基于GPS測(cè)量數(shù)據(jù)的衛(wèi)星在軌軌道預(yù)報(bào)算法研究

劉 燎,孫華苗,李立濤,張迎春，

(1.深圳航天東方紅海特衛(wèi)星有限公司,廣東 深圳 518064; 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

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基于GPS測(cè)量數(shù)據(jù)的衛(wèi)星在軌軌道預(yù)報(bào)算法研究

劉 燎1,孫華苗1,李立濤2,張迎春1， 2

(1.深圳航天東方紅海特衛(wèi)星有限公司,廣東 深圳 518064; 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

為提高微小衛(wèi)星的在軌軌道預(yù)報(bào)能力，針對(duì)常用的低軌近圓衛(wèi)星軌道，根據(jù)解析的軌道動(dòng)力學(xué)模型，基于無(wú)奇點(diǎn)變量的擬平均要素法，用Kalman濾波技術(shù)給出了一種衛(wèi)星解析星歷參數(shù)在軌估計(jì)算法，用GPS測(cè)量信息對(duì)相關(guān)星歷模型參數(shù)進(jìn)行在軌估計(jì)。給出了算法流程。先由外部標(biāo)志判斷濾波器初始化狀態(tài)，若需初始化，則可基于GPS測(cè)量數(shù)據(jù)，或地面上注星歷參數(shù)，或上次濾波所得星歷參數(shù)進(jìn)行；若初始化已完成，則對(duì)星歷模型參數(shù)進(jìn)行Kalman濾波，得到更新的星歷參數(shù)。給出了濾波算法中軌道預(yù)報(bào)、殘差計(jì)算、量測(cè)計(jì)算和UD分解的計(jì)算模型。仿真結(jié)果表明：對(duì)軌道高度450 km以上的近地圓軌道，7 d內(nèi)的預(yù)報(bào)精度優(yōu)于20 km。算法具自啟動(dòng)(自初始化)、收斂性佳、對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的采樣要求不嚴(yán)格等優(yōu)點(diǎn)，實(shí)用性好。

微小衛(wèi)星； 自主能力； 低軌近圓衛(wèi)星軌道； 星歷模型； 軌道預(yù)報(bào)； GPS測(cè)量數(shù)據(jù)； 擬平均要素； Kalman濾波

0 引言

隨著目前國(guó)內(nèi)外衛(wèi)星技術(shù)的不斷發(fā)展尤其是衛(wèi)星組網(wǎng)的發(fā)展，對(duì)衛(wèi)星在軌自主能力的需求不斷增加，在軌實(shí)時(shí)軌道確定成為判斷衛(wèi)星是否具有自主能力的首要條件。隨著低成本全球?qū)Ш较到y(tǒng)接收機(jī)(包括美國(guó)的GPS及中國(guó)的北斗導(dǎo)航系統(tǒng))的應(yīng)用，在微小衛(wèi)星上進(jìn)行實(shí)時(shí)軌道確定進(jìn)而提高小衛(wèi)星的自主能力，已成為目前的一種發(fā)展趨勢(shì)[1-2]。

衛(wèi)星星歷的計(jì)算有解析法、數(shù)值法和半解析法等三類，受星載計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的制約，我國(guó)星上軌道預(yù)報(bào)目前都采用僅考慮地球非引力場(chǎng)主要帶諧項(xiàng)和大氣攝動(dòng)主要長(zhǎng)期項(xiàng)的擬平均要素法[3-4]。目前基于GPS測(cè)量信息的衛(wèi)星實(shí)時(shí)在軌軌道確定主要采用Kalman濾波及基于軌道動(dòng)力學(xué)模型的軌道確定技術(shù)，對(duì)衛(wèi)星的瞬時(shí)軌道狀態(tài)(位置和速度矢量)或密切軌道要素進(jìn)行估計(jì)，以實(shí)時(shí)提供衛(wèi)星的高精度軌道確定信息。其結(jié)果主要用于衛(wèi)星各種實(shí)時(shí)應(yīng)用，如圖像的地理定位編碼、敏感器與可驅(qū)動(dòng)天線的指向，以及衛(wèi)星三軸姿態(tài)控制[5]。但采用這種軌道確定技術(shù)的導(dǎo)航系統(tǒng)，很難用于長(zhǎng)期的在軌星歷預(yù)報(bào)(如數(shù)個(gè)軌道周期后甚至數(shù)天后的軌道預(yù)報(bào))，而這恰是衛(wèi)星自主任務(wù)規(guī)劃和自主管理所需的。其主要原因是：基于瞬時(shí)軌道參數(shù)或密切軌道要素進(jìn)行軌道預(yù)報(bào)，需進(jìn)行復(fù)雜的、計(jì)算量較大的軌道動(dòng)力學(xué)數(shù)值積分運(yùn)算，常需占用大量的星載計(jì)算機(jī)機(jī)時(shí)，因而不適于進(jìn)行長(zhǎng)期軌道預(yù)報(bào)[6]。文獻(xiàn)[7]提出了一種采用簡(jiǎn)化的動(dòng)力學(xué)模型和一種嵌套插值算法的積分器進(jìn)行高精度的衛(wèi)星星歷計(jì)算，可實(shí)現(xiàn)軌道預(yù)報(bào)1 d精度優(yōu)于1 km的星歷計(jì)算，但也需要高性能的星載機(jī)，不適于微小衛(wèi)星的軌道預(yù)報(bào)應(yīng)用。

