強化數學概念培養(yǎng)簡約思維模式

周小東

【摘要】在數學教學中，教師有目的地通過問題情境的設置，以問題的形式來呈現出對于概念的理解與靈活的應用，可以強化概念，達到對數學問題的本質性認識.在問題的解決過程中，不斷地滲透數學思想方法，培養(yǎng)數學思維能力，增強學生的自信心，使學生享受成功的體驗，從而提高分析問題與解決問題的能力.

【關鍵詞】概念；能力；思維

數學能力的核心是數學思維能力，數學思維能力的提高，必須以數學知識為載體，而數學概念的掌握，正是進行判斷、推理，建立定理的基礎，因此，清晰的概念是正確思維的前提.數學概念的掌握，遵循螺旋上升的認識的規(guī)律性，需要經過大腦系統(tǒng)的反復比較、判斷、甄別等復雜過程的過濾，在運用中得以提升.因此，在教學中，應該不失時機地選擇一些具有代表性的問題進行訓練，不僅能夠更好、更快地理解概念，而且也有利于培養(yǎng)分析問題解決問題的能力，從而達到提高思維能力的目的.

一、準確理解題意的能力

精心選擇合適的問題，著意培養(yǎng)學生理解概念，以及運用概念分析問題與解決的能力.即能對給出的數學問題進行認真的閱讀，理解題意，把握其中的內涵.

例1已知函數f（x）=3sin2πx2+1，使f（x+c）=f（x），對于任意x∈R都成立的正整數c的最小值是.

分析把對題意的理解和函數周期性定義進行比較，發(fā)現本題的目的就是要求函數的最小正周期.故函數可等價于f（x）=3sinπx2+1的周期，或者函數可變形為f（x）=32（1-cosπx）+1=52-32cosπx，從而得周期為2.

二、構建概念的能力

由于數學概念的抽象性以及認識的螺旋性，因而，對于數學概念的把握，如果能通過問題形式的呈現，那么對數學概念的理解將會由感性認識達到理性認識，從字面上的識記達到與函數及圖像結合的動態(tài)性效果，從而完整準確地領悟數學概念，構建數學概念.

例2若函數f（x）=13x3-x在（a，10-a2）上有最小值，則實數a的取值范圍為.

分析這是對函數最值問題的具體化.該函數在開區(qū)間上必有極小值，并且這極小值就是函數f（x）的最小值.因此，先求出函數f（x）在開區(qū)間上的極小值，并且將端點處的函數值與極小值進行大小比較，即可求得實數a的取值范圍.通過對該問題的解決，不僅加深了對函數最值概念的理解，有助于澄清函數的極值問題與最值問題之間的區(qū)別與聯系，而且對最值概念的理解也經歷了動態(tài)化思維方式以及直觀化的思維形式，從而達到對概念的建構.同時，借助于圖形的直觀，可以使得數的問題的解決在數形結合中得到優(yōu)化.

三、簡化運算的能力

提高運算能力是數學教學的重點目標之一，準確運用相關的概念，可以簡化運算過程，達到快速準確的目的，同時，也有利用于提高學生學習的興趣.

例3已知f（x）=4×2x+22x+1+ln（x+1+x2），若f（x）在[-2，2]上的最大值、最小值分別為M，N，則求M+N的值.

分析從給出的函數解析式來看，這是一個復雜的函數，我們無法畫出其圖像，但從函數定義在對稱的閉區(qū)間上，我們就可以從函數的性質，即奇偶性方面分析探索其解題的思路.通過此問題，我們可以將奇偶性的知識激活，借助于恒等變形，將所求的問題的運算得到簡化，并且也強化了概念的運用.

四、化歸的能力

化歸的能力是中學數學教學目標最重要的能力之一.善于利用化歸的數學思想，將復雜問題轉化為簡單問題，將陌生問題轉化為熟悉的問題，將未知問題轉化為已知問題來求解，是提高數學思維能力的核心能力，也是高考中必考的重要的數學思想方法.

例4若函數f（x）=4xx2+1在區(qū)間（m，2m+1）上是單調遞增函數，則求實數m的取值范圍.

分析解決本題的關鍵在于根據定義的等價形式，將所求的問題轉化為導數問題，利用導數中求函數單調性的方法來求解，也體現了知識與解法的與時俱進性.先求出函數的導數

f′（x）=4xx2+1′=4[x2+1-2x2]（x2+1）2=4（1-x2）（x2+1）2，

令f′（x）>0，得-1

五、嚴密的推理能力

數學的嚴密推理能力在新課標中以及高考考綱中，都很明確且占據了很重要的地位.如何提高嚴密的數學推理能力，除了幾何與代數方面的培養(yǎng)以外，運用定義，也可以強化此項能力，體現數學體系的嚴密性和數學論證的無懈可擊性，即數學推理的嚴謹性.當學生對數學概念的本質有了理解，能夠運用概念去分析與解決問題而獲得成功體驗時，那么他對數學及其應用就會發(fā)生興趣，想要進一步學習更新、更深的東西，就會形成較好的動機，從而促進學生產生正確的信念，將會極大地提高數學能力與解題水平.

數學概念的靈活運用建立在對它充分地理解的基礎之上，要純熟運用它，形成思維的策略，還需要在問題解決的過程中多思考、多實踐，以求簡的思維意識貫穿于解題過程的始終，精誠所至，數學簡約思維的模式終將形成.