LED圓形陣列照度峰值的冪函數(shù)擬合研究

劉 沁,劉啟能

(1.重慶工商大學(xué) 設(shè)計(jì)藝術(shù)學(xué)院，重慶 400067；2.重慶工商大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，重慶 400067)

LED圓形陣列照度峰值的冪函數(shù)擬合研究

劉 沁1,劉啟能2

(1.重慶工商大學(xué) 設(shè)計(jì)藝術(shù)學(xué)院，重慶 400067；2.重慶工商大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，重慶 400067)

利用LED照度公式推導(dǎo)出LED圓形陣列光斑的照度峰值公式，建立了研究LED圓形陣列光斑照度特性的數(shù)值計(jì)算方法。在此基礎(chǔ)上利用擬合方法得出了LED圓形陣列光斑的照度峰值隨目標(biāo)距離、芯片光強(qiáng)以及陣列半徑變化的冪函數(shù)公式, 這些冪函數(shù)擬合公式能夠很好地與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合。利用這些公式能夠十分方便地對(duì)LED圓形陣列光斑的照度峰值特性進(jìn)行解析研究，為了研究LED圓形陣列光斑的照度峰值特性建立了一種新方法，彌補(bǔ)了數(shù)值計(jì)算方法和仿真軟件不能對(duì)LED圓形陣列光斑的照度峰值特性進(jìn)行解析研究的缺陷。

發(fā)光二極管；圓形陣列；照度峰值；擬合方法；冪函數(shù)

引言

LED作為一種新型光源，由于其壽命長(zhǎng)、發(fā)光效率高已被廣泛地應(yīng)用于各種照明環(huán)境，包括大屏幕顯示、背光源、汽車和特種照明燈等等。因此在理論上對(duì)LED照明特性的研究也越來(lái)越受到業(yè)內(nèi)人士的關(guān)注[1-5]。文獻(xiàn)[6][7]研究了通過(guò)自由曲面來(lái)重新配光實(shí)現(xiàn)LED光源的均勻照明。文獻(xiàn)[8]研究了利用自由曲面透鏡來(lái)實(shí)現(xiàn)LED光源的大視場(chǎng)角準(zhǔn)直照明。但由于受生產(chǎn)工藝和生產(chǎn)技術(shù)的限制，單個(gè)LED芯片的功率較小，產(chǎn)生的照度不強(qiáng)，因此限制了單個(gè)LED芯片在多數(shù)照明領(lǐng)域的應(yīng)用。為了解決單個(gè)LED芯片照度不足的問題，可將多個(gè)LED芯片組成LED 陣列用于滿足不同照明需要[9-11]的情況。 在LED 陣列中最為典型的是LED圓形陣列和LED方形陣列，文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]分別利用粒子群算法和全局優(yōu)化算法研究了LED圓形陣列和LED方形陣列照度的均勻性問題，得出了LED圓形陣列和LED方形陣列照度的均勻度與陣列結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系。

關(guān)于LED陣列照度特性的研究是一個(gè)重要的問題，但目前研究LED陣列照度特性的主要方法是通過(guò)數(shù)值計(jì)算法或仿真軟件的計(jì)算來(lái)得到LED陣列的照度變化特征。而數(shù)值計(jì)算法和仿真軟件只能通過(guò)有限的數(shù)據(jù)點(diǎn)或圖形來(lái)反映LED陣列的照度隨自變量的變化特征，它們不能直接反映出LED陣列的照度隨自變量的函數(shù)變化規(guī)律。因此數(shù)值計(jì)算法或仿真軟件不便對(duì)LED陣列照度隨自變量的變化規(guī)律進(jìn)行深入的解析分析和研究。由此可見，在理論上建立LED陣列的照度隨自變量的函數(shù)關(guān)系對(duì)研究LED陣列的照度規(guī)律是十分重要的。為了在理論上解決這一問題，本文將利用單個(gè)LED芯片的照度公式推導(dǎo)出LED圓形陣列的照度公式，建立研究LED圓形陣列的照度數(shù)值計(jì)算方法。在此基礎(chǔ)上利用擬合方法得出LED圓形陣列的照度峰值隨目標(biāo)距離、芯片光強(qiáng)以及陣列半徑變化的冪函數(shù)公式。這一問題的解決為研究LED圓形陣列光斑的照度特性建立了一種新方法，彌補(bǔ)了數(shù)值計(jì)算方法和仿真軟件不能對(duì)LED圓形陣列光斑的照度特性進(jìn)行解析研究的缺陷。