針對(duì)目前常用的低軌近圓衛(wèi)星軌道，本文基于解析的軌道動(dòng)力學(xué)模型，采用Kalman濾波技術(shù)，給出了一種衛(wèi)星解析星歷參數(shù)在軌估計(jì)算法，利用GPS測(cè)量信息對(duì)相關(guān)星歷模型參數(shù)進(jìn)行在軌估計(jì)[8]。可對(duì)任意時(shí)間間隔的衛(wèi)星星歷進(jìn)行預(yù)報(bào)，而不用按步長(zhǎng)對(duì)軌道進(jìn)行積分，其計(jì)算量相對(duì)較小，對(duì)星載機(jī)的性能要求不高，可滿足微小衛(wèi)星的使用要求，能對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行中期或長(zhǎng)期的軌道預(yù)報(bào)(多個(gè)軌道周期或1周以上)。本文對(duì)基于GPS測(cè)量數(shù)據(jù)的衛(wèi)星在軌軌道預(yù)報(bào)算法進(jìn)行研究。算法具有自啟動(dòng)(自初始化)、收斂性好、對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的采樣要求不嚴(yán)格(允許測(cè)量數(shù)據(jù)以非均勻間隔時(shí)間給出，采樣時(shí)間可在數(shù)秒至十多分鐘內(nèi)變化)的優(yōu)點(diǎn)，甚至允許在軌道的某段時(shí)間內(nèi)無(wú)測(cè)量數(shù)據(jù)情況下(如GPS天線被地球遮擋或接收機(jī)出現(xiàn)臨時(shí)性故障)，濾波器仍能正常運(yùn)行。根據(jù)定義不同，平均要素又可分為平均要素和擬平均要素，其中平均要素只包含了長(zhǎng)期變化項(xiàng)，擬平均要素包含長(zhǎng)期變化項(xiàng)和長(zhǎng)周期變化項(xiàng)，長(zhǎng)周期變化項(xiàng)的周期能達(dá)到數(shù)月，因而在軌道問(wèn)題研究中其影響不可忽略，同時(shí)擬平均要素能消除通約奇點(diǎn)問(wèn)題，因而本算法采用基于無(wú)奇點(diǎn)變量的擬平均要素法[9]。為簡(jiǎn)化星上計(jì)算量，計(jì)算過(guò)程僅考慮了一階精度。

1 星歷參數(shù)選擇

近地衛(wèi)星主要受地球引力、大氣阻力、太陽(yáng)光壓以及日月引力等作用，軌道變化包括長(zhǎng)期變化項(xiàng)、長(zhǎng)周期變化項(xiàng)和短周期變化項(xiàng)。長(zhǎng)期變化即軌道參數(shù)隨時(shí)間的線性或二階及更高階的變化；長(zhǎng)周期變化主要由地球引力場(chǎng)帶諧調(diào)和項(xiàng)引起；短周期項(xiàng)一類是由地球扁率引起的，另一類是由地球引力場(chǎng)的田諧調(diào)和項(xiàng)引起的。田諧項(xiàng)的攝動(dòng)非常復(fù)雜，對(duì)小偏心率的軌道只需取其低頻部分便可獲得很高的精度，但在星上計(jì)算田諧項(xiàng)系數(shù)則需占據(jù)相當(dāng)一部分內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間[10]。為簡(jiǎn)化計(jì)算，在模型中僅考慮長(zhǎng)期和長(zhǎng)周期變化項(xiàng)。

