一道橢圓賽題的探究與思考

■江西省豐城中學 吳愛龍 劉衛(wèi)琴 甘小榮

一、試題呈現

已知橢圓=1的右焦點為F,過F的直線y=k(x-1)交橢圓于P、Q兩點(k≠0)。PQ的中點為N,O為原點,直線ON交直線x=3于M。

(1)求∠MFQ的大小;

(2)求的最大值。

這是2017年浙江省高中數學競賽試題,考查了直線和橢圓的位置關系,線線垂直的判定,函數最值等問題及考生的運算與推理論證能力,還考查了“設而不求”、轉化與化歸、數形結合、函數與方程思想。該題屬中檔難度的考題。

本文對其作些探究,得到兩個命題與變式,供同學們參考。

二、賽題探究

1.第(1)問探究

證明：如圖1,設直線PQ交直線于G。

設P(x1,y1),Q(x2,y2),則:

圖1

二 式 相 減 得,+。整理即得k·k=ON,所以k=ON

變式1 已知雙曲線=1(a＞0,b＞0)的右焦點為F,過F的直線y=k(x-c)交雙曲線右支于P、Q兩點(k≠0)。若PQ的中點為N,O為原點,直線ON交直線x=于 點M,則∠MFQ=。

證明與上面類似,此處從略。

能否把結論進一步推廣至拋物線呢?回答是肯定的。只需將條件稍作改動,便得以下結論。

變式2 已知拋物線y2=2px(p＞0)的焦點為F,過F的直線y=k()交拋物線于P、Q兩點(k≠0)。若PQ的中點為N,直線NM垂直相交直線x=于點M,則∠MFQ=。

圖2

證明：如圖2所示,設直線PQ交直線x=于點G。

設P(x1,y1),Q(x2,y2),則=2px1,=2px2。

二式相減得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)。

在△MFG中,因為MH·GH=|yM|·|yG|=p2=FH2,所以∠MFQ=。

2第(2)問探究

命題2 已知橢圓=1(a＞b＞0)的右焦點為F,過F的直線y=k(x-c)交橢圓于P、Q兩點(k≠0)。若PQ的中點為N,O為原點,直線ON交直線x=于M,則的最大值為

證明：如圖1,以F為極點,射線Fx為極軸建立極坐標系,則橢圓的右準線極坐標方 程 為:ρ=設 ∠MFx=θ,則 MF=橢圓的極坐標方程為:

特別地,當時,便得上面賽題第(2)問的答案為。

三、點評與感悟

第(1)問證明過程中有兩處不同于參考答案:一是采用了“點差法”得出結論“k·kON=;二是運用射影定理判斷出∠MFQ=。而這兩個知識點是同學們必須掌握的。第(2)問在求得∠MFQ的基礎上靈活運用直線與橢圓的極坐標方程,簡捷、巧妙地解題,也是參賽考生應該掌握的。