分數(shù)階微分的圖像邊緣檢測研究

王榕國

摘要：數(shù)字圖像的邊緣檢測是圖像分割、區(qū)域形狀檢測、目標(biāo)區(qū)域識別等圖像分析和處理領(lǐng)域重要基礎(chǔ)。在數(shù)字圖像的識別領(lǐng)域中，是圖像特征檢測的重要方法；圖像的邊緣檢測是數(shù)字圖像理解與分析的首步，它是機器視覺領(lǐng)域的一個重要的研究課題。分數(shù)階微分理論應(yīng)用在圖像增強已成為數(shù)字圖像增強中一種新型的處理方法。隨著人們對分數(shù)導(dǎo)數(shù)理解和研究的加深，它的優(yōu)勢逐漸的被人們所發(fā)覺。本文利用分數(shù)階微分的基本性質(zhì)通過差分定義制作，使圖像的邊緣的信息能夠有較好的連續(xù)性，能得到更好的效果而不增強噪聲。

關(guān)鍵詞：邊緣檢測；分數(shù)階微分；圖像增強

中圖分類號：TP391.4 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-9416（2017）01-0037-02

1 引言

邊緣檢測是研究數(shù)字圖像的基礎(chǔ)，濾波是一種被人們所熟知的也是常用的一種方法，而我們可以用多種的方法來濾波，本文研究的邊緣檢測，就是它的子類，它對圖像的分割，區(qū)域的檢測都有著重要的作用。邊緣是指圖像的輪廓的灰度級的程度，它在理解圖像的信息中有著重要的作用，同時也是第一步，邊緣主要是存在圖像的區(qū)域和區(qū)域，還有目標(biāo)和目標(biāo)等形式之中。因此，它在圖像的分割和紋理特征的分析中占著重要的作用，并且我們所要分析的紋理特征對圖像的分割有著重要的依賴性。因為邊緣是圖像最基本的也是最為重要的基礎(chǔ)，所以它能被定義成一門獨立的新型的學(xué)科，從這們學(xué)科中可以畫出圖像各區(qū)域的形狀，還能從這些特性中分析出圖像的信息，所以無論是對于人類還是機器視覺來說，它都是一個最為經(jīng)典的課題。

本論文就是研究圖像的邊緣檢測中分數(shù)階微分的算法，分數(shù)階微分算法可以更好地改善圖像的質(zhì)量，能使圖像的邊緣保持連續(xù)性，且不粗糙，使圖像的邊緣的特征能夠得到更好的突出，有利于后期圖像提取的各種操作操作。用MATLAB作為實驗的平臺，在眾多的方法中總結(jié)不同的優(yōu)點和對比分析。

2 研究現(xiàn)狀

如今有關(guān)于分數(shù)階微積分的研究平均每年都有數(shù)百篇論文出現(xiàn)，而且還在飛速的增長。分數(shù)階微積分算法有難度，因為算法存在一些問題，主要有：（1）關(guān)于時間的問題距今為止還沒有發(fā)現(xiàn)解決方法。很多數(shù)學(xué)家提出的方法只是對很少數(shù)的時候有效果，不具有普遍的適應(yīng)性。因此要解決關(guān)于時間的問題還要走很長的路。（2）由于現(xiàn)在分數(shù)階的定義還在爭論不休，無法得到統(tǒng)一，因此現(xiàn)在分數(shù)階微分的定義有各種各樣，現(xiàn)在還未有一個定義能夠得到大部分數(shù)學(xué)家的認可。

這里關(guān)于數(shù)值算法的分數(shù)階微分的方程有：（1）級數(shù)逼近法；（2）有限元法；（3）無網(wǎng)格方法；（4）有限差分法；還有一些新的算法等等。

以上算法各有各的優(yōu)點和缺點，每一張算法都有自己所適用的條件和方程，如果想要能夠很靈活的應(yīng)用這寫方法，這就需要對各種方法很熟悉，才能夠在所需要哪一種方法的時候就能立刻給出相對應(yīng)正確的方法，不然就會得到錯誤的答案。在經(jīng)過很多同一類別的文獻對比之后，通常我們在計算時間分數(shù)階微分的時候，都是使用Caputo這個人的定義，在計算空間分數(shù)階微分方程的數(shù)值的時候一般是使R-L這兩位數(shù)學(xué)家的定義和有關(guān)級數(shù)的定義。

