認(rèn)識與回歸

摘要：我國在2001年開始的基礎(chǔ)教育課程改革中引入概率知識，并且將“統(tǒng)計與概率”作為一個獨立的課程領(lǐng)域，從小學(xué)開始系統(tǒng)地滲透和學(xué)習(xí)。然而由于教師對統(tǒng)計及其教學(xué)的認(rèn)識不足，導(dǎo)致課堂實踐中對“隨機(jī)”與“確定”把握不準(zhǔn)、“本質(zhì)”與“表象”厘析不清、“概率”與“次數(shù)”思辨不明、“歸納”與“演繹”運(yùn)用不當(dāng)?shù)痊F(xiàn)象時常出現(xiàn)，需要教師進(jìn)一步豐富統(tǒng)計的專業(yè)知識，積累該領(lǐng)域的教學(xué)經(jīng)驗，深化對統(tǒng)計教學(xué)的認(rèn)識，回歸統(tǒng)計教學(xué)本真。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；統(tǒng)計與概率；存在問題；改進(jìn)策略

概率是處理隨機(jī)現(xiàn)象的一門科學(xué)。我國在2001年開始的基礎(chǔ)教育課程改革中引入概率知識，將“統(tǒng)計與概率”作為一個獨立的課程領(lǐng)域，從小學(xué)開始系統(tǒng)地滲透和學(xué)習(xí)，并通常用“可能性”代替數(shù)學(xué)術(shù)語“概率”。義務(wù)教育階段統(tǒng)計教學(xué)的關(guān)鍵是使學(xué)生想到用數(shù)據(jù)，愿意“親近”數(shù)據(jù)，能從數(shù)據(jù)中提取信息。這部分內(nèi)容對學(xué)生來說充滿趣味和吸引力，但教學(xué)中教師對統(tǒng)計與概率知識理解不透、教學(xué)內(nèi)容選取不當(dāng)、教學(xué)重難點把握不準(zhǔn)等現(xiàn)象也時常出現(xiàn)，需要教師進(jìn)一步加深認(rèn)識，回歸概率教學(xué)本真。

一、“隨機(jī)”與“確定”把握不準(zhǔn)

課堂回放：為讓學(xué)生感受不確定事件的可能性，舉例：學(xué)校舉行歌詠大賽，經(jīng)過激烈角逐，四年級的一位同學(xué)獲得了冠軍。教師提問：“獲得冠軍的學(xué)生可能是哪個班級的？”學(xué)生紛紛搶答，有的說可能是四（1）班的；有的說可能是四（2）班的；有的說我們學(xué)校四年級一共有11個班，在每個班的可能性都有；還有的說在每個班的可能性是相等的。

現(xiàn)象分析：教師沒有將“生活化表達(dá)”與“數(shù)學(xué)概念本質(zhì)”區(qū)分清楚，對隨機(jī)事件與確定事件把握不準(zhǔn)?！翱赡苄浴笔轻槍﹄S機(jī)事件而言的，而該情境中問題的答案是客觀事實，是先于學(xué)生的猜想而客觀存在的，并不具有預(yù)測性，此處的“可能”并非數(shù)學(xué)研究中的“可能性”。也就是說，歌詠大賽已經(jīng)結(jié)束，冠軍已經(jīng)產(chǎn)生，這個特定的學(xué)生具體在哪個班已經(jīng)確定，只是這個確定的結(jié)果我們暫時不知道而已，這并非概率中的隨機(jī)事件。以此為案例進(jìn)行教學(xué)，造成了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的錯誤認(rèn)識。

改進(jìn)策略：曹培英老師以聽課過程中發(fā)現(xiàn)的、教師易犯的知識性錯誤或紕漏為原型進(jìn)行加工，形成教師本體性知識調(diào)查問卷。從上海市兩個區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的答卷情況看，平均答對率為38.8%，對涉及“可能性”知識的試題，平均答對率只有34.1%。用“能為小學(xué)生釋疑解惑”“能較深入地把握小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容”的要求來衡量，現(xiàn)狀與需要的差距較大。呼時聽課中，筆者經(jīng)常發(fā)現(xiàn)上課教師不能很好地區(qū)分“事件”與“現(xiàn)象”、列舉“事件”不具有預(yù)測性和動態(tài)性、未能正確取舍生活性和科學(xué)性等情況時常存在。

三、“概率”與“次數(shù)”思辨不明

課堂回放：數(shù)學(xué)活動，在不透明的袋子里裝有5個紅球和5個黃球（兩種球除了顏色不同，其余屬性完全相同），組織學(xué)生操作，任意摸1個球，摸后放回。連續(xù)摸6次，根據(jù)摸球結(jié)果猜一猜袋中裝了什么顏色的球？