1 模型與理論

單個(gè)LED芯片發(fā)出的光強(qiáng)I與視角θ滿足下列關(guān)系[14]：

其中I0為視角為0方向的光強(qiáng)，m值由半角θ1/2決定(半角θ1/2是指光強(qiáng)降為中心光強(qiáng)一半時(shí)所對(duì)應(yīng)的視角)。m值與半角θ1/2的關(guān)系為

設(shè)單個(gè)LED芯片在點(diǎn)(X，Y,0)處，目標(biāo)平面上的照明點(diǎn)P在(x,y,h)處，如圖1所示。則單個(gè)LED芯片在P點(diǎn)處產(chǎn)生的照度E與光強(qiáng)I滿足余弦定律[15]：

圖1 單個(gè)LED芯片的照度Fig.1 A single chip of illuminance

(3)

式(3)中的l為芯片到P點(diǎn)距離。由式(1)和式(3)可得單個(gè)LED芯片在P點(diǎn)處產(chǎn)生的照度為

如果在平面z=0上有N個(gè)LED芯片，則在P點(diǎn)處產(chǎn)生的照度為

式(5)中Xn、Yn為第n個(gè)LED芯片的坐標(biāo)。

設(shè)計(jì)這樣一種LED圓形陣列，它由M個(gè)等距圓周構(gòu)成，每個(gè)圓周上均勻分布12個(gè)LED芯片，相鄰兩個(gè)圓周的間距為d，最小一個(gè)圓周距圓心的距離為d，圓形陣列的半徑r=Md。該LED圓形陣列的LED芯片數(shù)N=12×M。圓形陣列在z=0平面內(nèi)，其圓心的坐標(biāo)在(0,0,0)處，x軸和y軸分別與一組徑向芯片重合。目標(biāo)平面為z=h,如圖2所示。由于該LED圓形陣列以Z軸為對(duì)稱軸，所以該LED圓形陣列在目標(biāo)平面產(chǎn)生的照度分布也是以Z軸為對(duì)稱軸。由式(5)可得該LED圓形陣列在目標(biāo)平面上P點(diǎn)(x,y,h)產(chǎn)生的照度為

圖2 LED圓形陣列的照度Fig.2 LED circular array of illumination

利用式(6)可以研究LED圓形陣列在目標(biāo)平面上光斑的照度規(guī)律。由對(duì)稱性可知光斑的照度峰值出現(xiàn)在目標(biāo)平面上的(0,0,h)處，由式(6)可得光斑的照度峰值E0滿足

由式(7)可知LED圓形陣列光斑的照度峰值由目標(biāo)距離、芯片光強(qiáng)以及陣列半徑?jīng)Q定。由式(7)通過(guò)數(shù)值計(jì)算可以得出LED圓形陣列光斑的照度峰值隨目標(biāo)距離、芯片光強(qiáng)以及陣列半徑的變化特征。

而式(7)是數(shù)值計(jì)算公式，它只能通過(guò)數(shù)值計(jì)算得出的一系列數(shù)據(jù)來(lái)反映LED圓形陣列光斑的照度峰值隨目標(biāo)距離、芯片光強(qiáng)以及陣列半徑的變化特征，而不能得出照度光斑峰值隨目標(biāo)距離、芯片光強(qiáng)以及陣列半徑的函數(shù)變化規(guī)律。因此式(7)給出的數(shù)值計(jì)算方法無(wú)法對(duì)LED圓形陣列光斑的照度峰值進(jìn)行解析分析和研究。為了彌補(bǔ)數(shù)值計(jì)算方法的不足，有必要利用函數(shù)擬合方法來(lái)找出LED圓形陣列光斑的照度峰值隨目標(biāo)距離、芯片光強(qiáng)以及陣列半徑的函數(shù)變化規(guī)律。

