分?jǐn)?shù)階離散灰色模型及其在備件需求預(yù)測中的應(yīng)用

潘顯俊， 張煒， 趙田， 郭小強(qiáng)

(1.裝備學(xué)院, 北京 101416; 2.63872部隊, 陜西 華陰 714200)

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分?jǐn)?shù)階離散灰色模型及其在備件需求預(yù)測中的應(yīng)用

潘顯俊1， 張煒1， 趙田1， 郭小強(qiáng)2

(1.裝備學(xué)院, 北京 101416; 2.63872部隊, 陜西 華陰 714200)

針對某型新概念武器裝備缺乏可比對的現(xiàn)有裝備，備件需求歷史數(shù)據(jù)少，對裝備本身保障特性缺乏了解等問題，提出應(yīng)用分?jǐn)?shù)階GM(r,1)模型進(jìn)行備件需求預(yù)測的方法。應(yīng)用矩陣擾動理論證明了GM(r,1)模型的擾動界小于GM(1,1)模型的擾動界。利用1階累加矩陣及其矩陣乘法運(yùn)算推導(dǎo)出p階累加矩陣。應(yīng)用分?jǐn)?shù)階差分方程理論，將p階累加矩陣推廣到r分?jǐn)?shù)階累加矩陣，建立分?jǐn)?shù)階累加灰色模型GM(r,1)。通過矩陣求逆運(yùn)算，得到r分?jǐn)?shù)階累減矩陣，簡化了r分?jǐn)?shù)階累減計算方法。應(yīng)用遺傳算法確定GM(r,1)模型最優(yōu)階數(shù)，利用GM(r,1)模型預(yù)測維修備件需求，并通過實(shí)際數(shù)據(jù)實(shí)驗，表明GM(r,1)模型比GM(1,1)模型具有更好的預(yù)測性能。

兵器科學(xué)與技術(shù)； 裝備保障； 灰色模型； 備件； 需求預(yù)測； 分?jǐn)?shù)階； 遺傳算法

0 引言

在裝備保障中，維修保障占據(jù)主要地位，而維修備件需求預(yù)測是裝備維修保障一項重要工作，它直接影響備件庫存策略、維修保障費(fèi)用和裝備維修效率。備件的短缺將直接影響裝備戰(zhàn)備完好性和使用可用度。一直以來如何準(zhǔn)確地預(yù)測備件需求是一個研究熱點(diǎn)。備件需求預(yù)測可以分為兩大類：一類是在工程研制及生產(chǎn)階段，通常采用的方法有相似分析法、工程分析法、專家決策法、經(jīng)費(fèi)類比法和建模仿真等方法，預(yù)測備件需求，建立初始備件方案，使得裝備在部署時，能夠得到及時的保障；另一類是在裝備部署階段，可以利用備件需求統(tǒng)計數(shù)據(jù)，進(jìn)行備件需求預(yù)測，進(jìn)一步完善或優(yōu)化備件保障方案，提高備件保障能力。但是對于某型新概念武器缺乏類似可以參照的裝備、采用新機(jī)理和新材料部件的可靠性數(shù)據(jù)也不夠準(zhǔn)確等原因，降低了利用以上傳統(tǒng)方法進(jìn)行初始備件預(yù)測的精度，增加了前期備件保障工作的風(fēng)險。初始備件方案與實(shí)際備件需求情況相差甚遠(yuǎn)，造成某些備件嚴(yán)重短缺，降低保障系統(tǒng)保障能力；某些備件存儲過多，造成資源浪費(fèi)。同時，由于該型新概念武器裝備數(shù)量和使用單位極少，相應(yīng)的備件需求統(tǒng)計數(shù)據(jù)樣本量也極少。因此在該型新概念武器裝備使用初期，如何利用極少的年度備件需求數(shù)據(jù)，預(yù)測備件需求，對于提高該型裝備保障系統(tǒng)備件保障能力、完善和改進(jìn)保障系統(tǒng)顯得尤為迫切。

