余秩為2余維為7的光滑函數(shù)芽的分類

郭瑞芝，石高麗

(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，中國 長沙 410081)

余秩為2余維為7的光滑函數(shù)芽的分類

郭瑞芝，石高麗

(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，中國 長沙 410081)

本文利用有限決定性理論、分裂引理和Nakayama引理，建立光滑函數(shù)芽Jacobi理想的下降序列，考慮Jacobi理想的余維分布，得到了右等價下余秩為2余維為7的光滑函數(shù)芽的完整分類，并且給出了這類函數(shù)芽的標(biāo)準(zhǔn)形.

右等價；余維；余秩；分類

在奇點理論中，函數(shù)芽的分類一直都是一個熱門課題. 由于 是無限維實向量空間，要得出其完整分類十分困難. 因為要對函數(shù)芽 理想的結(jié)構(gòu)進行仔細(xì)分析，因此人們從一些特殊的函數(shù)芽入手，例如對低余維數(shù)的函數(shù)芽進行分類，得到它們的標(biāo)準(zhǔn)形. Thom在突變理論的分類定理中給出了七種初等突變模型[1-2]，包括余維數(shù)為 余秩為1以及余維數(shù)為4和5余秩均為2等情形的分類和相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形. 在有限決定性理論下，可將某類函數(shù)芽轉(zhuǎn)化為多項式芽的形式，因此對滿足一定條件的函數(shù)芽分類可歸結(jié)為由多項式組成的有限維向量空間中的分類問題. 因此在討論函數(shù)芽的分類之前，討論光滑函數(shù)芽的有限決定性，為光滑函數(shù)芽的分類奠定了基礎(chǔ). 文獻[3,4]研究了函數(shù)芽相對有限決定性，對一般有限決定性作了擴充，借此可以得出函數(shù)芽在不同等價下的分類.

Thom在文獻[1]給出了余維數(shù)為k(k≥2)余秩為1以及余維數(shù)為4和5余秩均為2等情形的分類和相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形. 其中余秩為1余維數(shù)為k(k≥2)時，標(biāo)準(zhǔn)形為

余秩為2余維數(shù)為4時，標(biāo)準(zhǔn)形為

余秩為2余維數(shù)為5時，標(biāo)準(zhǔn)形為

文獻[5]中給出了余秩為2余維為6的光滑函數(shù)芽的分類，標(biāo)準(zhǔn)形為

文獻[6,7]分別討論了余秩為3余維為7和8的光滑函數(shù)芽的分類，得出這兩種情形均不存在，文獻[8]研究了特殊條件下函數(shù)芽的標(biāo)準(zhǔn)形. 受上述工作的啟發(fā)利用，本文討論余秩為2余維為7的光滑函數(shù)芽的分類問題，給出了這種情形的完整分類并得到了它們的標(biāo)準(zhǔn)形.

1 預(yù)備知識

若codimf是有限數(shù)，稱f為具有有限余維的函數(shù)芽，否則說f的余維無限.

定義2 將(Rn,0)→(Rn,0)的微分同胚群記為Ln. 設(shè)f,g∈εn，若存在φ∈Ln，使得g=f°φ，則稱f與g是右等價的.

定義3 設(shè)f∈εn，f在0∈Rn處的r階Taylor多項式叫做f的r-導(dǎo)網(wǎng)，記為jrf.設(shè)k為非負(fù)整數(shù)，如果εn中與f具有相同k-導(dǎo)網(wǎng)的芽g皆右等價于f，則說f是k-決定的.f稱為有限決定的是指存在某一正整數(shù)k，使得f是k-決定的.

引理1[9](Nakayama引理)設(shè)A是一個具有幺元素(記為1)的交換環(huán)，I為A中的理想具有下列性質(zhì)：對每一個α∈I，1+α為A中的可逆元. 假設(shè)M,N為A-模P的子模，且M是有限生成的. 若M?N+I·M, 則M?N.

命題1[9]設(shè)f,g∈εn，

(1)若f右等價于g，則codimf=codimg；

因此g也是k-決定的.

