)算耗時(shí)與終端狀態(tài)量的計(jì)算精度對(duì)比結(jié)果. 從對(duì)比結(jié)果可以看出，利用高斯偽譜法進(jìn)行軌跡優(yōu)化計(jì)算的耗時(shí)在4 min左右，遠(yuǎn)少于其余兩種優(yōu)化方法. 雖然模式搜索算法的計(jì)算精度與高斯偽譜法相近，但前者的計(jì)算耗時(shí)十分明顯，性能指標(biāo)也較差. 粒子群算法得到的終端狀態(tài)量的計(jì)算精度較低，計(jì)算耗時(shí)通常在2 h左右. 由此可知高斯偽譜法具有計(jì)算精度高和收斂速度快的特點(diǎn)，能夠滿足快速設(shè)計(jì)空天飛機(jī)上升段最優(yōu)軌跡的要求.

圖5 速度隨時(shí)間變化曲線Fig.5 Time history of the velocity

圖6 高度隨時(shí)間變化曲線Fig.6 Time history of the altitude

圖7 速度傾角和方位角隨時(shí)間變化曲線Fig.7 Time history of the flight path angle and heading angle

圖8 質(zhì)量隨時(shí)間變化曲線Fig.8 Time history of the mass

表4 偽譜法與其它優(yōu)化算法的計(jì)算精度對(duì)比
Tab.4 Comparison of the results obtained from GPM and other optimization methods

終端狀態(tài)量標(biāo)準(zhǔn)值偽譜法(積分值)模式搜索算法粒子群算法速度/(m/s)7883.007882.007883.047769.56高度/km90.0090.4090.0189.45速度傾角/(°)0.000.200.310.14質(zhì)量/kg無(wú)30748.0130386.2030750.21計(jì)算耗時(shí)/s無(wú)245.003789.007354.00

由于高斯節(jié)點(diǎn)具有在端點(diǎn)位置分布密集、中間位置分布稀疏的特點(diǎn)，因此對(duì)于具有震蕩特點(diǎn)的狀態(tài)量會(huì)存在計(jì)算精度相對(duì)較低的情況. 仿真中發(fā)現(xiàn)速度傾角會(huì)出現(xiàn)一定的振蕩現(xiàn)象，因此高斯偽譜法與數(shù)值積分的結(jié)果會(huì)存在較小的差異. 飛行過(guò)程中的傾側(cè)角較小(如圖9所示)，這與飛行器的升阻比、氣動(dòng)升力較大有關(guān)，飛行器能夠通過(guò)較小的傾側(cè)角即可完成較大幅度的轉(zhuǎn)彎飛行. 在飛行器進(jìn)行跨音速飛行時(shí)阻力系數(shù)大幅度增加，為了突破音障飛行器需要減小攻角，因此在前200 s內(nèi)攻角出現(xiàn)較大幅度的下降現(xiàn)象(如圖9所示).在吸氣式發(fā)動(dòng)機(jī)工作階段，飛行器能夠有效地利用燃料以提高飛行速度與高度，因此推力閥門(mén)始終保持在最大值(如圖10所示).

在飛行速度接近Ma=5時(shí)飛行器切換至火箭發(fā)動(dòng)機(jī)工作模態(tài)而不是一直工作至超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)所允許的最大飛行速度后才切換至火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，因?yàn)楫?dāng)飛行器的飛行速度超過(guò)這一速度時(shí)，超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率反而會(huì)降低，這與文獻(xiàn)[15]得到的結(jié)論一致. 隨著飛行高度與速度的增加，超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)所能提供的推力與氣動(dòng)升力不斷降低，因此在該階段攻角始終為最大值. 飛行器飛行高度較低時(shí)動(dòng)壓快速增加并達(dá)到峰值，當(dāng)飛行速度較大時(shí)最大熱流密度達(dá)到峰值(如圖11所示). 飛行過(guò)程中的過(guò)載、動(dòng)壓與最大熱流密度均未超過(guò)最大限制，控制量攻角、傾側(cè)角和推力閥門(mén)大小的變化較為平滑，對(duì)控制系統(tǒng)較為有利.