針對以上兩類備件需求預(yù)測問題，目前主要采用的方法有：1)基于裝備可靠性數(shù)據(jù)的備件需求預(yù)測[1-4]；2)基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)(SVM)等人工智能學(xué)習(xí)方法的備件需求預(yù)測[5-7]；3)基于建模仿真的備件需求預(yù)測[8-10]；4)基于時間序列分析的數(shù)據(jù)分析方法[11-13]；5)上述幾種方法的綜合方法[14-15]。針對備件需要的預(yù)測，國外有可修復(fù)備件多級供應(yīng)技術(shù)(METRIC)系列模型和Simlox、OPUS10等相應(yīng)的備件優(yōu)化決策和評估工具，主要應(yīng)用于建立和評估初始備件方案。第1種方法需要準(zhǔn)確的裝備可靠性數(shù)據(jù)以及可靠性數(shù)據(jù)的分布信息。通常需要利用數(shù)理統(tǒng)計方法，對裝備的可靠性參數(shù)和維修性參數(shù)，如故障率、修復(fù)率等參數(shù)進(jìn)行估計，需要一定數(shù)量的統(tǒng)計樣本，其估計精度和可信度依賴于樣本量的大小，經(jīng)常用于初始備件方案的確定。第2種方法，通過分析影響備件需求的因素，如任務(wù)時間、工作環(huán)境、人員技能等，并對影響因素進(jìn)行量化，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或SVM等方法，建立影響因素與備件需求量的映射關(guān)系，進(jìn)而預(yù)測各種因素組合下的備件需求。其本質(zhì)是一種聚類方法，其精度取決于學(xué)習(xí)樣本的數(shù)量和樣本準(zhǔn)確性。該方法需要足夠的歷史數(shù)據(jù)，對模型進(jìn)行訓(xùn)練，適用于同類型裝備的備件需求預(yù)測。第3種方法，對數(shù)據(jù)的分布類型沒有嚴(yán)格的要求，可以適應(yīng)各種不同的數(shù)據(jù)模型，利用裝備可靠性、維修性和保障性參數(shù)、保障系統(tǒng)信息和使用任務(wù)信息，建立準(zhǔn)確的仿真模型，通過模型仿真運(yùn)行，得到備件需求信息，該方法在裝備各個壽命階段都有廣泛應(yīng)用。該方法需要詳細(xì)、準(zhǔn)確掌握裝備系統(tǒng)和保障系統(tǒng)信息，建模工作復(fù)雜、應(yīng)用要求高，對于“信息不完全”灰色系統(tǒng)難以建立可信的仿真模型。第4種方法直接以備件需求的歷史數(shù)據(jù)為研究對象，應(yīng)用時間序列分析技術(shù)，對備件需求進(jìn)行預(yù)測。常用的方法有時間序列擬合、自回歸移動平均(ARMA)以及小波分析和灰色模型等。文獻(xiàn)[13]利用小波分析、ARMA方法和灰色模型GM(1,1)，進(jìn)行備件需求預(yù)測，提高了預(yù)測精度，但是過程過于復(fù)雜，同時小波分析需要較多的樣本數(shù)據(jù)。與文獻(xiàn)[13]類似，結(jié)合其他方法改進(jìn)GM(1,1)預(yù)測精度[11-13,15]，都需要足夠的樣本數(shù)據(jù)，沒有從根本上解決“小樣本”的問題；基于數(shù)理統(tǒng)計的方法，需要有一定數(shù)量的樣本量，雖然許多學(xué)者針對小樣本的問題提出了相應(yīng)的解決方案[16-17]，但是還不能解決“小樣本，貧信息”的問題。對此，鄧聚龍首次提出了灰色理論[18]，解決“小樣本、貧信息”系統(tǒng)問題，劉思峰等[19]對灰色系統(tǒng)理論在模型預(yù)測中的應(yīng)用進(jìn)行深入的研究，進(jìn)一步豐富了灰色理論的內(nèi)容。