通過(guò)對(duì)LED圓形陣列光斑的照度峰值的變化特征進(jìn)行冪函數(shù)擬合、指數(shù)函數(shù)擬合、三角函數(shù)擬合的試探后發(fā)現(xiàn)：冪函數(shù)擬合不僅函數(shù)關(guān)系簡(jiǎn)單，而且能夠很好地與數(shù)值計(jì)算法得到的結(jié)果吻合。下面就介紹LED圓形陣列光斑的照度峰值的冪函數(shù)擬合方法。通過(guò)大量的試探和比較研究發(fā)現(xiàn)，LED圓形陣列光斑的照度峰值的變化規(guī)律可以用冪函數(shù)表示：

其中x為自變量(它可以為目標(biāo)距離h、芯片光強(qiáng)或陣列半徑r中的任何一個(gè)，x選不同的量。式(8)就反映照度光斑峰值隨該量的變化規(guī)律)。β為擬合變量，通過(guò)調(diào)整β的大小使式(8)給出的函數(shù)曲線與數(shù)值計(jì)算法得到的數(shù)據(jù)吻合來(lái)確定β的值，具體方法是利用最小二乘法得到最優(yōu)擬合變量β。b和c為待定系數(shù)，由數(shù)值計(jì)算法得到的初點(diǎn)x1、E01和末點(diǎn)xl、E0l的數(shù)據(jù)確定，其確定方法是將x1、E01和xl、E0l代入式(8)，解出b和c為：

將式(8)和式(9)稱為L(zhǎng)ED圓形陣列光斑的照度峰值的冪函數(shù)擬合法。該方法能夠得到光斑的照度峰值的函數(shù)變化規(guī)律，它彌補(bǔ)了數(shù)值計(jì)算方法和仿真軟件的不足。

由式(8)還可以得到照度峰值與自變量的反函數(shù)關(guān)系：

式(10)在LED圓形陣列的照明設(shè)計(jì)中有重要的應(yīng)用，通過(guò)式(10)可以十分方便地計(jì)算出不同照度峰值下的目標(biāo)距離、芯片光強(qiáng)或陣列半徑的值，為L(zhǎng)ED圓形陣列的照明設(shè)計(jì)提供理論數(shù)據(jù)。

2 照度峰值的特性

下面利用數(shù)值計(jì)算法式(6)、式(7)和冪函數(shù)擬合法式(8)～式(10)來(lái)研究LED圓形陣列光斑的照度峰值隨目標(biāo)距離、芯片光強(qiáng)以及陣列半徑的變化規(guī)律。

2.1 照度峰值與目標(biāo)距離的關(guān)系

取陣列的芯片總數(shù)N=12×10、單個(gè)芯片的I0=5 cd、陣列半徑r=0.6 m,固定m=30。利用數(shù)值計(jì)算法式(6)可以計(jì)算出目標(biāo)距離為2 m、5 m、8 m時(shí)所對(duì)應(yīng)的光斑照度在目標(biāo)平面上x軸上的分布曲線，如圖3所示。由圖3可知：光斑的范圍隨目標(biāo)距離增加而逐漸增大，光斑的照度峰值隨目標(biāo)距離增加而迅速減小。由于光斑的照度峰值直接影響LED圓形陣列的照明效果，因此得到照度峰值隨目標(biāo)距離的函數(shù)變化規(guī)律是十分重要的。

為了得到照度峰值隨目標(biāo)距離的函數(shù)變化規(guī)，利用數(shù)值計(jì)算法式(7)計(jì)算出目標(biāo)距離為2 m、3 m、4 m、5 m、6 m、7 m、8 m、9 m時(shí)對(duì)應(yīng)光斑的照度峰值E0列在表1中。

表1 目標(biāo)距離h及對(duì)應(yīng)的光斑照度峰值E0Table 1 The value of h and E0

圖3 光斑照度隨x的響應(yīng)曲線Fig.3 Response curves of intensity of illumination versus x

將表1中目標(biāo)距離所對(duì)應(yīng)的光斑照度峰值E0的8組數(shù)據(jù)，畫在圖4中，為8個(gè)黑圓點(diǎn)。再將目標(biāo)距離h和照度峰值E0的初點(diǎn)(h1=2 m、E01=94.777 lx)和末點(diǎn)(hl=9 m、E0l=7.203 5 lx)代入式(9)，確定對(duì)應(yīng)的待定系數(shù)b和c：