2 算法及計(jì)算流程

本文算法采用基于無(wú)奇點(diǎn)變量的擬平均要素法，使用Kalman濾波技術(shù)，利用GPS測(cè)量信息對(duì)相關(guān)星歷模型參數(shù)進(jìn)行在軌估計(jì)。為減少濾波過(guò)程中計(jì)算誤差和舍入誤差對(duì)濾波器狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣正定性的影響，避免長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算過(guò)程濾波器發(fā)散，采用Bierman-UD分解形式的Kalman濾波技術(shù)。算法的流程如圖1所示。

本文算法的具體過(guò)程如下。

a)根據(jù)外部給出的是否進(jìn)行濾波器初始化的標(biāo)志判斷當(dāng)前計(jì)算狀態(tài)。

b)若此時(shí)需進(jìn)行初始化，則根據(jù)初始化方法標(biāo)志分別進(jìn)行濾波器初始化。此處：初始化方法有三種：一是根據(jù)GPS測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波器初始化，即由GPS提供的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算所需測(cè)量時(shí)刻對(duì)應(yīng)的軌道平要素集的初始猜測(cè)；二是根據(jù)地面上注的星歷模型參數(shù)進(jìn)行初始化；三是用上次濾波器計(jì)算收斂獲得的星歷參數(shù)進(jìn)行初始化。后兩種初始化方法基本相同。初始化完成后，將初始化標(biāo)志置位。

c)若本次計(jì)算過(guò)程中初始化已完成，則進(jìn)行Kalman濾波計(jì)算，對(duì)星歷模型參數(shù)進(jìn)行濾波，得到更新的星歷參數(shù)。

3 基于GPS測(cè)量數(shù)據(jù)的初始化

利用GPS測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)歷元時(shí)刻軌道平要素濾波器進(jìn)行初始化。即根據(jù)GPS提出的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算所需測(cè)量時(shí)刻對(duì)應(yīng)的軌道平要素集的初始猜值，該初始化過(guò)程如下。

a)將GPS測(cè)得的位置與速度矢量轉(zhuǎn)換至TOD系中；

b)將TOD坐標(biāo)系中的位置與速度矢量轉(zhuǎn)換為瞬時(shí)軌道要素；

c)通過(guò)迭代計(jì)算平均軌道要素，并給出對(duì)應(yīng)星歷模型參數(shù)；

d)根據(jù)提供的參數(shù)計(jì)算狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣，并進(jìn)行UD分解；

e)輸出時(shí)刻tGPS對(duì)應(yīng)的星歷模型參數(shù)以及初始U0，D0陣。

4 利用地面上注數(shù)據(jù)或上次濾波結(jié)果的初始化

本文算法是用地面上注的或前次Kalman濾波器給出的星歷模型參數(shù)，對(duì)本次濾波過(guò)程進(jìn)行初始化，該初始化過(guò)程如下。

b)根據(jù)提供的參數(shù)計(jì)算狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣，并進(jìn)行UD分解；

5 星歷模型參數(shù)濾波過(guò)程算法

本文算法是利用基于Bierman UD分解Kalman濾波公式對(duì)星歷模型參數(shù)進(jìn)行濾波，得到更新的星歷參數(shù)以及協(xié)方差矩陣對(duì)應(yīng)的U，D陣，濾波算法的主要計(jì)算步驟如下。

a)根據(jù)上一步濾波得到的星歷模型參數(shù)X以及其對(duì)應(yīng)的歷元時(shí)刻t0，進(jìn)行軌道預(yù)報(bào)，得當(dāng)前GPS測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)刻tGPS對(duì)應(yīng)的衛(wèi)星位置矢量(TOD系中)。

b)計(jì)算殘差；若殘差大于給定的容限，則判斷為野值，退出當(dāng)前濾波過(guò)程；否則執(zhí)行步驟c)。

c)用有限差分法計(jì)算濾波所需的量測(cè)矩陣。

d)進(jìn)行UD分解濾波，獲得更新星歷模型參數(shù)X+和協(xié)方差陣對(duì)應(yīng)的U+，D+。

5.1 軌道預(yù)報(bào)算法

對(duì)時(shí)刻t0的星歷模型參數(shù)進(jìn)行軌道外推，以獲得時(shí)刻t1的瞬時(shí)軌道位置和速度矢量(TOD系中)，計(jì)算過(guò)程如下。

a)根據(jù)歷元時(shí)刻t0及對(duì)應(yīng)的星歷參數(shù)，計(jì)算獲得時(shí)刻t1的平均軌道參數(shù)

b)計(jì)算緯度幅角的平均值

c)計(jì)算時(shí)刻t1各軌道要素的短周期項(xiàng)

d)計(jì)算時(shí)刻t1的瞬時(shí)軌道要素

u=λ+2esinM+1.25e2sin(2M)

