基于Matlab的S曲線加減速控制算法研究

胡永安，陳彩鳳，楊 萌

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

基于Matlab的S曲線加減速控制算法研究

胡永安，陳彩鳳，楊 萌

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

當(dāng)數(shù)控加工型線為折線，路徑段與路徑段之間存在的夾角使得必須在拐點(diǎn)處進(jìn)行加減速控制，以保證軌跡精度。目前，數(shù)控加工對(duì)單個(gè)坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)的控制方法有多種，其中較有代表性的是基于S型曲線的加減速控制方法，文中在S型加減速控制曲線基礎(chǔ)上建立S曲線加減速控制新算法，利用該算法給出路徑段幾何元素轉(zhuǎn)接矢量夾角數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上給出許用速度與夾角的關(guān)系式，并得出第i路徑段的轉(zhuǎn)接速度Vi的大小不僅受到轉(zhuǎn)接矢量夾角αi的影響，還與第i-1路徑段和i+1路徑段的轉(zhuǎn)接速度以及第i路徑段和第i+1路徑段的路徑長(zhǎng)度有關(guān)。利用此算法經(jīng)Matlab編程仿真得出當(dāng)相鄰兩折線段夾角為90°和135°時(shí)，通過折線交點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)各坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度的變化。

S曲線；轉(zhuǎn)接速度；夾角；Matlab

高速加工要求機(jī)床各運(yùn)動(dòng)軸均能夠在極短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到高速運(yùn)行狀態(tài)，并實(shí)現(xiàn)高速準(zhǔn)停，研究開發(fā)數(shù)控加工刀具運(yùn)動(dòng)滿足高速、高精度要求的、有效柔性加減速控制方法[1]，已成為現(xiàn)代高性能數(shù)控系統(tǒng)研究的重點(diǎn)。

當(dāng)數(shù)控機(jī)床加工中加工型線為折線時(shí)，在指定加工誤差(指在加工型線的法線方向上加工型線與刀具實(shí)際軌跡的差值的最大值)的條件下，遇到折線交點(diǎn)時(shí)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)速度就要發(fā)生變化，發(fā)生變化后自然就會(huì)影響加工效率，為了提高加工效率，就要使運(yùn)動(dòng)速度的變化時(shí)間變得更短[2]，當(dāng)然這是在不影響加工精度條件下進(jìn)行的?，F(xiàn)在建立一種速度變化模型來(lái)描述運(yùn)動(dòng)速度在折線交點(diǎn)處的變化，本文的目標(biāo)是優(yōu)化速度。以相鄰兩折線段夾角為90°和135°時(shí)為例，進(jìn)行討論通過折線交點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)各坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度的變化。

1 S曲線加減速模型和基本公式

目前，數(shù)控加工對(duì)單個(gè)坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)的控制方法有多種，其中較有代表性的是基于S型曲線的加減速控制方法。其特點(diǎn)是將加減速過程分為7個(gè)階段[3-7](每一段對(duì)應(yīng)的加加速度為常量)：加加速段、勻加速段、減加速段、勻速段、加減速段、勻減速段、減減速段，從而漸變地控制各段的加速度使機(jī)床運(yùn)動(dòng)速度按S型曲線形式平滑變化，以保證速度光順，加速度連續(xù)，在一定程度上增強(qiáng)機(jī)床運(yùn)行的平穩(wěn)性[7-8]。S型加減速控制曲線如圖1所示。

在基于S型曲線的運(yùn)動(dòng)過程中，對(duì)于速度和加速度都有一定的限制性要求，速度v不大于機(jī)床最大速度vmax，加速度a不大于機(jī)床最大加速度amax，加加速度為常量Iconst。

圖1中各個(gè)階段的速度、加速度、加加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律如下所示。

圖1 S型加減速控制曲線的速度、加速度、加加速度隨時(shí)間變化規(guī)律

(1)加加速段

(1)

其中，T1=amax/Jconst，這個(gè)過程中加速度達(dá)到最大amax，加速度和速度均在增加。

(2)勻加速段

(2)

