幾種參數(shù)化時(shí)頻分析方法的比較

史麗麗，許萌

（鄭州升達(dá)經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院信息工程系，鄭州 451191）

幾種參數(shù)化時(shí)頻分析方法的比較

史麗麗，許萌

（鄭州升達(dá)經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院信息工程系，鄭州 451191）

時(shí)頻分析在實(shí)際的非平穩(wěn)信號(hào)處理中得到廣泛的應(yīng)用并仍然具有發(fā)展?jié)摿?。在時(shí)頻分析中有兩項(xiàng)重要的評(píng)價(jià)指標(biāo)，即自項(xiàng)的集中程度和瞬時(shí)頻率估計(jì)的準(zhǔn)確性，介紹線性調(diào)頻小波變換，多項(xiàng)式Chirplet變換和廣義Warblet變換三種參數(shù)化時(shí)頻分析方法，著重從此兩項(xiàng)指標(biāo)來闡述這三種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，進(jìn)而分析和比較這三種方法的原理及應(yīng)用范圍。

時(shí)頻分析；線性調(diào)頻小波變換；多項(xiàng)式Chirplet變換；廣義Warblet變換

0 引言

眾所周知，在實(shí)際工程中，很多信號(hào)都屬于非平穩(wěn)信號(hào)[1]，例如瞬時(shí)電流、振動(dòng)信號(hào)、語音信號(hào)、雷達(dá)波等等，因此非平穩(wěn)信號(hào)的處理就顯得尤為重要，而時(shí)頻分析正是為此類信號(hào)的進(jìn)行處理和分析。時(shí)頻分析方法的特性主要表現(xiàn)在時(shí)頻平面上，時(shí)頻分布是瞬時(shí)頻率及其附近聚集信號(hào)能量的能力的具體體現(xiàn)。瞬時(shí)頻率是時(shí)頻模式中的一個(gè)重要的參數(shù)，在信號(hào)處理過程中占有重要的作用。根據(jù)時(shí)頻特性，調(diào)頻信號(hào)可以分為兩大類：線性調(diào)頻信號(hào)和非線性調(diào)頻信號(hào)。

目前時(shí)頻分析方法[2]有很多種，例如常見的短時(shí)傅里葉變換、連續(xù)小波變換、Wigner-Ville分布、Cohen類分布等，這些方法由于不需要先驗(yàn)知識(shí)而被稱為非參數(shù)化的時(shí)頻分析方法，但此類方法獲得的時(shí)間和頻率的分辨率并不依附于具體的信號(hào)，所以并不能對(duì)較為復(fù)雜的調(diào)頻信號(hào)作出正確的時(shí)頻特性；本文分析對(duì)比了線性調(diào)頻小波變換，多項(xiàng)式Chirplet變換和廣義Warblet變換[3]這三種參數(shù)化時(shí)頻分析方法，通過先驗(yàn)知識(shí)來決定變換中核函數(shù)的參數(shù)，當(dāng)核函數(shù)中參數(shù)的選擇能夠很好地表征信號(hào)的瞬時(shí)頻率軌跡時(shí)，就說明這種參數(shù)化時(shí)頻變換方法能夠很好地刻畫信號(hào)的時(shí)頻模式。因此，參數(shù)化時(shí)頻分析方法通過一系列參數(shù)的不斷優(yōu)化和選擇來描述信號(hào)的時(shí)頻分布，并且從得到的時(shí)頻分布的能量集中度和瞬時(shí)頻率估計(jì)的正確性等方面來闡述各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

1 線性調(diào)頻小波變換（CT）

線性調(diào)頻小波變換的適用對(duì)象是線性調(diào)頻信號(hào)，而且其變換的本質(zhì)就是加調(diào)頻窗的傅里葉變換。其原始定義[4]為：

其中z（t）由希爾伯特變換[5]得到的解析信號(hào)，t0，α· R分別表示時(shí)間和調(diào)頻率；ω·L2（R）定為非負(fù)對(duì)稱的標(biāo)準(zhǔn)化實(shí)窗，通常以常用的高斯窗為例。從以上內(nèi)容原始定義式中，可以將線性調(diào)頻小波變換用一種新的定義形式來表示，即定義為解析信號(hào)和窗函數(shù)相乘以后，再對(duì)其結(jié)果進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換，則新的定義表達(dá)式為：