圖9 傾側(cè)角和攻角隨時(shí)間變化曲線Fig.9 Time history of the bank angle and the angle of attack

圖10 推力閥門(mén)隨時(shí)間變化曲線Fig.10 Time history of the thrust throttle

圖11 動(dòng)壓和最大熱流密度隨時(shí)間變化Fig.11 Time history of the dynamic pressure and heat rate

對(duì)于天地往返運(yùn)輸器而言，發(fā)射窗口的設(shè)計(jì)是一個(gè)很重要的研究?jī)?nèi)容. 傳統(tǒng)運(yùn)載器的發(fā)射窗口比較狹窄，因此必須進(jìn)行精確的設(shè)計(jì)，而以組合動(dòng)力發(fā)動(dòng)機(jī)為推進(jìn)系統(tǒng)的空天飛機(jī)可以在大氣層內(nèi)長(zhǎng)時(shí)間飛行，跨越較大的地理空間后進(jìn)入目標(biāo)軌道，因此發(fā)射窗口一般較寬.從圖12可以看出，當(dāng)發(fā)射時(shí)間較最優(yōu)發(fā)射時(shí)間提前近2 000 s時(shí)，完成軌道交會(huì)后飛行器的剩余質(zhì)量?jī)H減少了360 kg，因此組合動(dòng)力飛行器的發(fā)射時(shí)間將更加靈活.

圖12 交會(huì)后剩余質(zhì)量隨發(fā)射時(shí)間提前量的變化Fig.12 Mass after rendezvous with respect to take-off timing

5 結(jié) 論

本文以某水平起降式空天飛機(jī)為研究對(duì)象，利用高斯偽譜法設(shè)計(jì)了飛行器在復(fù)雜多約束條件下的燃料最優(yōu)軌跡并對(duì)發(fā)射窗口進(jìn)行了討論. 為了解決高斯偽譜法在計(jì)算節(jié)點(diǎn)選擇上的困難，提出依據(jù)發(fā)動(dòng)機(jī)的工作模態(tài)對(duì)飛行軌跡分段后進(jìn)行并行優(yōu)化的策略，并得到如下結(jié)論：1)吸氣式發(fā)動(dòng)機(jī)的燃油效率高，能有效地提高飛行高度與速度，因此在該階段飛行時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)推力始終保持在最大值；2)在飛行速度較低時(shí)動(dòng)壓較大，在飛行速度較高時(shí)最大熱流密度約束占主導(dǎo)地位；3)組合動(dòng)力飛行器的發(fā)射窗口較寬，具有較好的任務(wù)適應(yīng)性.

由于在研究中僅考慮了以燃料最優(yōu)作為性能指標(biāo)的上升段軌跡設(shè)計(jì)問(wèn)題，而在實(shí)際應(yīng)用中通常還需兼顧其它多種因素，比如上升段飛行時(shí)間、軌跡跳躍幅度等，因此未來(lái)需開(kāi)展針對(duì)空天飛機(jī)上升段多性能指標(biāo)的軌跡優(yōu)化方法研究.

[1] MARK H, ROGER L. SKYLON user’s manual[M]. Reaction Engines Limited, 2014-01.

[2] 康開(kāi)華. 英國(guó)“云霄塔”空天飛機(jī)的最新進(jìn)展[J]. 國(guó)際太空, 2014(7): 42-50. KANG K H. The latest research progress of SKYLON in British[J]. International Aerospace, 2014(7): 42-50.

[3] FUJII K, ISHIMOTO S, MUGITANI T, et al. Present status and prospects of JAXA’s research on future space transportation system[C]//The 18thAIAA/3AF International Space Planes and Hypersonic Systems and Technologies Conference. Washington D.C.:AIAA, 2012.

[4] 彭小波. 組合循環(huán)動(dòng)力技術(shù)在天地往返領(lǐng)域的發(fā)展與應(yīng)用[J]. 導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù), 2013(1):78-82. PENG X B. Development of combined cycle propulsion technology in reusable launch vehicle [J]. Missile and Space Vehicles, 2013(1):78-82.

[5] 黃偉. 臨近空間高超聲速飛行器內(nèi)外流一體化設(shè)計(jì)及飛行性能研究[D]. 長(zhǎng)沙：國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2010. HUANG W. Combined analysis on internal/external flows of hypersonic vehicles in the near-space and CFD predictions of its flying performance[D]. Changsha:National University of Defense Technology, 2010.