灰色模型GM(1,1)可以對“小樣本，貧信息”系統(tǒng)做出很好的預(yù)測，近年來得到越來越多的重視，廣泛應(yīng)用于工程、經(jīng)濟(jì)、農(nóng)業(yè)和軍事等領(lǐng)域。GM(1,1)模型在進(jìn)行數(shù)據(jù)累加計算時，對數(shù)據(jù)序列采用的等值加權(quán)，這與“新信息優(yōu)先”原理不一致，為此利用分?jǐn)?shù)階累加的概念，建立分?jǐn)?shù)階GM(r,1)模型[20-21]，分?jǐn)?shù)階累加灰色模型GM(r,1)可以降低預(yù)測模型擾動界，提高預(yù)測模型的穩(wěn)定性，分?jǐn)?shù)階反向累加灰色模型GOM(r,1)可以改善遞減趨勢序列的預(yù)測精度。

由于該型新概念武器裝備，缺少準(zhǔn)確的可靠性和維修性參數(shù)，也沒有類似的參照裝備，其初始備件方案誤差較大。并且該型裝備數(shù)量和使用單位極少，備件需求數(shù)據(jù)樣本少，屬于“小樣本，貧信息”系統(tǒng)。將分?jǐn)?shù)階灰色模型應(yīng)用于該型裝備的備件需求預(yù)測，解決了“小樣本”數(shù)據(jù)預(yù)測問題，與GM(1,1)相比，分?jǐn)?shù)階灰色模型提高了預(yù)測精度。本文利用矩陣方法，構(gòu)建了分?jǐn)?shù)階離散灰色模型、分?jǐn)?shù)階累加(和分)矩陣和分?jǐn)?shù)階累減(差分)矩陣，代替文獻(xiàn)[22]的累加算子和累減算子，解決了對于任意實(shí)數(shù)累加算子和累減算子不一定滿足指數(shù)法則的問題；提高了灰色模型預(yù)測精度，簡化了分?jǐn)?shù)階離散灰色模型計算方法，并將其應(yīng)用到備件需求預(yù)測中；通過具體實(shí)例驗證模型的有效性，拓展了灰色預(yù)測模型工程應(yīng)用范圍，為小樣本數(shù)據(jù)的備件需求預(yù)測提供了一種新方法。

1 整數(shù)階累加灰色模型

1.1 灰色模型GM(1,1)

(1)

定義1 階累加矩陣Σ=

α、β的最小二乘估計為

(2)

1.2 整數(shù)階離散灰色模型

定理1 設(shè)非負(fù)原始序列為X(0)=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)]，則p階累加生成序列為

(3)

式中：k=1,2,…,n；p∈Z+.

證明 原始序列X(0)的p∈Z+階累加生成序列為X(p)=X(0)Σp，只要證明

(4)

(4)式可以通過歸納法證明。

(5)

根據(jù)1.1節(jié)和本節(jié)建立的累加矩陣Σ和Σp，其轉(zhuǎn)置矩陣ΣT和(Σp)T就是相應(yīng)的1階和p階反向累加矩陣。通過X(p)=X(0)(Σp)T實(shí)現(xiàn)序列反向累加生成，可以便捷地建立反向累加灰色模型GOM(p,1).

因為，序列X(0)=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)]的1階反向累加，定義為x(1)(k)=

X(1)=X(0)·ΣT，

(6)

2 分?jǐn)?shù)階累加灰色模型

為定義分?jǐn)?shù)階累加運(yùn)算，首先，引入上升階函數(shù)(x)(n)記[22]

(7)

下面將GM(p,1)的階數(shù)p推廣到一般正實(shí)數(shù)r，從而得到分?jǐn)?shù)階累加灰色模型GM(r,1).