引理4[10]設(shè)I?εn是一個有限余維理想，考慮理想的下降序列

(1)若c3=1，則j3g右等價于x2y；

(2)若c3=2，則j3g右等價于x3.

2 主要結(jié)果及證明

設(shè)f∈εn，corankf=2，codimf=7，由引理3(分裂引理)，f右等價于下列函數(shù)芽：

codimg=codimf=7.

由命題1中的(2)，有codimμ·J(g)=9. 我們知道c0=1，c1=2，c2=3，于是codimμ·J(g)=6+c3+c4+…=9，因此μ·J(g)的余維分布只可能出現(xiàn)以下4種情形：

(Ⅰ)c0=1,c1=2,c2=3,c3=3,c4=0；

(Ⅱ)c0=1,c1=2,c2=3,c3=2,c4=1,c5=0；

(Ⅲ)c0=1,c1=2,c2=3,c3=1,c4=2,c5=0；

(Ⅳ)c0=1,c1=2,c2=3,c3=1,c4=1,c5=1,c6=0.

引理6 情形(Ⅰ)不成立.

證 由引理4，

因為g∈μ3，記j3g=ax3+bx2y+cxy2+dy3，則

其中

3ax3+2bx2y+cxy2=A(3ax2y+2bxy2+cy3)，

3ax3+2bx2y+cxy2=B(bx3+2cx2y+3dxy2)，

3ax3+2bx2y+cxy2=C(bx2y+2cxy2+3dy3).

比較上面3個等式兩邊的系數(shù)可得a=b=c=d=0，這與c3=3矛盾.

同理其余3個向量亦不可能是0，綜上所述結(jié)論成立.

引理7 情形(Ⅲ)不成立.

證 由引理5知，c3=1時，j3g右等價于x2y，則g右等價于下列函數(shù)芽：

x2y+r1(x,y)，

其中r1(x,y)∈μ4.

因為c5=0，所以μ5+μ·J(g)=μ6+μ·J(g)，則μ5?μ·J(g)+μ6. 由引理1知，μ5?μ·J(g)，從而由引理2可得g是5-決定的.由引理2，x2y+r1(x,y)也是5-決定的. 因為x2y+r1(x,y)與j5(x2y+r1(x,y))有相同的5-階導(dǎo)網(wǎng)，由定義3，x2y+r1(x,y)右等價于j5(x2y+r1(x,y)).

記h(x,y)=x2y+p(x,y)+q(x,y)，則

μ·J(h)=〈x,y〉εn·〈2xy+px+qx,x2+py+qy〉εn=

〈2x2y+xpx+xqx,2xy2+ypx+yqx,x3+xpy+xqy,x2y+ypy+yqy〉εn.

經(jīng)過計算有

x4=x(x3+xpy+xqy)-x(xpy+xqy)，

x3y=y(x3+xpy+xqy)-y(xpy+xqy)，

所以情形(Ⅲ)中c3=1,c4=2,c5=0這種情況不存在.

由引理6和引理7知情形(Ⅰ)和(Ⅲ)不成立，下面主要來討論情形(Ⅱ)和(Ⅳ).

首先討論情形(Ⅱ).

由引理5知，當(dāng)c3=2時，j3g右等價于x3，則g右等價于下列函數(shù)芽：

x3+η1(x,y)，其中η1(x,y)∈μ4.

因為c5=0，所以μ5+μ·J(g)=μ6+μ·J(g)，則μ5?μ·J(g)+μ6. 由引理1知，μ5?μ·J(g)，從而由引理2可得g是5-決定的.由引理2，x3+η1(x,y)也是5-決定的. 因為x3+η1(x,y)與j5(x3+η1(x,y))有相同的5-階導(dǎo)網(wǎng)，由定義3，x3+η1(x,y)右等價于j5(x3+η1(x,y)).

x3±xy3+q2(x,y)，

證 設(shè)p(x,y)=ax4+bx3y+cx2y2+dxy3+ey4，下面用反證法證明p(x,y)中不含y4項.

