線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

賈麗麗

摘要：線性切換系統(tǒng)所有的子系統(tǒng)都是線性時變或者線性時不變的，線性切換系統(tǒng)能夠十分精確的表示一些動態(tài)復雜的工程系統(tǒng)，更容易處理，線性切換系統(tǒng)的研究對于電力系統(tǒng)、空中交通管制等多種實際系統(tǒng)都十分有利，本文對線性切換系統(tǒng)進行簡單介紹，重點分析研究了其穩(wěn)定性問題。

關鍵詞：線性切換系統(tǒng)；穩(wěn)定性；分析方法

中圖分類號：TP11 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2017）01-0228-02

近年來，混合系統(tǒng)理論在工業(yè)制造、航空交通控制、機器人等行業(yè)應用十分的廣泛，已經(jīng)成為計算機科學、應用數(shù)學、自動化控制等領域研究的熱點問題之一，切換系統(tǒng)屬于一種十分典型的混合系統(tǒng)，它的穩(wěn)定性問題始終是相關學者及研究人員討論的重要方向，本文主要在已有的理論基礎上提出一種研究線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題的方法，僅為相關研究人員的工作提供參考。

1 線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性問題概述

線性切換系統(tǒng)的典型特點包含有多個子系統(tǒng)，且子系統(tǒng)之間選取的切換信號不同，可能會對系統(tǒng)產生不同的影響。線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究主要包括三個基本問題，其一，在任意切換信號之下找出能夠保證切換系統(tǒng)始終處于穩(wěn)定狀態(tài)的條件；其二，切換信號受限的條件下，線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性問題；其三，穩(wěn)定切換信號的設計問題。就目前來說，第一個問題已經(jīng)得到了有效的解決，只要所有的子系統(tǒng)都存在一個共同的Lyapunov函數(shù)，系統(tǒng)在任意的切換條件下都穩(wěn)定。第二個問題主要是驗證系統(tǒng)在指定的切換信號之下是否穩(wěn)定，切換信號不同，子系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡可能也存在著很大的區(qū)別，某些切換信號之下，原本穩(wěn)定的子系統(tǒng)可能會變得不穩(wěn)定，原本不穩(wěn)定的系統(tǒng)也可能會變得穩(wěn)定，因此需要對子系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題進行簡單的探究分析。第三個問題是如何構造一個合適的切換信號使得線性切換系統(tǒng)始終保持穩(wěn)定的問題。一般情況下，通過Lyapunov函數(shù)、分段Lyapunov函數(shù)、完備性條件等等可以設計出穩(wěn)定的切換信號。

目前來說，線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的分析主要應用統(tǒng)一Lyapunov函數(shù)、多Lyapunov函數(shù)等等方法進行。相關研究顯示，如果線性切換系統(tǒng)的子系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，則子系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣可以互換，整個線性切換系統(tǒng)都是漸進穩(wěn)定的。研究人員通過李代數(shù)法對統(tǒng)一Lyapunov函數(shù)進行了研究探討，將統(tǒng)一Lyapunov函數(shù)的存在行為問題轉換為切換系統(tǒng)李代數(shù)可解性問題，發(fā)現(xiàn)當切換系統(tǒng)的線性子系統(tǒng)穩(wěn)定，對應的李代數(shù)可解，則系統(tǒng)存在統(tǒng)一的Lyapunov函數(shù)，且任意切換序列之下，系統(tǒng)都是全局一致指數(shù)穩(wěn)定的。部分研究人員同線性切換系統(tǒng)的特點出發(fā)提出了多Lyapunov函數(shù)方法，指出如果切換系統(tǒng)的子系統(tǒng)對應的Lyapunov函數(shù)相對切換序列滿足相應的遞減條件，則該線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定，本文在上述研究的基礎上提出一種線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法，僅為相關研究人員的這部分工作提供參考。

2 線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

本文提出了一種新的穩(wěn)定性分析方法，即給定切換序列，如果切換至子系統(tǒng)的時間大于對映子系統(tǒng)的最小滯留時間，則說明該線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定，下文就該分析方法進行詳細的介紹，并舉例說明應用過程。