將b和c代入(9)式得光斑的照度峰值E0隨目標(biāo)距離h的擬合冪函數(shù)關(guān)系：

E0=bhβ+c

該式中光斑的照度峰值E0不僅是目標(biāo)距離h的函數(shù)，而且E0還受擬合變量β的調(diào)制。利用最小二乘法得到最優(yōu)擬合變量β=-1.397。將β=-1.397代入上述兩式得光斑的照度峰值隨目標(biāo)距離的冪函數(shù)變化規(guī)律：

將式(11)光斑的照度峰值E0隨目標(biāo)距離h的函數(shù)關(guān)系繪在圖4中(實(shí)線)，它能很好地通過(guò)8個(gè)數(shù)值計(jì)算點(diǎn)。并且計(jì)算出該擬合冪函數(shù)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果的平均相對(duì)誤差為1.02 %。這表明擬合冪函數(shù)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合得很好。式(11)就是用冪函數(shù)擬合方法得到的LED圓形陣列光斑的照度峰值E0隨目標(biāo)距離h的函數(shù)變化規(guī)律，通過(guò)它能夠清晰地反映出光斑的照度峰值E0隨目標(biāo)距離h的函數(shù)變化關(guān)系，便于對(duì)光斑的照度峰值E0隨目標(biāo)距離h的變化規(guī)律進(jìn)行解析研究，這是數(shù)值計(jì)算方法和仿真軟件不能實(shí)現(xiàn)的。

圖4 照度峰值隨目標(biāo)距離的響應(yīng)曲線Fig.4 Response curves of the peak of intensity illumination versus target distance

另外由式(11)可以得到目標(biāo)距離隨照度峰值的函數(shù)變化規(guī)律：

(12)

在照明設(shè)計(jì)中由式(12)可以方便地計(jì)算出當(dāng)E0=30 lx時(shí)其對(duì)應(yīng)的目標(biāo)距離為4.23 m，當(dāng)E0=5lx時(shí)其對(duì)應(yīng)的目標(biāo)距離為10.4m，為L(zhǎng)ED圓形陣列的照明設(shè)計(jì)提供理論數(shù)據(jù)。這是仿真軟件難以得到的。

2.2 峰值與芯片光強(qiáng)的冪函數(shù)關(guān)系

仍取陣列的芯片總數(shù)N=12×10、m=30，固定目標(biāo)距離h=2 m、陣列半徑r=0.6。利用數(shù)值計(jì)算法式(6)可以計(jì)算出單個(gè)芯片的光強(qiáng)I0為2cd、3.5cd、5cd時(shí)其對(duì)應(yīng)的光斑照度在目標(biāo)平面上x軸上的分布曲線，如圖5所示。圖5可知：光斑的照度峰值隨單個(gè)芯片的光強(qiáng)增加而增大，光斑的范圍隨單個(gè)芯片的光強(qiáng)增加而無(wú)明顯變化。由于光斑的照度峰值直接影響LED圓形陣列的照明效果，因此得到照度峰值隨單個(gè)芯片光強(qiáng)的函數(shù)變化規(guī)律是十分重要的。

圖5 光斑照度隨x的響應(yīng)曲線Fig.5 Response curves of intensity of illumination versus x

為了得到照度峰值隨單個(gè)芯片光強(qiáng)的函數(shù)變化規(guī)，利用數(shù)值計(jì)算法式(7)計(jì)算出陣計(jì)算出單個(gè)芯片的光強(qiáng)I0為2cd、2.5cd、3cd、3.5cd、4cd、4.5cd、5cd、5.5cd時(shí)對(duì)應(yīng)的光斑的照度峰值E0列在表2中。