(3)減加速段

(3)

這個(gè)過程中加速度在減小，速度在增加，一直增加到Vmax，當(dāng)t=2T1+T2時(shí)，V=Vmax。

(4)勻速段

(4)

這個(gè)過程中加速度為0，速度保持Vmax不變，T3的長(zhǎng)短由路徑長(zhǎng)度決定。

(5)加減速段

(5)

這個(gè)過程中加速度在增加，速度在減小，這段其實(shí)與減加速段是對(duì)稱的。

(6)勻減速段

(6)

這個(gè)過程中加速度保持-amax不變，速度在減小，這段其實(shí)與勻加速段是對(duì)稱的。

(7)減減速段

(7)

這個(gè)過程中加速度在減小直到為0，速度也在減小直到為0，當(dāng)t=4T1+2T2+T3時(shí)，V=0。這段其實(shí)與加加速段是對(duì)稱的。

2 S曲線新算法的建立

S型曲線的加減速控制方法中，其特點(diǎn)是將加減速過程分為7個(gè)階段[9-11]：加加速段、勻加速段、減加速段、勻速段、加減速段、勻減速段、減減速段，第i路徑段的轉(zhuǎn)接速度vi的大小不僅受到轉(zhuǎn)接矢量夾角αi的影響，還與第i-1路徑段和i+1路徑段的轉(zhuǎn)接速度以及第i路徑段和第i+1路徑段的路徑長(zhǎng)度有關(guān)，針對(duì)折線加工型線，建立以下實(shí)時(shí)加工優(yōu)化控制算法。該算法在多段路徑加工過程中能有效縮短加工時(shí)間。

假設(shè)B是拐點(diǎn)，BC為從B點(diǎn)起始指向C點(diǎn)的線段；AB為從A點(diǎn)起始指向B點(diǎn)的線段。Li為初始點(diǎn)為B點(diǎn)所在的路徑段長(zhǎng)度，(xi,yi)表示B點(diǎn)在平面中的坐標(biāo),αi表示AB與BC的偏移角，βi表示BC與X軸正方向的夾角,Vi是B點(diǎn)的速度矢量。

圖2 折線圖

下面建立B點(diǎn)速度受拐角αi限制的模型。在多路徑段加工中，AB與BC為連續(xù)路徑段,當(dāng)cosβi、sinβi之中有一個(gè)發(fā)生符號(hào)變化[12-14]，則表明有一軸要發(fā)生換向, 在拐角處必須把速度降為0。這種情況就不作討論了。當(dāng)已知點(diǎn)A、B和C坐標(biāo)時(shí)，可得

(8)

設(shè)AB段的末速度為Vie,BC段的初速度為Vis。假設(shè)Vie與Vis大小相等, 其值為Vi, 而Vie與Vis的夾角為αi。根據(jù)速度合成關(guān)系求得點(diǎn)B的加速度大小為

(9)

設(shè)amax為加工過程中最大加速度, 則需滿足關(guān)系

ai≤amax

其中,T為插補(bǔ)周期。在一個(gè)插補(bǔ)周期中,X軸速度的變化為

ΔVX=Vicosβi-Vicosαicosβi+Visinαisinβi

(10)

而Y軸速度的變化為

ΔVY=Visinβi-Visinαicosβi-Vicosαisinβi

(11)

設(shè)在一個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)X軸最大允許速度變化為ΔVXmax,Y軸最大允許速度變化為ΔVYmax, 則有

(12)

設(shè)定

ΔVXmax=ΔVYmax=amaxT

(13)

其中，amax代表最大加速度值。

由式(8)和式(9)可得速度值限制有如下不等式組

(14)

則式(10)可簡(jiǎn)化為

(15)

式(11)可以當(dāng)作αi對(duì)B點(diǎn)的速度限制，記

(16)

3 S曲線新算法的舉例

(17)