[6] 黃國(guó)強(qiáng), 陸宇平, 南英. 飛行器軌跡優(yōu)化數(shù)值算法綜述[J]. 中國(guó)科學(xué), 2012(9): 006. HUANG G Q, LU Y P, NAN Y. A survey of numerical algorithms for trajectory optimization of flight vehicles [J]. Science China, 2012(9): 006.

[7] NGUYEN H N. Optimal ascent trajectories of the horizontal takeoff single-stage and two-stage-to-orbit launchers[C]//AIAA Guidance, Navigation and Control Conference. Washington D.C.:AIAA, 1991.

[8] CHUDEJ K, BULIRSCH R. Numerical solution of a simultaneous staging and trajectory optimization problem of a hypersonic space vehicle[C]//AIAA and DGLR, International Aerospace Planes and Hypersonic Technologies Conference. Washington D.C.:AIAA, 1993.

[9] 張侃. 基于多任務(wù)多目標(biāo)的空天飛行器軌跡設(shè)計(jì)及優(yōu)化研究[D]. 南京：南京航空航天大學(xué)，2010. ZHANG K. Research on spacecraft trajectory design and optimization based on multi-task and multi-target [D]. Nanjing: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2010.

[10] 張鼎逆，劉毅. 基于混合粒子群法的RLV 上升段軌跡優(yōu)化[J]. 江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013,34(1)：54-59. ZHANG D N, LIU Y. Optimization of RLV rising trajectory based on hybrid particle swarm optimization[J]. Jiangsu University: Natural Science Edition, 2013, 34 (1): 54-59.

[11] 黃國(guó)強(qiáng)，南英，陸宇平. 二級(jí)入軌空天飛行器上升軌跡優(yōu)化[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2010,31(3):641-647. HUANG G Q, NAN Y, LU Y P. Optimization of ascending trajectory of a two-stage-to-orbit space planes [J]. Journal of Astronautics space,2010,31(3): 641-647.

[12] FUJIKAWA T, TSUCHIYA T, TOMIOKA S. Multi-objective, multidisciplinary design optimization of TSTO space planes with RBCC Engines[C]//The 56thAIAA/ASCE/AHS/ASC Sctructures, Structural Dynamics, and Meterials Conference. Washington D.C.: AIAA, 2015.

[13] 謝愈, 劉魯華, 湯國(guó)建, 等. 多約束條件下高超聲速滑翔飛行器軌跡優(yōu)化[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2011, 32(12): 2499-2504. XIE Y, LIU L H, TANG G J, et al. Optimization of hypersonic glide spacecraft under multiple constraints[J]. Journal of Astronautics, 2011, 32 (12): 2499-2504.

[14] SHAUGHNESSY J D, PINCKNEY S Z, MCMINN J D, et al. Hypersonic vehicle simulation model: winged-cone configuration[R]. NASA 19910003392, 1990.

[15] TSUCHIYA T, MORI T. Optimal design of Two-Stage-to-Orbit space planes with airbreathing engines[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2005, 42(1):90-97.

Optimal Ascent Trajectory Design for Single-Stage-to-Orbit Space PlanesBased on Gauss Pseudospectral Method

ZHANG Peijun, LIU Luhua, WANG Jianhua

(CollegeofAerospaceandScienceEngineering,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073，China)

To design the fuel optimal ascent trajectory of space planes under complex and multi-constrained conditions, a strategy is proposed to segment the ascent trajectory according to the thrust characteristics of the engines. When the original optimal control problem is transformed into a multi-stage optimal control problem, the Gauss pseudospectral method is used for parallel optimization. Numerical result shows that this strategy can easily satisfy the constraints of state variables when the engine switches and generates the fuel optimal trajectory within short computing time. It is verified that the optimization strategy proposed is efficient.

space planes； fuel optimal； multiple-stage optimization； Gauss pseudospectral method

資助項(xiàng)目(11502289). 收稿日期：2016-11-28

V412

A

1674-1579(2017)02-0011-08

10.3969/j.issn.1674-1579.2017.02.003

張佩俊(1990—)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)轱w行器軌跡優(yōu)化、制導(dǎo)與控制;劉魯華(1977—)，男，副教授，研究方向?yàn)轱w行器動(dòng)力學(xué)、制導(dǎo)與控制;王建華(1988—)，男，博士研究生，研究方向?yàn)橹茖?dǎo)與控制及一體化設(shè)計(jì).