結(jié)合(7)式可以得到

將p推廣到一般的正實(shí)數(shù)r，令r∈R+，定義

(8)

為r階累加生成序列。當(dāng)r∈(0,+∞)時，x(r)(k)為r分?jǐn)?shù)階累加生成，寫成矩陣形式：

X(r)=X(0)Σr，

(9)

與整數(shù)階累加矩陣Σp類似，Σr的轉(zhuǎn)置矩陣(Σr)T為r分?jǐn)?shù)階反向累加矩陣。通過X(r)=X(0)(Σr)T實(shí)現(xiàn)序列的分?jǐn)?shù)階反向累加生成，建立反向累加灰色模型GOM(r,1).

分?jǐn)?shù)階GM(r,1)模型的離散形式為

x(r)(k+1)=αx(r)(k)+β，

(10)

式中：r∈(0,+∞).

引入累加矩陣和累減矩陣，不僅簡化文獻(xiàn)[22]計算r階差分方法，而且避免任意實(shí)數(shù)階累加算子和累減算子在某些時候不滿足指數(shù)法則的情形，拓寬了累加運(yùn)算和累減運(yùn)算的使用范圍。利用累加矩陣的轉(zhuǎn)置直接得到序列的反向累加矩陣，通過矩陣乘法實(shí)現(xiàn)反向累加序列生成，建立反向累加灰色模型，得到了累加序列和反向累加序列生成的統(tǒng)一表達(dá)形式。引入上升階函數(shù)，計算r階累加矩陣和累減矩陣，通過矩陣運(yùn)算得到累加序列和累減序列，算法簡單，適合工程應(yīng)用。

圖1 累加系數(shù)與r、n的關(guān)系Fig.1 Relationship between accumulative coefficient with r and n

3 分?jǐn)?shù)階灰色模型性能分析

利用矩陣擾動分析技術(shù)，分析GM(r,1)模型性質(zhì)。當(dāng)原始數(shù)列出現(xiàn)噪聲擾動時，計算GM(r,1)模型解的擾動界，并與GM(1,1)模型進(jìn)行比較。結(jié)果表明GM(r,1)擾動界小于GM(1,1)的擾動界GM(r,1)具有較好的穩(wěn)定性，可以降低灰色模型預(yù)測誤差。

對于線性最小二乘問題

min‖Ax-b‖，

(11)

存在最小范數(shù)解為x=A?b，A?為A的廣義逆矩陣，A?=(ATA)-1.

設(shè)B=A+E，c=b+k，線性最小二乘問題

min‖Bx-c‖

(12)

的最小范數(shù)解為x+h.

灰色模型的白化方程系數(shù)是線性最小二乘問題min‖Ba-Y‖的最小范數(shù)解及最小二乘解為a=B?·Y，B?=(BTB)-1為B的廣義逆矩陣。

利用定理2分析GM(r,1)擾動界，并與GM(1,1)的擾動界進(jìn)行對比。

首先分析GM(1,1)的擾動界。設(shè)原始序列的第k項發(fā)生擾動，即x(0)(k)=x(0)(k)+ε，

根據(jù)定理2，得到GM(1,1)的線性最小二乘擾動界為

下面分析GM(r,1)的擾動界，同樣，設(shè)原始序列的第k項發(fā)生擾動，即x(0)(k)=x(0)(k)+ε. 與G(1,1) 擾動界計算方法類似，將1階累加矩陣Σ換成r階累加矩陣Σr，可以計算得到

由C(x(0)(k))和Cr(x(0)(k))可以得出：1)k越大，解的擾動界越小，說明越新的數(shù)據(jù)發(fā)生擾動時，解的擾動界越小，這與“新信息優(yōu)先”原理不符；2)n越小，解的擾動界越小，說明GM(r,1)適合小樣本數(shù)據(jù)預(yù)測；3)當(dāng)0