一名學(xué)生上講臺連續(xù)摸了6次，恰巧都是黃球，學(xué)生紛紛議論：袋子里都是黃球。此時教師顯得有些尷尬，也有點急了，親自將袋子里的球再次充分地攪拌，并提醒學(xué)生要隨意地去摸，讓學(xué)生再摸1次，結(jié)果正好是紅球。教師如釋重負(fù)，急不可待地說：“袋中有紅球和黃球。”沒等教師說完，學(xué)生又紛紛搶著說：“袋子中黃球多，紅球少?！苯處熡旨绷?，無奈地說：“剛才的實驗做得不太‘成功’，如果摸球次數(shù)再多一些就‘準(zhǔn)’了。”

現(xiàn)象分析：不知上述案例中教師對實驗“成功”界定的標(biāo)準(zhǔn)是什么？未能認(rèn)識到“隨機(jī)性”是隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)屬性，暴露出教師學(xué)科專業(yè)知識的缺失。概率是對隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的度量，一般以一個在0到1之間的實數(shù)表示一個事件發(fā)生的可能性大小，其是客觀論證，而非主觀驗證。大數(shù)定律告訴我們，在隨機(jī)事件的大量重復(fù)出現(xiàn)中，往往呈現(xiàn)幾乎必然的規(guī)律，當(dāng)摸球次數(shù)足夠多時，摸到紅球和黃球次數(shù)差不多的可能性很大，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動，也就是摸到紅球和黃球都以很大的概率占總數(shù)次的一半；而當(dāng)摸球次數(shù)足夠多時，摸到紅球和黃球次數(shù)相差較大的可能性很小，但并不意味著它一定不會出現(xiàn)。問題的實質(zhì)是活動中摸到兩種球的“概率相等”，而非“次數(shù)相等”，摸球的結(jié)果是“一切皆有可能”。尤其是在開始有限次的摸球中，摸到紅球比黃球次數(shù)多得多、差不多、少很多都是有可能的。連續(xù)摸6次都是黃球，雖然該事件發(fā)生的可能性不大，但不是沒有可能。案例中教師遇到的尷尬看上去是教學(xué)中的偶然，但偶然中蘊(yùn)含著必然。

改進(jìn)策略：數(shù)據(jù)的隨機(jī)主要有兩層含義：一方面對于同樣的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的；另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。[s哽寧中教授指出：“統(tǒng)計是通過數(shù)據(jù)來獲取一些信息，來幫助人們做出一些判斷?！鄙鲜霭咐虒W(xué)應(yīng)在“袋中裝的是什么顏色的球”的猜想中，凸顯出摸球?qū)嶒灡匾?。在指名學(xué)生上講臺摸球的游戲中，不論學(xué)生摸出什么顏色的球，都要引發(fā)思考“袋中一定有什么顏色的球？”“袋中只有紅（黃）球嗎？”摸了幾次后，如果都只出現(xiàn)紅球或黃球，教師再次發(fā)問：“袋中一定只有紅（黃）球嗎”；如果既出現(xiàn)了紅球又出現(xiàn)了黃球，而且次數(shù)相當(dāng)，則引導(dǎo)“下一次會摸到什么顏色的球”；如果紅球與黃球出現(xiàn)次數(shù)相差較大，則以“一定是紅（黃）球的個數(shù)多嗎”引發(fā)學(xué)生思考。在摸球的動態(tài)過程中讓學(xué)生充分感悟?qū)嶒灠l(fā)生的獨立性、必然性和偶然性，并用一定、可能、不可能等詞語對事件發(fā)生的概率進(jìn)行定性描述。

接下來在“球的顏色和個數(shù)”的猜想中，凸顯出在摸球?qū)嶒炛惺占瘮?shù)據(jù)并進(jìn)行分析的必要性。學(xué)生分組實驗，每組摸球20次，引發(fā)組內(nèi)對猜想的討論。全班再對各組摸球的數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總，分析袋中的球可能有哪些顏色，并推斷出紅球和黃球所占比例是多少。接著再告訴學(xué)生袋中球的總個數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生估計出紅球和黃球分別的個數(shù)。尤其需要指出的是應(yīng)使學(xué)生認(rèn)識到全班摸球?qū)嶒灤螖?shù)總和相對于隨機(jī)試驗來說依然是個小數(shù)目，出現(xiàn)極端的情況也是可能存在的。最后，打開袋子，在實驗過程的反思中感受事情總體結(jié)果的規(guī)律性和每一次結(jié)果的不確定性，體會不確定現(xiàn)象的不確定性和不確定中的穩(wěn)定性的特點，學(xué)會用隨機(jī)的思維去觀察、分析生活中的事物，形成統(tǒng)計觀念，感受數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息。

四、“歸納”與“演繹”運(yùn)用不當(dāng)

