一類高階差分方程的無窮多非振蕩解

劉 洋， 潘 斌

(遼寧石油化工大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 撫順 113001)

一類高階差分方程的無窮多非振蕩解

劉 洋， 潘 斌

(遼寧石油化工大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 撫順 113001)

研究了一類高階非線性中立時(shí)滯差分方程，通過使用巴拿赫壓縮映射原理，得到了該方程存在無窮多個(gè)有界非振蕩解的充分條件，所得的結(jié)論改進(jìn)了已有文獻(xiàn)的結(jié)果。

無窮多有界非振蕩解； 高階中立型時(shí)滯差分方程； 壓縮映射

隨著計(jì)算數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)工程、自動(dòng)控制技術(shù)等學(xué)科的迅速發(fā)展，差分方程理論在現(xiàn)代物理學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域得到了越來越廣泛的應(yīng)用。學(xué)者們對(duì)于差分方程解的存在性的研究也越來越多[1-6]。針對(duì)各類差分方程，學(xué)者們也做了相應(yīng)的研究，如:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

本文考慮如下的高階非線性中立型時(shí)滯差分方程:

(11)

1 無窮多個(gè)有界非振蕩解的存在性

差分方程(11)的無窮多個(gè)有界非振蕩解存在的充分條件。

定理1 假設(shè)存在常數(shù)M、N，且滿足N>M>0，數(shù)列ain}n≥n0(1

(12)

(13)

(14)

則方程(11)在A(M,N)上有無窮多個(gè)有界非振蕩解。

(15)

(16)

(17)

(18)

對(duì)?x∈A(M,N)成立。

對(duì)?x∈A(M,N)和n≥n0，由式(13)和式(16)，得：

現(xiàn)在只需證明TL是A(M,N)上的一個(gè)壓縮映射。由式(12)和式(17)可知，對(duì)?x,y∈A(M,N)，?n≥n0，得：

即證TL是A(M,N)上的一個(gè)壓縮映射。由巴拿赫壓縮映射原理可知，TL必有唯一的不動(dòng)點(diǎn)x∈A(M,N)，并且該不動(dòng)點(diǎn)就是方程(11)的一個(gè)有界非振蕩解。對(duì)?n≥N0+d得：

即：

……

因此，x為差分方程(11)的一個(gè)有界非振蕩解。

即證x≠y。定理證畢。

2 結(jié) 論

例1 考慮如下的四階非線性中立型時(shí)滯差分方程：

(19)

取M=1,N=2，容易驗(yàn)證方程(19)滿足定理1所需的條件。因此，由定理1可得，方程(19)在A(1,2)上存在一個(gè)非振蕩解。

文獻(xiàn)[3-5]和文獻(xiàn)[7-16]中的結(jié)果都不能用于方程(19)，因此本文所做的研究改進(jìn)了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的相關(guān)的結(jié)論，是有意義的。

[1] Agarwal R P. Difference equations and inequalities[M]. 2nd ed.，New York：Marcel Dekker，2000：1089-1097．

[2] Agarwal R P, Grace S R, O’Regan D. Oscillation theory for difference and functional differential equations[J]. Springer Science & Business Media, 2000, 73(3):657-662.

[3]AgarwalRP,ThandapaniE,WongPJ.Oscillationsofhigher-orderneutraldifferenceequations[J].AppliedMathem-aticsLetters, 1997, 10(1):71-78.

[4]AgarwalRP,GraceSR.Oscillationofhigher-ordernonlineardifferenceequationsofneutraltype[J].AppliedMathem-aticsLetters, 1999, 12(8):77-83.

[5]ChengJ.Existenceofanonoscillatorysolutionofasecond-orderlinearneutraldifferenceequation[J].AppliedMathem-aticsLetters, 2007, 20(8):892-899.

[7]ZhangZ,LiQ.Oscillationtheoremsforsecond-orderadvancedfunctionaldifferenceequations[J].Computers&MathematicswithApplications, 1998, 36(6):11-18.

[8]ThandapaniE,ManuelMMS,GraefJR,etal.Monotonepropertiesofcertainclassesofsolutionsofsecond-orderdifferenceequations[J].Computers&MathematicswithApplications, 1998, 36(10):291-297.

[9]MigdaM,MigdaJ.Asymptoticpropertiesofsolutionsofsecond-orderneutraldifferenceequations[J].NonlinearAnalysis:Theory,Methods&Applications, 2005, 63(5):789-799.

[10]MengQ,YanJ.Boundedoscillationforsecond-ordernonlineardelaydifferentialequationinacriticalstate[J].JournalofComputational&AppliedMathematics, 2006, 197(1):204-211.

[11]LiuZ,XuY,KangSM.Globalsolvabilityforasecondordernonlinearneutraldelaydifferenceequation[J].Computers&MathematicswithApplications, 2009, 57(4):587-595.

[12]ZhouY.Existenceofnonoscillatorysolutionsofhigher-orderneutraldifferenceequationswithgeneralcoefficients[J].AppliedMathematicsLetters, 2002, 15(7):785-791.

[13]YangFJ,LiuJC.Positivesolutionofevenordernonlinearneutraldifferenceequationswithvariabledelay[J].JournalofSystemsScience&MathematicalSciences, 2002, 22(1):85-89.

[14]GrzegorczykG,WerbowskiJ.Oscillationofhigher-orderlineardifferenceequations[J].Computers&MathematicswithApplications, 2001, 42(3):711-717.

[15]ZhouY，HuangYQ.Existencefornonoscillatorysolutionsofhigher-ordernonlinearneutraldifferenceequations[J].CzechoslovakMathematicalJournal，2005，280(1)：63-76．

[16]ZhouY,ZhangBG.Existenceofnonoscillatorysolutionsofhigher-orderneutraldelaydifferenceequationswithvariablecoefficients[J].Computers&MathematicswithApplications, 2003, 45(6):991-1000.

(編輯 陳 雷)

Infinitely Many Bounded Nonoscillatory Solutions of a Higher-Order Equation

Liu Yang， Pan Bin

(CollegeofSciences，LiaoningShihuaUniversity，F(xiàn)ushunLiaoning113001，China)

This paper considers the solvability of a higher-order nonlinear neutral delay difference equation. By using the Banach contraction principle a sufficient condition of the existence of Infinitely many bounded nonoscillatory solutions of the equation is given，which fills a gap in the literature.

Infinitely many bounded nonoscillatory solutions； Higher-order neutral delay difference equation； Contraction mapping

1672-6952(2017)02-0066-05

2016-12-01

2016-12-21

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61602228)。

劉洋(1987-)，女，碩士，助教，從事泛函分析方向研究；E-mail：liuyang466126@163.com。

O

Adoi:10.3969/j.issn.1672-6952.2017.02.014

投稿網(wǎng)址：http://journal.lnpu.edu.cn