3 分數(shù)階微分提取圖像邊緣信息的優(yōu)點

圖像中像素不變的區(qū)域、紋理區(qū)域、紋理和邊緣區(qū)域分別對應(yīng)的是信號的低頻、中頻和高頻。通過實驗生成的圖形分析可以看出當(dāng)微分階數(shù)減小到0.1階后，微分運算不會使高頻升高太多，低頻也不會進行過多的抑制。可見，在0.1階時，微分對圖像邊緣輪廓的提升和圖像條紋的增強并無顯著的效果。平滑區(qū)域的紋理信息會在圖像邊緣的檢測時對其產(chǎn)生較大的影響。如果采用諸如Gauss-Laplace算子與Sobel算子檢測灰度級（邊緣檢測）變化不大的圖像邊緣，會削弱灰度變化不大的紋理細節(jié)信息。因此可以說，基于整數(shù)階微分的圖像邊緣增強算法不是對平滑區(qū)域中的紋理細節(jié)進行檢測的有效方法。而經(jīng)過分數(shù)階微分處理過的圖像，其中的平滑區(qū)域的紋理細節(jié)信息不僅不會被削弱，還會在某種程度上保留有非線性?；诜謹?shù)階微分的階數(shù)連續(xù)性，通過調(diào)整分數(shù)階的值，我們可以得到的圖像邊緣信息是效果最佳的，所以分數(shù)階微分要比整數(shù)階導(dǎo)數(shù)更有利于圖像的邊緣信息的提取。

邊緣和噪聲有共同點，都擁有大量的高頻成分。原因在于邊緣和噪聲是不連續(xù)的灰度圖像特征和局部的突變，會出現(xiàn)相應(yīng)的像素灰度。在邊緣檢測時，由于整數(shù)階的邊緣檢測算子對噪聲的敏感可能會使噪聲增加，使得傳統(tǒng)邊緣檢測算子對噪聲圖像處理結(jié)果會產(chǎn)生很多虛假邊緣不準確，效果不佳。通過分析相關(guān)特性我們可以發(fā)現(xiàn)利用分數(shù)階來求圖像的邊緣，可以大大的抑制噪聲的產(chǎn)生。本文是根據(jù)經(jīng)典分數(shù)階微分的定義來構(gòu)造分數(shù)階微分的掩模模板，利用分數(shù)階微分的特性來保證提取的精準度，以獲取到相比較而言效果更好的圖像邊緣信息。

4 分數(shù)階微分應(yīng)用在圖像上的邊緣提取實驗仿真及結(jié)果分析

4.1 提取圖像的邊緣信息

為了完成標(biāo)準化流程模板，首先要將微分算子的每一項都除以（8-12a+4a），然后再進行卷積和運算。完成運算后，對于鄰近像素值發(fā)生變化的區(qū)域，輸出像素值將會有所不同；對于所在基本相同的區(qū)域的相鄰像素值，輸出像素值基本不會發(fā)生變化。最后用經(jīng)過掩模算子運算后將得到的圖像的象素值與原圖像相對應(yīng)象素值來做差運算，那么所得到圖像經(jīng)過分數(shù)階微積分運算產(chǎn)生變化的信息值，通過對比分析說明獲得的圖像邊緣信息具有很高的信噪比。可以通過調(diào)節(jié)分數(shù)階微分的階次來得到輸出像素值，可以看出5*5模板削弱噪聲并加強邊緣信息比3*3模板的效果好。因此通過分數(shù)階微分算子后，圖像的平滑區(qū)域雖然保持不變，其紋理更加清晰，邊緣特征也更為突出。

4.2 各不同階微分掩模算子加強Lena圖像邊緣信息的實驗仿真

將已構(gòu)建的分數(shù)階微分掩模模板放在Matlab平臺下實現(xiàn)圖像的紋理增強和邊緣檢測。本文分別在3*3模板和5*5模板下將圖片先濾波后再經(jīng)過Canny算子提取圖像的邊緣信息。