課堂回放：通過“摸球”、“玩轉(zhuǎn)盤”、“摸牌”等課堂游戲，學(xué)生在活動中體會到事件發(fā)生的可能性和游戲規(guī)則的公平性。此時，教師引導(dǎo)學(xué)生從分析事件的公平性逆向思考，嘗試設(shè)計一個公平的游戲規(guī)則。學(xué)生情緒高漲、發(fā)言踴躍，在舉出幾個例子后，有學(xué)生提出：“寫‘勝’和‘負(fù)’兩張紙條，做成兩個鬮，小華、小強(qiáng)兩人輪流抓，誰抓到‘勝’字就算誰贏。”受前一學(xué)生案例的影響，又有學(xué)生提出：“寫‘勝’、‘負(fù)’、‘負(fù)’三張紙條，做成三個鬮，小華、小強(qiáng)、小紅輪流抓，誰先抓到‘勝’字就算誰贏?！?/p>

第二個學(xué)生所舉案例使課堂陷入到激烈焦灼的爭論當(dāng)中，有學(xué)生提出“要強(qiáng)調(diào)抓后放回”。更多的學(xué)生則對這個游戲的公平性表示懷疑：有人認(rèn)為先抓的人如果把“勝”抓走，后抓得人就肯定失敗了，所以先抓的人贏的可能性大一些；又有人認(rèn)為先抓的人抓到“勝”的概率只有1/3，如果抓不到“勝”字，那么第二個人贏的概率就是1/2，后抓的人贏得可能性更大一些；還有的學(xué)生隱約中感覺到這個游戲規(guī)則是公平的，但說不出其中的道理……課堂的生成教師始料未及，在應(yīng)對時顯得有些茫然無措。為解決“意外生成”，教師組織學(xué)生按“抓后放回”與“抓后不放回”進(jìn)行分組實驗，但時間所限，次數(shù)不多的實驗產(chǎn)生的結(jié)果仍不能使學(xué)生信服，教師遂提出下節(jié)課繼續(xù)進(jìn)行抓鬮實驗。

現(xiàn)象分析：第二個學(xué)生所舉的案例具有一定的開放性、超前性和復(fù)雜性，條件概率的認(rèn)知也超出了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。如果單純采用實驗、收集數(shù)據(jù)、推算概率、判斷是否公平的方法，因?qū)嶒灥碾S機(jī)性和情境的復(fù)雜性，學(xué)生對游戲規(guī)則是否公平的感受是模糊的，并不清晰，也不能徹底消除心理疑慮。統(tǒng)計是用數(shù)據(jù)來進(jìn)行推斷，它的推理方式主要是歸納；概率是定義出來的，它的推理方式主要是演繹。教學(xué)中，要注意統(tǒng)計思想與演繹推理思想之間的互補(bǔ)作用，使學(xué)生認(rèn)識到統(tǒng)計與概率和確定性數(shù)學(xué)一樣，是科學(xué)的方法，能夠有效地解決現(xiàn)實生活中的眾多問題，滿足學(xué)生了解世界的好奇心。

改進(jìn)策略：學(xué)習(xí)任何知識都要經(jīng)過大腦的思辨，否則就不可能實現(xiàn)對學(xué)習(xí)內(nèi)容的壓縮、整合、內(nèi)化，進(jìn)而納入到認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生，將三個鬮編號，寫“勝”的編號為A，兩個寫“負(fù)”字的編號分別為B1和B2。如果小華抓到A號鬮，小強(qiáng)抓到B1號鬮，小紅抓到B2號鬮，則表示為（A B1 B2）。所有抓鬮的結(jié)果有以下6種情況：（A B1 B2）、（A B2 B1）、（B1 A B2）、（B1 B2 A）、（B2 A B1）、（B2 B1A）。其中，（A B1 B2）、（A B2 B1）表示小華抓到“勝”字的情況，他有2種贏的可能，所以小華贏的可能性是2；同樣小強(qiáng)和小紅贏的可能性也是2。再引導(dǎo)學(xué)生分析，如果抓后放回，那么不論是誰在抓鬮，袋中始終都有“勝”、“負(fù)”、“負(fù)”三個鬮，每人抓到“勝”的可能性都有，游戲規(guī)則也是公平的。在此基礎(chǔ)上，總結(jié)得出：在三人抓鬮的過程中，要不要抓后放回并不影響游戲規(guī)則的公平性。

基于問題的分析，是有價值的；基于分析的完善，是有意義的；基于完善的發(fā)展，是不會停止的。“統(tǒng)計與概率”在中小學(xué)課程中出現(xiàn)的時間并不長，需要廣大教師進(jìn)一步豐富統(tǒng)計的專業(yè)知識，積累該領(lǐng)域的教學(xué)經(jīng)驗，深化對統(tǒng)計教學(xué)的認(rèn)識，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念與隨機(jī)意識，回歸統(tǒng)計教學(xué)本真。