4 結(jié)合遺傳算法的GM(r,1)預(yù)測算法

應(yīng)用GM(r,1)模型進(jìn)行數(shù)據(jù)序列預(yù)測時，還需要選擇一個合適的分?jǐn)?shù)階累加矩陣的階數(shù)ro. 可以利用成熟的智能優(yōu)化算法，如遺傳算法、模擬退火算法、禁忌搜索算法、粒子群優(yōu)化算法等，對分?jǐn)?shù)階累加矩陣的階數(shù)進(jìn)行估計。在此應(yīng)用遺傳算法，對分?jǐn)?shù)階累加矩陣的階數(shù)進(jìn)行估計，選擇優(yōu)化的階數(shù)ro，建立GA-GM(r,1)預(yù)測算法。遺傳算法主要過程包括編碼(coding)、選擇算子(selection)、交叉算子(crossover)和變異算子(mutation)。以最小化GM(r,1)模型預(yù)測值(0)(i)的相對誤差絕對值的平均值為目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)用遺傳算法確定r的最佳值ro. 階數(shù)r∈(0,1)實(shí)數(shù)，直接采用實(shí)數(shù)編碼。主要算法過程如下：

1)產(chǎn)生初始種群：在(0,1)產(chǎn)生均勻分布的20個不重復(fù)的的隨機(jī)數(shù)[r1,r2,…,r20]作為初始種群；

2)計算個體適應(yīng)度：適應(yīng)函數(shù)為Fitness(ri)=1/MAE；

3)計算個體選擇概率：

4)交叉運(yùn)算：以交叉概率Pc選擇一對個體(rj,rk)進(jìn)行交叉運(yùn)算，產(chǎn)生新個體，r′j=βrj+(1-β)rk，r′k=(1-β)rj+βrk，β為(0,1)之間的一個隨機(jī)數(shù)，檢驗基因的有效性，確保產(chǎn)生基因不重復(fù)；

5)變異運(yùn)算：采用隨機(jī)變異，對種群中某個個體，以變異概率Pm進(jìn)行變異，產(chǎn)生新個體，變異方式是個體ri以隨機(jī)步長d向隨機(jī)方向移動，得到r′i=ri+d，d為一個[-D,D] 之間的隨機(jī)值(D為實(shí)數(shù)值)，檢驗基因的有效性，確保產(chǎn)生基因不重復(fù)。

本文采用交叉概率Pc=0.8，變異概率Pm=0.05 ，使用遺傳算法得到的最優(yōu)分?jǐn)?shù)階累加的階數(shù)ro，應(yīng)用GM(ro,1)模型進(jìn)行預(yù)測，得到預(yù)測結(jié)果。

5 算例與模型驗證

以文獻(xiàn)[13]數(shù)據(jù)對本文的模型進(jìn)行驗證。該文獻(xiàn)使用了1998年～2010年共13個樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。本文選擇2004年～2010年共7個備件需求采樣數(shù)據(jù)，利用前6個樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建GM(r,1)模型，利用最后一個樣本作為預(yù)測值的對比樣本，檢驗?zāi)Ｐ偷挠行?，且?shù)據(jù)樣本量為文獻(xiàn)[13]樣本量的一半，能夠滿足新概念武器裝備數(shù)據(jù)量少的要求。分別利用灰色模型GM(1,1)、分?jǐn)?shù)階反向累加灰色模型GOM(r,1) 和分?jǐn)?shù)階灰色模型GM(r,1)，建立預(yù)測模型。利用遺傳算法，分別得到GOM(r,1)、GM(r,1)的最優(yōu)階數(shù)分別為r1=0.119 0，r2=0.703 0. 表1為各模型的預(yù)測結(jié)果和殘差記錄。