其中Ψ（t，t0，α，σ）為調(diào)頻窗函數(shù)，可以表示為：

其中：

下圖1為調(diào)頻參數(shù)取10π的時(shí)頻分布結(jié)果。

圖1 CT當(dāng)α=10π時(shí)頻表示圖

從上圖中可以看出，兩個(gè)線性調(diào)頻分量的頻率變化軌跡非常清晰，而且所得到的時(shí)頻分布結(jié)果不但分辨率比較高，而且兩個(gè)頻率分量的能量聚集性也很高，即精確的表達(dá)了瞬時(shí)頻率所時(shí)間變化的規(guī)律。然而若調(diào)頻參數(shù)取其它值是，例如0和5π時(shí)，所得到的時(shí)頻分布結(jié)果并不會(huì)理想，尤其是當(dāng)調(diào)頻參數(shù)取0時(shí)，根據(jù)線性調(diào)頻小波變換的定義可知，其相當(dāng)于短時(shí)傅里葉變換，所得到的時(shí)頻分布不僅聚集性比較低，而且兩個(gè)分量完全交錯(cuò)在一起；而當(dāng)取5π時(shí)，本身的分辨率會(huì)有所提高，但兩個(gè)線性頻率分量交錯(cuò)在一起，并沒有完全分離開，而且每個(gè)分量的時(shí)頻分布能量集中程度也不高。因此，時(shí)頻分布的精確性和能量集中度在參數(shù)化時(shí)頻分析方法中主要取決于調(diào)頻參數(shù)的選擇，也就是說，只要調(diào)頻參數(shù)的選擇越接近于瞬時(shí)頻率隨時(shí)間的變化率，就能得到能量集中度和精確的瞬時(shí)頻率的時(shí)頻分布。

2 多項(xiàng)式Chirplet變換（PCT）

上述線性調(diào)頻小波變換中的核函數(shù)屬于線性，所以這種時(shí)頻分析方法適合處理線性調(diào)頻信號(hào)，而對(duì)于非線性調(diào)頻信號(hào)并不適用。那么，下面我們介紹另外一種時(shí)頻分析方法——多項(xiàng)式Chirplet變換，此方法是在線性調(diào)頻小波變換的基礎(chǔ)上通過改變核函數(shù)得到的。則多項(xiàng)式Chirplet變換（PCT）的定義式為：

在此給定一個(gè)非線性調(diào)頻信號(hào)來來驗(yàn)證多項(xiàng)式Chirplet變換的適用范圍。其具體信號(hào)如下：s（t）=sin（2π（10t+5t2/4+t3/9-t4/160））（0≤t≤15s），此信號(hào)的瞬時(shí)頻率為f=10+2.5t+t2/3-t3/40（Hz），即非線性函數(shù)。則當(dāng)調(diào)頻參數(shù)（α1，α2，α3）=（5π，2π/3，-π/20）時(shí)的時(shí)頻分布結(jié)果如下圖2所示：

圖2 PCT時(shí)頻表示圖（α1，α2，α3）=（5π，2π/3，-π/20）

從上述結(jié)果可知，當(dāng)多項(xiàng)式核函數(shù)的參數(shù)為（α1，α2，α3）=（5π，2π/3，-π/20）時(shí)，即核函數(shù)參數(shù)的選取若可以很好地去配合目標(biāo)信號(hào)的調(diào)頻的參數(shù)時(shí)，將得到如圖所示能量集中度很高的時(shí)頻分布。而當(dāng)調(diào)頻參數(shù)取其他值時(shí)，如采用線性調(diào)頻小波變換的分析方法時(shí)得到的時(shí)頻分布結(jié)果整體能量集中度并都不高，尤其是在信號(hào)的非線性時(shí)間段，其聚集程度特別差；可在信號(hào)的前半段的集中度比較高，這是由于線性調(diào)頻小波變換適用于線性調(diào)頻信號(hào)所決定的，因?yàn)榭山频膶⑶鞍攵涡盘?hào)認(rèn)為是線性信號(hào)，這也是由不同的時(shí)頻方法適合處理不同的調(diào)頻信號(hào)決定的。與此同時(shí)，也說明多項(xiàng)式Chirple變換方法對(duì)于處理非線性信號(hào)的有效性。

3 廣義Warblet變換（GWT）

廣義Warblet變換的定義同樣是將線性調(diào)頻小波變換中的線性核函數(shù)替換，其具體定義為：

其中：

根據(jù)式（8）中廣義Warblet變換核函數(shù)的定義，可知此方法適用于表征瞬時(shí)頻率為周期性時(shí)頻模式的信號(hào)。一般情況下，實(shí)際中的周期性信號(hào)都能滿足狄利克雷條件，所以它們能夠用傅里葉系列來表征，而且在廣義Warblet變換中能夠確定選用合適的核函數(shù)參數(shù)來精確的估計(jì)瞬時(shí)頻率。