4.2.1 Lena圖各階微分掩模算子在3*3模板下得到的濾波圖像實驗

3*3模板：H=[-v -v -v；-v 8 -v；-v -v -v]/（8-7*v）；

主函數(shù)代碼如下：

clc；

clear all；

tic；

im0=imread（lena.bmp）；

imshow（im0）

title 原始圖像

im1=rgb2gray（im0）；

imc=Fwf（im1，0.1）；

imc2=uint8（imc）；

imshow（imc2）

title 濾波后圖像

由圖1可以看出，采用不同分數(shù)階微分算子把圖片在3*3模板下進行濾波后求邊緣，實驗結(jié)果表明，圖片隨著階數(shù)的增加紋理逐漸增多，但是出現(xiàn)了一些虛假邊緣，部分陰影也被當(dāng)做了邊緣被顯示出來。通過對比可以得出圖片在3*3模板下0.4階濾波結(jié)果圖像是最好的。

4.2.2 Lena圖各階微分掩模算子在5*5模板下得到的濾波圖像實驗

5*5模板：H=[-v -v -v -v -v；-v -v -v -v -v；-v -v 8 -v -v；-v -v -v -v -v；-v -v -v -v -v；]/（16-24.659*v+8*v^2）；

由圖2可以看出，采用不同分數(shù)階微分算子把圖片在5*5模板下進行濾波后求邊緣，實驗結(jié)果表明，n的值應(yīng)取0.1到0.2之間，這樣圖像的效果最好，n從0.3開始直達0.9時就會出現(xiàn)虛擬邊緣，有時還看不見邊緣，部分陰影也被當(dāng)做邊緣被顯示出來，通過對比可以得到圖片在5*5模板下0.2階是最好的。

用數(shù)學(xué)算法實現(xiàn)在 Grümwald-Letnikov分數(shù)階微分基礎(chǔ)上構(gòu)造的n階分數(shù)階空域微分增強算子。實驗表明，各方向加權(quán)和最大值增強算法效果與模板窗口大小有關(guān)，模板窗口越是大，窗口中的像素點的灰度值關(guān)聯(lián)性就越小，所以3*3模板在增強圖像的紋理和邊緣信息上要比5*5模板好。對3*3模板下0.4階濾波結(jié)果圖像和5*5模板下0.2階濾波結(jié)果圖像進行對比可以得到，5*5模板下0.2階濾波結(jié)果圖像相對于3*3模板下0.4階濾波結(jié)果圖像要差。

5 結(jié)語

本文將分數(shù)階微分應(yīng)用于圖像邊緣檢測分析，從新的角度提出了分數(shù)階微分圖像增強的算法，將其放在MATLAB平臺下實現(xiàn)邊緣檢測，從而增強紋理細節(jié)圖像邊緣。它的創(chuàng)新點包括：

（1）如果采用以往的整數(shù)階微分對圖像檢測紋理信息，那么就會對圖像灰度變化不大的紋理細節(jié)會受到很大程度的線性衰弱。本文是將作用于圖像的微分階數(shù)由整數(shù)（不可連續(xù)變化的）延伸到分數(shù)（可以連續(xù)變化的），分數(shù)階微分可以對灰度變化不大的紋理細節(jié)進行線性保留，并且可以通過調(diào)節(jié)微分算子的階數(shù)來得到效果最好的圖像邊緣信息。

（2）先在分數(shù)階微分濾波器進行低通濾波后對圖像進行增強，然后經(jīng)過canny算子求其邊緣。不止運算和編程比以往檢測邊緣的程序要簡單，得到的圖像紋理細節(jié)也得到加強。

分數(shù)階微分應(yīng)用于圖像邊緣檢測還只是處于發(fā)展階段，并不成熟。所以其理論在圖像的復(fù)原、紅外線識別、遙感航天、軍事公安等領(lǐng)域有很大的研究空間，有待于學(xué)者們進一步探究。

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