式中：X=a，i，Ω，ξ，η，λ。

e)計(jì)算時(shí)刻t1對(duì)應(yīng)的位置與速度矢量

R=r(Pcosf+Qsinf)

5.2 殘差計(jì)算

根據(jù)時(shí)刻tGPS的GPS測(cè)量數(shù)據(jù)RGPS和進(jìn)行軌道預(yù)報(bào)得到的時(shí)刻tGPS衛(wèi)星位置矢量R計(jì)算殘差，計(jì)算步驟如下。

a)計(jì)算時(shí)刻tGPS的格林威治恒星時(shí)角S及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣Rz(S)

S=mod(S,2π)

b)計(jì)算殘差

5.3 量測(cè)矩陣計(jì)算

用有限差分方法計(jì)算衛(wèi)星位置矢量預(yù)報(bào)值(TOD系)與星歷參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，進(jìn)而求得量測(cè)矩陣，計(jì)算步驟如下。

a)令i=1。

b)生成第i個(gè)元素帶擾動(dòng)量的星歷參數(shù)向量

d)計(jì)算衛(wèi)星位置矢量預(yù)報(bào)值與第i個(gè)星歷參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)矩陣

e)若i=14，則轉(zhuǎn)步驟f)，否則i=i+1，轉(zhuǎn)步驟b)。

f)計(jì)算量測(cè)噪聲矩陣H

5.4 UD分解濾波算法

本算法主要是對(duì)上一步濾波過(guò)程得到的協(xié)方差U陣和D陣以及濾波狀態(tài)進(jìn)行更新，計(jì)算步驟如下。

a)令l=1，按以下步驟對(duì)第l個(gè)測(cè)量進(jìn)行濾波更新。

b)計(jì)算變量αl和向量f，v，有

d)對(duì)濾波狀態(tài)量和協(xié)方差陣進(jìn)行更新

e)若l大于等3,則計(jì)算結(jié)束；否則令l=l+1，轉(zhuǎn)步驟b)。

d)輸出Xk/k，Uk/k，Dk/k。

6 仿真驗(yàn)證

為對(duì)本文提出的算法進(jìn)行誤差分析，需有參考的精確衛(wèi)星運(yùn)行軌道。用衛(wèi)星工具箱STK中的生成基準(zhǔn)軌道，設(shè)仿真參數(shù)為：軌道積分HPOP；引力模型JGM-3；太陽(yáng)光壓Cr=1.0，面質(zhì)比0.02 m2/kg,陰影區(qū)模型Dual Cone；氣動(dòng)阻力Cd=2.2，面質(zhì)比0.02 m2/kg，大氣密度模型Jachia-Roberts；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ixx=4 500 kg·m2，Iyy=4 500 kg·m2，Izz=4 500 kg·m2；三體引力為太陽(yáng)、地球、衛(wèi)星。輸出的WGS84坐標(biāo)系中衛(wèi)星信息作為GPS測(cè)量數(shù)據(jù)，取采樣間隔分別為1，5 min，濾波時(shí)間5 d，對(duì)衛(wèi)星的軌道進(jìn)行預(yù)報(bào)，預(yù)報(bào)時(shí)間1～7 d，與生成的TOD系中軌道數(shù)據(jù)對(duì)比。所得軌道高度450，600，700，800 km的預(yù)報(bào)精度分別如圖2～9所示。

由圖2～9可知：對(duì)軌道高度500 km以上的近地近圓軌道，本文算法的擬合精度優(yōu)于約1.5 km，在不同采樣間隔、不同軌道高度情況下，濾波2.5 d，預(yù)報(bào)1～7 d的軌道精度均優(yōu)于20 km，可用于衛(wèi)星光照/陰影區(qū)計(jì)算、地面站通信時(shí)機(jī)預(yù)報(bào)或地面成像目標(biāo)規(guī)劃等任務(wù)，其時(shí)間精度優(yōu)于3 s。