2.1 問題描述

某線性切換系統(tǒng)由一組n*n維Hurwitz矩陣組成，線性切換系統(tǒng)為x=Ap（t）x。切換序列p（t）∈{1，2，3……N}，序列分段右連續(xù)。第i個子系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣記為Hm（t）==，其中m=（1，2，3……N），由于Am為Hurwitz矩陣，因此各個系統(tǒng)滿足以下幾個條件：Um∈[0，+∞]時，成立，也就是說，Hm（t）有界；，因此，對于第m個子系統(tǒng)來說，fm∈[0，+∞]，當t>fm時，，（m=1，2，3……N）。任意初始狀態(tài)下，設系統(tǒng)的切換序列為S（i0，t0），（i1，t1），……（in，tn），線性切換系統(tǒng)在某時刻切換到第j個系統(tǒng)ij時，如果ij≠ij+1，且tj+1-tj>fij（j=0，1……N），則表明該線性切換系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。

2.2 舉例分析

舉例說明，對于系統(tǒng)x=Ap（t）x，它的子系統(tǒng)為兩線性定常系統(tǒng)，也就是說A1=，A2=，A1A2的特征均根計算可知為-1i，實部為負值，也就說子系統(tǒng)x=Ai（x）（i=1，2）是全局指數(shù)穩(wěn)定的，整個切換系統(tǒng)并不一定穩(wěn)定，當切換序列滿足Um∈[0，+∞]時，的充分條件時，切換系統(tǒng)呈現(xiàn)出漸進穩(wěn)定的狀態(tài)，利用2范數(shù)及MATLAB軟件計算可以得出，當t>1.2s時，通過，可以得出子系統(tǒng)1、2的最小滯留時間為f1>1.2s，f2=1.2s。任意初始狀態(tài)之下，設系統(tǒng)的切換序列為設系統(tǒng)的切換序列為S（i0，t0），（i1，t1），……（in，tn），線性切換系統(tǒng)在某時刻切換到第j個系統(tǒng)ij時，如果ij≠ij+1，且tj+1-tj>fij（j=0，1……N），線性切換系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，使用周期切換序列仿真處理，系統(tǒng)的初始值為[1，1]T切換間隔時間為2s時，線性切換系統(tǒng)的曲線如圖1所示。

這種穩(wěn)定性分析的方法在子系統(tǒng)穩(wěn)定的線性切換系統(tǒng)之中比較適用，不需要建立Lyapunov函數(shù)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析主要從時間切換的角度進行，實用性比較強，適用于各子系統(tǒng)是穩(wěn)定的線性切換系統(tǒng)。該方法的明顯優(yōu)點是不需要構造李雅普諾夫函數(shù)，直接從切換時間的角度分析穩(wěn)定性，具有一定實用性。定理“Um∈[0，+∞]時，成立，也就是說，Hm（t）有界”屬于充分條件，如果線性切換系統(tǒng)不滿足這一條件，則系統(tǒng)不一定穩(wěn)定，但穩(wěn)定的系統(tǒng)必須要滿足這一條件。使用上述方法分析線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性時需要使用MAPLE、M ATLAB等等工具軟件將各個子系統(tǒng)對應的最小滯留時間計算出來，與此同時還需要了解切換時間的范圍，目前來說這一要求在一些子系統(tǒng)不穩(wěn)定或者非線性的切換系統(tǒng)之中還不能實現(xiàn)，因此，該分析方法能否在除了子系統(tǒng)穩(wěn)定的線性切換系統(tǒng)之外應用還需要進一步的分析探討。

3 結語

本文主要就現(xiàn)階段相關專業(yè)人員就切換系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的現(xiàn)狀進行了簡單的歸納分析，在此基礎上介紹了一種適用于子系統(tǒng)穩(wěn)定的、不借助Lyapunov函數(shù)的從時間切換角度進行分析的線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法，受篇幅所限，本文介紹的內容十分的淺薄，僅為相關學術研究人員的有關工作提供簡單的參考。

參考文獻

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