在選擇以上核函數(shù)參數(shù)的基礎(chǔ)上，利用廣義Warblet變換的時(shí)頻分析方法對(duì)瞬時(shí)頻率為周期性變化的非線性信號(hào)進(jìn)行分析，其得到的時(shí)頻分布結(jié)果如下圖所示：

圖3

從上圖中可以看出，時(shí)頻分布能正確清晰地表達(dá)出瞬時(shí)頻率的周期性變化軌跡和表征準(zhǔn)確的信號(hào)時(shí)頻模式，并且時(shí)頻分布的能量集中度很高，所以，不論是從時(shí)頻分布的能量集中度，還是從瞬時(shí)頻率估計(jì)的準(zhǔn)確性來說，選擇優(yōu)化參數(shù)能夠使廣義Warblet變換時(shí)頻分析方法更好地處理振蕩幅度較大或者周期性的調(diào)頻信號(hào)。

4 結(jié)語

非平穩(wěn)信號(hào)的研究和處理是信號(hào)處理中不可或缺的重點(diǎn)研究對(duì)象，它不斷推進(jìn)信息技術(shù)的發(fā)展。本文介紹的三種參數(shù)化時(shí)頻分析方法是通過參數(shù)的選取去匹配目標(biāo)信號(hào)瞬時(shí)頻率的調(diào)頻參數(shù)，只要選擇合適的參數(shù)，就能得到集中度比較高的時(shí)頻分布。但是，由于參數(shù)化分析方法需要有效的快速算法，所以優(yōu)化參數(shù)的提取還需要一定深入的研究。同時(shí)，根據(jù)本文三種參數(shù)化時(shí)頻分析方法的適應(yīng)對(duì)象來看，每一種方法的適用對(duì)象都有所區(qū)別，即參數(shù)化分析對(duì)于適應(yīng)性還需進(jìn)一步的提高。而對(duì)于參數(shù)化分析方法的適應(yīng)性來說，關(guān)鍵因素取決于核函數(shù)的時(shí)頻譜分析。因此，對(duì)于處理更為復(fù)雜的非線性調(diào)頻信號(hào)來說，可以通過構(gòu)造信號(hào)核函數(shù)的手段來大大提高參數(shù)化時(shí)頻分析方法的適應(yīng)能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐春光.非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻分布與處理方法研究：[博士學(xué)位論文].西安：西安電子科技大學(xué)圖書館,1999.

[2]Boashash B.Time Frequency Signal Analysis and Processing:a Comprehensive Reference,Elsevier Science Ltd.,2003.

[3]Yang Y,Peng Z K,Meng G,et al.Characterize Highly Oscillating Frequency Modulation Using Generalized Warblet transform[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2012,26:128-140.

[4]Mann S,Haykin S.The Chirplet Transform:Physical Considerations[J].Signal Processing,IEEE Transactions on,1995,43(11):2745-2761.

[5]黃長蓉.Hilbert變換及其應(yīng)用[J].成都?xì)庀髮W(xué)院學(xué)報(bào),1999,14(3):273-276.

Comparison of Several Kinds of Parametric Time-Frequency Analysis Method

SHI Li-li，XU Meng
（Department of Information Engineering,Zhengzhou Shengda University of Economics Business&Management，Zhengzhoun 451191）

In actual non-stationary signal processing,time-frequency analysis has been widely used in signal processing and still has development potential.There are two important evaluation indexes in the time-frequency analysis:its concentration and instantaneous frequency estimation accuracy,introduces Chirplet Transforms(CT),Polynomial Chirplet Transform(PCT)and Generalized Warblet Transform(GWT), these three parametric time-frequency analysis methods emphasis on the advantages and disadvantages from the above two indexes,and then analyzes and compares these three methods’principle and application scope.

Time-Frequency Analysis;Chirplet Transforms;Polynomial Chirplet Transform;Generalized Warblet Transform

1007-1423（2017）08-0031-04

10.3969/j.issn.1007-1423.2017.08.007

史麗麗（1987-），女，河南安陽人，碩士，研究方向?yàn)樾盘?hào)處理及應(yīng)用許萌（1991-），男，河南開封人，碩士，助教，研究方向?yàn)榍度胧轿锫?lián)網(wǎng)

2016-12-29

2017-02-25