表2 芯片的光強(qiáng)I0和對(duì)應(yīng)的光斑點(diǎn)照度峰值E0Table 2 The value of I0 and E0

利用表2中照度峰值的數(shù)據(jù)和最小二乘法能夠得到照度峰值隨單個(gè)芯片光強(qiáng)的擬合冪函數(shù)變化規(guī)律。利用最小二乘法得到最優(yōu)擬合變量β=1.000。將β=1.000代入式(8)和式(9)得照度峰值隨單個(gè)芯片光強(qiáng)的冪函數(shù)變化規(guī)律：

將式(13)照度峰值隨芯片光強(qiáng)的函數(shù)關(guān)系繪在圖6中(實(shí)線)，它能很好地通過(guò)8個(gè)數(shù)值計(jì)算點(diǎn)。并且計(jì)算出該擬合冪函數(shù)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果的平均相對(duì)誤差為0.004%。這表明擬合冪函數(shù)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合得很好。

另外由式(13)可以得到芯片光強(qiáng)隨照度峰值的函數(shù)變化規(guī)律：

在照明設(shè)計(jì)中由式(14)可以方便地計(jì)算出要使目標(biāo)距離h=2 m處的照度峰值E0達(dá)到110lx，必須選擇芯片光強(qiáng)I0=5.8cd。要使目標(biāo)距離h=2 m處的照度峰值E0達(dá)到130lx，必須選擇芯片光強(qiáng)I0=6.9 cd，為L(zhǎng)ED圓形陣列的照明設(shè)計(jì)提供理論數(shù)據(jù)。這也是仿真軟件難以得到的。

圖6 照度峰值隨芯片光強(qiáng)的響應(yīng)曲線Fig.6 Response curves of the peak of intensity illumination versus chip light intensity

2.3 照度峰值與陣列半徑的關(guān)系

仍取陣列的芯片總數(shù)N=12×10、單個(gè)芯片的I0=5 cd，固定目標(biāo)距離h=3 m、m=30。利用數(shù)值計(jì)算法式(6)可以計(jì)算出陣列半徑r為0.2 m、0.8 m、1.4 m時(shí)其對(duì)應(yīng)的光斑照度在目標(biāo)平面上x軸上的分布曲線，如圖7所示。圖7可知：光斑的范圍隨陣列半徑增加而逐漸增大，光斑的照度峰值隨陣列半徑增加而逐漸減小。由于光斑的照度峰值直接影響LED圓形陣列的照明效果，因此得到照度峰值隨陣列半徑的函數(shù)變化規(guī)律是十分重要的。

圖7 光斑照度隨x的響應(yīng)曲線Fig.7 Response curves of intensity of illumination versus x

為了得到照度峰值隨陣列半徑的函數(shù)變化規(guī)，利用數(shù)值計(jì)算法式(7)計(jì)算出陣列半徑r為0.2 m、0.4 m、0.6 m、0.8 m、1.0 m、1.2 m、1.4 m、1.6 m時(shí)對(duì)應(yīng)的光斑的照度峰值E0列在表3中。

利用表3中照度峰值的數(shù)據(jù)和最小二乘法能夠得到照度峰值隨陣列半徑的擬合冪函數(shù)變化規(guī)律。利用最小二乘法得到最優(yōu)擬合變量β=0.799。將β=0.799代入式(8)和式(9)得照度峰值隨陣列半徑的冪函數(shù)變化規(guī)律：

將式(15)照度峰值隨陣列半徑的函數(shù)關(guān)系繪在圖8中(實(shí)線)，它能較好地通過(guò)8個(gè)數(shù)值計(jì)算點(diǎn)。并且計(jì)算出該擬合冪函數(shù)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果的平均相對(duì)誤差為1.4%。這表明擬合冪函數(shù)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合得較好。利用式(15)能夠十分方便地研究LED圓形陣列的照度峰值隨陣列半徑的變化規(guī)律。

表3 陣列半徑r與照度峰值E0Table 3 The value of r and E0

另外由式(15)可以得到陣列半徑隨照度峰值的函數(shù)變化規(guī)律：

在照明設(shè)計(jì)中由式(16)可以方便地計(jì)算出要使目標(biāo)距離h=3 m處的照度峰值E0得到20 lx，必須使陣列半徑=1.81 m。要使目標(biāo)距離h=3 m處的照度峰值E0為30 lx，必須使陣列半徑=1.39 m，為L(zhǎng)ED圓形陣列的照明設(shè)計(jì)提供理論數(shù)據(jù)。這也是仿真軟件難以得到的。