基于傳統(tǒng)14平軌道要素進(jìn)行的軌道遞推仿真結(jié)果如圖10所示。由圖10可知：累積誤差較大，需定時(shí)由地面進(jìn)行參數(shù)上注，不適于未來(lái)衛(wèi)星自主任務(wù)管理發(fā)展的要求。

7 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)衛(wèi)星長(zhǎng)期自主運(yùn)行需求，本文研究了基于GPS測(cè)量數(shù)據(jù)的衛(wèi)星自主軌道預(yù)報(bào)方法。本文方法基于解析的軌道動(dòng)力學(xué)模型，采用Kalman濾波技術(shù)，給出了一種衛(wèi)星解析星歷參數(shù)在軌估計(jì)算法，軌道預(yù)報(bào)精度較前人方法有顯著提高；用基于Bierman UD分解的形式，可有效避免長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算引起的濾波器發(fā)散，自適應(yīng)性好，對(duì)數(shù)據(jù)采樣要求不高，具較好的魯棒性，對(duì)微小衛(wèi)星有較好的實(shí)用性，計(jì)算量少，降低了星載機(jī)的計(jì)算量，尤其適于低成本微小衛(wèi)星的自主任務(wù)管理，可對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行中期或長(zhǎng)期的軌道預(yù)報(bào)(多個(gè)軌道周期或1周以上)。用數(shù)學(xué)仿真對(duì)本文方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。研究發(fā)現(xiàn)：本文算法采用基于無(wú)奇點(diǎn)變量的擬平均要素法，具有自啟動(dòng)(自初始化)、收斂性好，且顯著減少了星上計(jì)算量，以及對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的采樣要求不嚴(yán)(允許測(cè)量數(shù)據(jù)以非均勻間隔時(shí)間給出，采樣時(shí)間可在數(shù)秒至十多分鐘內(nèi)變化)的優(yōu)點(diǎn)；對(duì)軌道高度450 km以上的近地近圓軌道，在濾波2.5 d的條件下，預(yù)報(bào)精度優(yōu)于20 km，軌道坐標(biāo)系變換導(dǎo)致的誤差約0.012°，可用于中等精度的姿態(tài)確定。本文方法的缺點(diǎn)是僅適于近地圓軌道的軌道預(yù)報(bào)。此外，在建模中未考慮地球扁率和田諧攝動(dòng)項(xiàng)的攝動(dòng)影響。后續(xù)研究可在建模中加入各種攝動(dòng)項(xiàng)的影響，提高預(yù)報(bào)精度并減少計(jì)算量。此外，對(duì)由GPS數(shù)據(jù)濾波初始化獲得的對(duì)應(yīng)時(shí)刻的軌道平要素集的初始猜想值也可作進(jìn)一步優(yōu)化，以提高初始平要素的準(zhǔn)確性。

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Research of a On-Board Orbit Prediction Method Based on GPS Data

LIU Liao1, SUN Hua-miao1, LI Li-tao2, ZHANG Ying-chun1, 2

(1. Shenzhen Aerospace Dongfanghong HIT Satellite Ltd, Shenzhen 518064, Guangdong, China;2. School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, Heilongjiang, China)

To improve the capability of micro-satellite orbit prediction, an on-board model of ephemeris parameter was proposed by Kalman filter based on analytic orbit dynamic model and quasi-mean element method without singularity for near circular low earth orbit (LEO), which could estimate the relative ephemeris parameter using GPS data on-orbit. The algorithm flowchart was given. Firstly, the initial state of the filter was judged using external mark. If the initialization was needed, it could be implemented by GPS data, ephermeris parameters upload by the ground or ephermeris parameters obtained in the last filtering. If the initialization had been finished, the ephermeris parameters were treated to gain the new ephermeris parameters by Kalman filtering. The computation modes of orbit predication, residue error calculation, measurement calculation and Bierman-UD decomposing were presented. The simulation results showed that prediction accuracy was better than 20 km in the 7-days prediction for the near circular LEO which the altitude was higher than 450 km. The algorithm proposed had advantages such as self-start (self initialization), good convergence and not ridge requirement of measurement data sampling, which was practicable in engineering.

micro-satellite; self-management; near circular LEO; ephemeris parameter; orbit prediction; GPS data; quasi-mean element; Kalman filter

1006-1630(2017)02-0120-07

2016-08-17；

2016-11-28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(61473297)

劉 燎(1987—)，男，碩士，主要從事微小衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

V448.2

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2017.02.013