假設(shè)e≠0，令u(x,y)=ax3+bx2y+cxy2+dy3，則p(x,y)=ey4+xu(x,y)，所以h(x,y)=x3+ey4+xu(x,y)+q(x,y)，則

μ·J(h)=〈x,y〉εn·〈3x2+xux+u+qx,4ey3+xuy+qy〉εn=〈3x3+x2ux+xu+xqx,

3x2y+xyux+yu+yqx,4exy3+x2uy+xqy,4ey4+xyuy+yqy〉εn.

經(jīng)過計算有

因為xu(x,y)+q(x,y)∈μ4，所以〈x2ux+xu+xqx,xyux+yu+yqx〉εn∈μ4，則由上面三個等式有x4,x3y,x2y2∈μ·J(h)+μ5，又

因為x4,x3y,x2y2∈μ·J(h)+μ5，xqy∈μ5，所以

x2uy+xqy=bx4+2cx3y+3dx2y2+xqy∈μ·J(h)+μ5.

顯然4exy3+x2uy+xqy∈μ·J(h)+μ5，所以xy3∈μ·J(h)+μ5. 用類似的方法討論4ey4+xyuy+yqy，可得到y(tǒng)4∈μ·J(h)+μ5.

綜上可得x4,x3y,x2y2,xy3,y4∈μ·J(h)+μ5，于是

x3+dxy3+η4(x,y)，

η2(x,y)∈μ3，η3(x,y)∈μ6，η4(x,y)∈μ5.

由g右等價于h，h右等價于x3+dxy3+η4(x,y)，有g(shù)右等價于x3+dxy3+η4(x,y).由前面的分析知g是5-決定的.根據(jù)引理2，x3+dxy3+η4(x,y)也是5-決定的.

因為x3+dxy3+η4(x,y)與j5(x3+dxy3+η4(x,y))有相同的5-階導(dǎo)網(wǎng)，由定義3，x3+dxy3+η4(x,y)右等價于j5(x3+dxy3+η4(x,y)).

假設(shè)d=0，則h1(x,y)=x3+q1(x,y)，所以

μ·J(h1)=〈x,y〉εn·〈3x2+q1x,q1y〉εn=〈3x3+xq1x,3x2y+yq1x,xq1y,yq1y〉εn.

通過計算有

因為q1(x,y)∈μ5，所以〈xq1x,yq1x〉εn∈μ5，從而由上面3個等式可知x4,x3y,x2y2∈μ·J(h1)+μ5，則

引理9 在情形(Ⅱ)的條件下，g右等價于芽x3+xy3.

h2(x,y)=x3+xy3+x2v(x,y)+axy4+by5.

ax(y4+η6(x,y))+b(y5+η7(x,y))=

x3+xy3-axy4+x2v(x,y)+axy4+by5+η8(x,y)=x3+xy3+x2v(x,y)+by5+η8(x,y).

其中η5(x,y)∈μ4，η6(x,y)∈μ5，η7(x,y)∈μ6，η8(x,y)∈μ6.

因為g右等價于h2，h2右等價于x3+xy3+x2v(x,y)+by5+η8(x,y)，所以g右等價于x3+xy3+x2v(x,y)+by5+η8(x,y). 由前面的分析知g是5-決定的.根據(jù)引理2，x3+xy3+x2v(x,y)+by5+η8(x,y)也是5-決定的.

因x3+xy3+x2v(x,y)+by5+η8(x,y)與j5(x3+xy3+x2v(x,y)+by5+η8(x,y))有相同的5-階導(dǎo)網(wǎng)，由定義3，x3+xy3+x2v(x,y)+by5+η8(x,y)右等價于j5(x3+xy3+x2v(x,y)+by5+η8(x,y)).

x3-x2v+xy3+x2v+by5+η10(x,y)=x3+xy3+by5+η10(x,y)，

其中η9(x,y)∈μ4，η10(x,y)∈μ6. 因為h3°φ3是5-決定的，所以h3°φ3右等價于

j5(h3°φ3(x,y))=x3+xy3+by5.