圖8 照度峰值隨陣列半徑的響應(yīng)曲線Fig.8 Response curves of the peak of intensity illumination versus array radius

3 結(jié)論

為了得到LED圓形陣列照度隨自變量的函數(shù)變化規(guī)律，利用單個(gè)LED芯片的照度公式推導(dǎo)出LED圓形陣列光斑的照度峰值公式，即建立了研究LED圓形陣列光斑照度峰值的數(shù)值計(jì)算方法。在此基礎(chǔ)上利用擬合方法得出了LED圓形陣列光斑的照度峰值隨目標(biāo)距離、芯片光強(qiáng)以及陣列半徑變化的冪函數(shù)公式。這些冪函數(shù)公式不僅函數(shù)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)單，而且能夠很好地與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合。利用這些冪函數(shù)公式能夠十分方便地對(duì)LED圓形陣列光斑的照度峰值特性進(jìn)行解析研究，加深了對(duì)LED圓形陣列光斑照度特性內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識(shí)。并且在LED圓形陣列的照明設(shè)計(jì)中可以利用這些冪函數(shù)公式方便地計(jì)算出不同照度峰值下對(duì)應(yīng)的目標(biāo)距離、芯片光強(qiáng)以及陣列半徑，為照明設(shè)計(jì)提供理論數(shù)據(jù)。這為了研究LED圓形陣列光斑的照度峰值特性建立了一種新方法，彌補(bǔ)了數(shù)值計(jì)算方法和仿真軟件不能對(duì)LED圓形陣列光斑的照度峰值特性進(jìn)行解析研究的缺陷。

本文建立的LED圓形陣列照度的冪函數(shù)方法與現(xiàn)行的數(shù)值計(jì)算方法和仿真軟件相比有一下優(yōu)點(diǎn)：①冪函數(shù)方法將LED圓形陣列照度峰值隨目標(biāo)距離、芯片光強(qiáng)以及陣列半徑的變化規(guī)律通過(guò)冪函數(shù)的形式直觀、清晰、簡(jiǎn)潔地表示出來(lái)，利用這些公式能夠十分方便地對(duì)LED圓形陣列的照度峰值規(guī)律進(jìn)行理論研究，這是現(xiàn)行的數(shù)值計(jì)算方法和仿真軟件不具備的。②通過(guò)冪函數(shù)方法還可以得到目標(biāo)距離、芯片光強(qiáng)以及陣列半徑隨照度峰值變化的函數(shù)關(guān)系，利用這些關(guān)系能夠十分方便地計(jì)算出不同照度峰值對(duì)應(yīng)的目標(biāo)距離、芯片光強(qiáng)以及陣列半徑，為L(zhǎng)ED圓形陣列的照明設(shè)計(jì)提供理論數(shù)據(jù)，這也是現(xiàn)行的數(shù)值計(jì)算方法和仿真軟件不具備的。

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Power Function Fitting Methods of the Illumination Peak of LED Circular Array

LIU Qin1， LIU Qineng2

(1.InstituteofDesignandArt,ChongqingTechnologyandBusinessUniversity,Chongqing400067,China;2.CollegeofComputerScienceandInformationEngineering,ChongqingTechnologyandBusinessUniversity,Chongqing400067,China)

Using LED illumination formula, the light spot illumination peak formula of LED circular array is deduced. Using fitting method, the power function formula of the illumination peak with target distance and chip light intensity and array radius are obtained, and these formulas can be quite good agreement with the numerical calculation results. Using these formulas can be easily analytical study on the illumination peak characteristics of LED circular array. To study the illumination peak characteristics of LED circular array set up a new method. It makes up for the defects that numerical method can’t analytical study the illumination peak characteristics of LED circular array.

LED; circular array；illumination peak；fitting method；power function

重慶市教委科技項(xiàng)目基金資助項(xiàng)目(KJ130713) 通信作者：劉沁，E-mail：liuqinecho@163.com

O435; O432.2

A

10.3969/j.issn.1004-440X.2017.02.021