表1 2004年～2010年備件需求數(shù)據(jù)及預(yù)測結(jié)果

注：*作為預(yù)測值對比樣本。

由數(shù)據(jù)計算表明，GM(r,1)模型對2010年度備件需求的預(yù)測結(jié)果顯著優(yōu)于GM(1,1)和GOM(r,1)模型的預(yù)測結(jié)果，證明了本文提出的方法的有效性。對2010年度備件需求預(yù)測結(jié)果與文獻(xiàn)[13]的方法預(yù)測結(jié)果近似，但是本文方法需要的數(shù)據(jù)量更少，適合小樣本數(shù)據(jù)，同時不需要經(jīng)過復(fù)雜的積分等運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)更加簡便，便于工程應(yīng)用。

6 結(jié)論

灰色模型能夠有效地處理“小樣本，貧信息”問題，可以在極少數(shù)據(jù)樣本的情況下，對數(shù)據(jù)序列進(jìn)行預(yù)測。通過對灰色模型的階數(shù)由整數(shù)向分?jǐn)?shù)的進(jìn)一步擴(kuò)展，得到以下研究結(jié)論：

1)根據(jù)分?jǐn)?shù)階差分理論，建立分?jǐn)?shù)階灰色模型GM(r,1)，通過對模型性能的分析表明，GM(r,1)擾動界小于GM(1,1)的擾動界，具有更好的穩(wěn)定性，可以進(jìn)一步降低灰色模型預(yù)測誤差。

2)將矩陣運(yùn)算應(yīng)用序列累加運(yùn)算和序列累減運(yùn)算，建立分?jǐn)?shù)階累加矩陣和分?jǐn)?shù)階累減矩陣。數(shù)據(jù)序列右乘累加矩陣，得到累加序列；數(shù)據(jù)序列右乘累加矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，得到反向累加序列。得到了GM(r,1)和GOM(r,1)的統(tǒng)一表達(dá)形式。累加矩陣的求逆運(yùn)算得到累減矩陣，通過數(shù)據(jù)序列右乘累減矩陣，得到累減序列，簡化了GM(r,1)模型的求解。

3)對樣本數(shù)據(jù)匱乏、系統(tǒng)信息不夠明確的新概念武器裝備的備件需求預(yù)測問題進(jìn)行了研究。研究結(jié)果表明，基于GM(r,1)模型的預(yù)測方法的精度高于GM(1,1)模型，可以解決小樣本數(shù)據(jù)的預(yù)測問題，算法簡單，計算量小，具有良好的應(yīng)用前景。

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Fractional Order Discrete Grey Model and Its Application in Spare Parts Demand Forecasting

PAN Xian-jun1, ZHANG Wei1, ZHAO Tian1, GUO Xiao-Qiang2

(1.Academy of Equipment, Beijing 101416，China; 2.Unit 63872 of PLA, Huayin 714200, Shaanxi, China)

A method of applying fractional GM(r,1) to forecast the demand of the spare parts is proposed for a new concept weapon because of the lack of comparable existing equipment, less historical data on spare parts demand, and the lack of understanding the supportability of equipment. The perturbation bound of GM(r,1) is proven to be smaller than the perturbation bound of GM(1,1) by using the matrix perturbation theory.p-order cumulative matrix is obtained by the first-order cumulative matrix and its matrix multiplication. Based on fractional order differential equation theory, thep-order accumulative matrix is extended to therfractional order accumulative matrix, and a fractional accumulative gray model GM(r,1) is established.rfractional order difference matrix is obtained by matrix inversion, and the calculation method ofrfractional difference is simplified. The optimal value ofrin GM(r,1) is determined through genetic algorithm (GA). The GM(r,1) model is applied to forecast the demand of spare parts. The experimental results show that GM(r, 1) model has better prediction performance than GM (1,1) model.

ordnance science and technology; equipment support；grey model；sparse parts；demand forecasting；fractional order；genetic algorithm

2016-09-01

全軍軍事類研究生資助項目(2013JY383)

潘顯俊(1980—)，男，博士研究生。E-mail: panjun_mail@163.com

張煒(1964—)，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:zhangwei_zbxy@163.com

E92

A

1000-1093(2017)04-0785-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.04.021