記h4(x,y)=x3+xy3+by5. 作坐標(biāo)變換φ4(x,y)=(x+A+C,bx+y+B)，其中

顯然φ4∈L2. 則

h4°φ4(x,y)=(x+A+C)3+(x+A+C)(bx+y+B)3+b(bx+y+B)5=

(x+A)3+3(x+A)2C+3(x+A)C2+C3+x(bx+y+B)3+

A(bx+y+B)3+C(bx+y+B)3+b(bx+y+B)5=

x3+3x2A+x(bx+y)3+3xA2+3x2C+3x(bx+y)2B+A(bx+y)3+b(bx+y)5+η11(x,y)=

(b6x5+5b5x4y+10b4x3y2+10b3x2y3+

5b2xy4+by5)+η11(x,y)=x3+xy3+η11(x,y).

其中η11(x,y)∈μ6. 因為h4°φ4是5-決定的，所以h4°φ4右等價于j5(h4°φ4(x,y))=x3+xy3.由右等價關(guān)系的傳遞性，g右等價于函數(shù)芽x3+xy3.

證 類似引理9.

由引理8到引理10有下面結(jié)論.

定理1 設(shè)g∈μ3，μ·J(g)的余維分布如情形(Ⅱ)所示，則g右等價于下列函數(shù)芽之一：

x3±xy3.

下面來討論情形(Ⅳ).

由引理5知，當(dāng)c3=1時，j3g右等價于x2y，則g右等價于下列函數(shù)芽：

x2y+ξ1(x,y)，其中ξ1(x,y)∈μ4.

因為c6=0，所以μ6+μ·J(g)=μ7+μ·J(g)，則μ6?μ·J(g)+μ7. 由引理1(Nakayama引理)知，μ6?μ·J(g)，從而由引理2可得g是6-決定的. 由引理2，x2y+ξ1(x,y)也是6-決定的. 因為x2y+ξ1(x,y)與j6(x2y+ξ1(x,y))有相同的6-階導(dǎo)網(wǎng)，由定義3，x2y+ξ1(x,y)右等價于j6(x2y+ξ1(x,y)).

證 容易得到

μ·J(h)=〈x,y〉εn·〈2xy+px+qx+rx,x2+py+qy+ry〉εn=

〈2x2y+xpx+xqx+xrx,2xy2+ypx+yqx+yrx,x3+xpy+xqy+xry,x2y+ypy+yqy+yry〉εn.

經(jīng)計算有

x4=x(x3+xpy+xqy+xry)-x(xpy+xqy+xry)，

x3y=y(x3+xpy+xqy+xry)-y(xpy+xqy+xry)，

因為p(x,y)+q(x,y)+r(x,y)∈μ4，所以〈xpx+xqx+xrx,ypx+yqx+yrx,xpy+xqy+xry〉εn∈μ4，則由上面三個等式有x4,x3y,x2y2,xy3∈μ·J(h)+μ5，因此

因此可得p(x,y)中不含xy3和y4項. 下面用反證法來證明這個結(jié)論.

對x2y+ypy+yqy+yry關(guān)于y4作類似的討論，可得到e=0. 因此p(x,y)中不含y4項.

記u(x,y)=ax2+bxy+cy2，由d=e=0，有p(x,y)=x2u(x,y)，所以

h(x,y)=x2y+x2u(x,y)+q(x,y)+r(x,y).

作φ(x,y)=(x,y-u(x,y))，顯然φ∈L2，則

h°φ(x,y)=x2(y-u(x,y))+x2u(x,y-u(x,y))+q(x,y-u(x,y))+r(x,y-u(x,y))=

x2y-x2u+x2(u(x,y)+ξ2(x,y))+q(x,y)+ξ3(x,y)+r(x,y)+ξ4(x,y)=

x2y+ξ5(x,y)，

引理12 在情形(Ⅳ)的條件下，g右等價于下列函數(shù)芽之一：

x2y±y6，其中“±”取決于y6項系數(shù)的符號.

h1(x,y)=x2y+x2v(x,y)+axy5+by6.