其中，amax=0.6 m/s2，T=0.36 ms，αi=90°，0≤βi≤180°。

根據(jù)上述條件通過Matlab編程計(jì)算得到如圖3所示在折點(diǎn)處對(duì)應(yīng)X軸方向運(yùn)動(dòng)速度隨βi的變化過程。

圖3 通過αi=90°折點(diǎn)處對(duì)應(yīng)X軸方向運(yùn)動(dòng)速度隨βi的變化

通過折線交點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)Y軸方向運(yùn)動(dòng)速度的變化函數(shù)為

(18)

其中，amax=0.6 m/s2，T=0.36 ms，αi=90°， 0≤βi≤180°。

根據(jù)上述條件通過Matlab編程計(jì)算得到圖4所示在折點(diǎn)處Y軸速度隨βi的變化過程。

圖4 通過αi=90°折點(diǎn)處對(duì)應(yīng)Y軸方向運(yùn)動(dòng)速度隨βi的變化

(19)

其中，amax=0.6 m/s2，T=0.36 ms，αi=135°， 0≤βi≤180°。

根據(jù)上述條件通過Matlab編程計(jì)算得到圖5所示在折點(diǎn)處X軸速度隨βi的變化過程。

圖5 通過αi=135°折點(diǎn)處對(duì)應(yīng)X軸方向運(yùn)動(dòng)速度隨βi的變化

通過折線交點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)Y軸方向運(yùn)動(dòng)速度的變化函數(shù)為

(20)

其中，amax=0.6 m/s2，T=0.36 ms，αi=135°， 0≤βi≤180°。

根據(jù)上述條件通過Matlab編程計(jì)算得到圖6所示在折點(diǎn)處Y軸速度隨βi的變化過程。

圖6 通過αi=135°折點(diǎn)處對(duì)應(yīng)Y軸方向運(yùn)動(dòng)速度隨βi的變化

4 結(jié)束語(yǔ)

本文建立了基于S曲線的拐角過渡模型，該模型滿足曲率連續(xù)的條件，能顯著減小速度波動(dòng)和機(jī)床振動(dòng)，保證速度平滑轉(zhuǎn)接，實(shí)用性強(qiáng)?；谠撃Ｐ?，提出了一種實(shí)時(shí)加工優(yōu)化控制算法。該算法在滿足加工精度和機(jī)床動(dòng)力學(xué)的限制下，能夠獲得最優(yōu)轉(zhuǎn)接速度，并舉例說明，利用Matlab進(jìn)行仿真，得出各個(gè)方向速度雖角度的變化過程。本算法僅考慮了運(yùn)動(dòng)速度與折線夾角的關(guān)系，沒有考慮機(jī)床本身的加工誤差，所以需要進(jìn)一步的探索研究。

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Research of S Curve Acceleration and Deceleration Control Algorithm Based on Matlab

HU Yongan，CHEN Caifeng，YANG Meng

(School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai200093, China)

When the profile line of numerical control machining is broken line, the angle between the two path sections makes that it is necessary to take acceleration and deceleration control on the inflection point so as to make sure the trajectory precision. At present, we have many control methods of single coordinate motion by numerical control machining, among which the acceleration and deceleration control method based on S curve is the representative one. This thesis, on the basis of S-type acceleration and deceleration control curve, develops a new algorithm of S curve acceleration and deceleration control. With this new algorithm, we get a mathematical model of path sections geometric elements and the relation between allowable velocity and angle. We also draw that the transition velocityViofipath section is affected by turning vector angle ai, turning velocity ofi-1 andi+1 path sections, and path lengths ofiandi+1 path sections. Simulation of programming on the basis of Matlab leads to the changes of the corresponding coordinate velocity passing the point of broken lines, when the angles of the two adjacent broken lines are 90° and 135°.

S curve; transition velocity; angle; Matlab

2016- 05- 05

胡永安(1991-)，男，碩士研究生。研究方向：機(jī)械制造及其自動(dòng)化。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2017.04.015

TP273

A

1007-7820(2017)04-060-05