ξ6(x,y))+axy5+by6+ξ7(x,y)=

x2y-axy5-x2v(x,y)+x2v(x,y)+axy5+by6+ξ8(x,y)=

x2y+by6+ξ8(x,y)，

其中ξ6(x,y)∈μ5,ξ7(x,y)∈μ7，ξ8(x,y)∈μ7. 因為h1°φ1是6-決定的，所以h1°φ1右等價于j6(h1°φ1(x,y))=x2y+by6，由右等價關(guān)系的傳遞性知，g右等價于芽x2y+by6.

記h2(x,y)=x2y+by6，則下面用反正法來證明b≠0.

假設(shè)b=0，則h2(x,y)=x2y. 此時J(h2)=〈xy,x2〉εn，所以h2的余維是無限的，這與codimh2=7矛盾，所以b≠0.

其中“±”取決于y6項系數(shù)的符號. 則由右等價關(guān)系的傳遞性，g右等價于下列函數(shù)芽之一：

x2y±y6.

由引理11和引理12有以下結(jié)論.

定理2 設(shè)g∈μ3，且μ·J(g)的余維分布如情形(Ⅳ)所示，則g右等價于下列函數(shù)芽之一：

x2y±y6.

結(jié)合定理1，定理2和分裂引理可以得到余秩為2余維為7的光滑函數(shù)芽的完整分類，結(jié)論如下：

定理3 設(shè)f∈εn，corankf=2，codimf=7，則f右等價于下列函數(shù)芽之一：

[1] ARNOLD V I. Catastrophe Theory[M]. New York:Springer-Verlag, 1984.

[2] ARNOLD V I. 突變理論[M].周燕華，譯.北京：高等教育出版社, 1990.

[3] 唐鐵橋, 梅超群. 函數(shù)芽的有限R*r(S;n)-決定性[J]. 數(shù)學(xué)研究, 2004,37(4):404-406.

[4] PORTO P F S, LOIBEL G F. Relative finite determinacy and relative stability of function germs[J]. Bol Soc Bras Mat, 1978,9(2):1-18.

[5] 石昌梅. 余秩是2余維為6的光滑實函數(shù)芽的分類[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2015,45(8)：253-260.

[6] 王 勇，孫偉志. 余秩不等于2余維為7的可微函數(shù)芽的分類[J]. 東北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2001,33(4):547-558.

[7] 蘇 丹. 余維大于5小于等于8的可微函數(shù)芽分類討論[D]. 長春: 東北師范大學(xué), 2002.

[8] 熊宗洪, 石昌梅, 岑燕斌. 某些二元函數(shù)芽的一個特殊性質(zhì)和它們的標(biāo)準(zhǔn)形式[J]. 貴州師范大學(xué)學(xué)報, 2010,28(1):84-87.

[9] 李養(yǎng)成. 光滑函數(shù)芽的奇點理論[M]. 北京：科學(xué)出版社，2002.

[10] MARTINET J. Singularities of smooth function and maps[M]. Cambridge: Cambridge University Press,1982.

(編輯 HWJ)

Classification of Germs of Smooth Functions with Corank 2 and Codimension 7

GUORui-zhi*,SHIGao-li

(College of Mathematics and Computer Science, Hunan Normal University, Changsha 410081, China)

By using of the theory of finite determinacy, splitting lemma and Nakayama lemma, in this paper, we have established a decreasing sequence with Jacobi ideal of a germ of smooth functions. We have also examined the distribution of codimension of the Jacobi ideal. The classification of germs of smooth functions with corank 2 and codimension 7 under the condition of right equivalence has been obtained, with normal forms of this germs explicitly given.

right equivalence; codimension; corank; classification

10.7612/j.issn.1000-2537.2017.02.011

2016-07-05

國家自然科學(xué)基金資助項目(10971060)

O192

A

1000-2537(2017)02-0066-10

*通訊作者,E-mail：471738824@qq.com