啟迪數(shù)學思維，關注數(shù)學本質(zhì)

李國良

【摘要】練習課在小學數(shù)學中占有很重要的地位，它是對新知識的鞏固、發(fā)展與提升。平行四邊形課后練習11個小題有一半以上內(nèi)容是對平行四邊形面積的進一步理解，特別是涉及面積大小的兩個要素底和高。筆者試著對其內(nèi)容進行整合，在重視數(shù)學基礎知識和技能的同時，構(gòu)建起突出數(shù)學的基本思想和本質(zhì)的課堂，以發(fā)展學生數(shù)學思維。

【關鍵詞】啟迪 思維 本質(zhì)

【教材分析】

思維是人腦對客觀事物的一般特性和規(guī)律的一種間接的、概括的反映，它是認知的核心成分。數(shù)學是思維的體操，讓學生在掌握數(shù)學知識的同時學會思考，促進其思維發(fā)展是數(shù)學教學的靈魂，也是每一位數(shù)學教師所應追尋的價值取向。

人教版數(shù)學五年級上冊第六單元練習十九，是一節(jié)學習了“平行四邊形的面積計算公式”后的專項練習課。教材中除了緊接新授課安排的一些簡單計算和解決問題（1～5題）之外，有一半以上的篇幅（6～11題）涉及對平行四邊形面積的進一步理解以及在理解的基礎上解決問題，其中第6、7、8三道題（如圖2～圖4）主要涉及平行四邊形面積的決定要素——底和高；而第5題（如圖1），更像把平行四邊形放在了一個坐標系中進行研究。細細分析這些題目，它們的最大特點是通過對面積的計算來理解平行四邊形的面積與其高和底的相關性，發(fā)展學生分析問題、思考問題的能力。

【教學實踐】

怎樣有效地利用這些題目，讓學生通過解決問題，實現(xiàn)在認知和思維能力上得到進一步的發(fā)展？筆者抓住問題本質(zhì)，以學生存在疑問的點為切入口，將題目進行有機整合，以便關注平行四邊形面積的本質(zhì)，啟迪學生的數(shù)學思維。

一、在比較辨析中，進一步理解“高”與平行四邊形面積的關系

平行四邊形面積計算公式的推導主要是通過割補法來得出，而學生在新授課時容易把平行四邊形的面積計算方法定位在“底×鄰邊”上。因此，“高”是決定平行四邊形面積的其中一個因素，必須進一步加以理解。

課始，進行一些簡單的基本練習之后，筆者抓?。骸案鶕?jù)平行四邊形易變形的特性，把它進行拉動，思考平行四邊形的面積是否發(fā)生變化？”課件出示平行四邊形的拉動過程，并將其中兩個平行四邊形作為研究對象，輔之以網(wǎng)格圖（如圖5），在引導學生作出判斷并用自己的方法加以證明。很快，有的學生通過“整體剪拼”的方法，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，并得出長方形的長相等、寬不同，因此面積不同；有的學生則通過計算，得出第一個平行四邊形的面積為18cm2，第二個平行四邊形的面積為12cm2，兩者面積不同；有的學生則從平行四邊形的面積計算公式出發(fā)，發(fā)現(xiàn)兩個平行四邊形底相同，高不同，第一個平行四邊形的面積更大。

在此基礎上，筆者出示圖6兩個平行四邊形，讓學生比較它們之間的面積大小。有了剛才的經(jīng)驗，學生很快得出結(jié)論，兩個平行四邊形的面積一樣大，因為它們底和高一樣。隨后，把圖6中右邊的平行四邊形移動到與左邊圖形的底重合（如圖7），接著再出現(xiàn)一個平行四邊形（如圖8），進一步明確等底等高的平行四邊形面積相等。

和高作為平行四邊形的兩個重要元素，決定了平行四邊形的面積大小。當然，作為特殊的平行四邊形，長方形的面積由它的長和寬決定。這一點學生也在原有的認知基礎上，有了更深的體會。之所以將這兩個問題進行整合，是因為它們之中一組是等底等高的平行四邊形，另一組是等底但不等高的平行四邊形。在處理教材時，我們需看到它們的不同之處，更應看到它們背后的本質(zhì)問題，即在底相等的情況下，高決定了平行四邊形的面積大小。

二、在動靜結(jié)合中，進一步理解“同底”條件下平行四邊形的面積關系

在完成第一個環(huán)節(jié)后，筆者繼續(xù)利用剛才的素材進行提問：第一組的平行四邊形拉動時，什么時候面積最大？為什么？學生通過觀察和思考，以及對平行四邊形面積計算公式的理解，很快發(fā)現(xiàn)在底不變的情況下，高最大時面積也最大。當拉成長方形時，高也就是長方形的寬是最大的，此時，平行四邊形就是長方形，面積最大。筆者繼續(xù)追問：有沒有面積最小的時候？學生自然順著前面的思路回答：有，當高為0的時候，平行四邊形面積最小。筆者沒有急于下結(jié)論，而是問：再想想，如果高為0，這個平行四邊形會怎樣？此時，出現(xiàn)了不同的聲音：

生1：當高是0時，平行四邊形就變成了一條線段，它的面積最小。

生2：高不能是0，如果高是0，那平行四邊形就沒有了。

看到學生已經(jīng)隱約感受到了高的取值范圍，筆者表示贊同第二種意見：平行四邊形的高無限接近0，因此它的面積也無限接近0，但不會等于0，否則就不能稱之為平行四邊形了。

學生在新授課中通過剪拼等方法得出平行四邊形的面積計算公式后，容易將之它視為孤立的、靜態(tài)的規(guī)則。因此設計這樣一個環(huán)節(jié)，使靜態(tài)化計算面積的方法動起來，并進一步體會高的變化引起的面積變化。另一方面，也讓學生適當?shù)伢w驗變量的取值范圍，初步滲透極限思想。

三、在圖形變化中，進一步理解“底和高”兩個維度與面積之間的關系

緊接著，筆者趁熱打鐵，先后出示了以下內(nèi)容（如圖9～圖10），使學生加深對平行四邊形中底和高的作用的認識。

學生通過兩組圖形的觀察、思考和交流，進一步加深了對平行四邊形的面積大小由底和高決定的理解。

在觀察兩組圖形時，學生發(fā)表了如下意見：

生1：（圖9）豎的那一組平行四邊形底不變，高在變，面積也在變，它們的面積變大了；橫的那一組圖形，底在變長，高不變，面積也變大了。

生2：（圖10）平行四邊形的底和高都在變化，它的面積變化更大了。

教師追問：看來，是誰決定了平行四邊形的面積大?。?/p>

生：平行四邊形的底和高決定了平行四邊形的面積大小。

師：那長方形呢？

生：長方形的長和寬。

師：長方形的長和寬與平行四邊形的底和高有什么相同之處？

生：它們都是朝著橫和豎兩個方向的。

在此基礎上，教師出示面積單位cm2、dm2、m2、km2，請學生說說對這些單位的理解。一開始學生對這些面積單位沒有特別的感受，于是，筆者提醒學生應與剛才的發(fā)現(xiàn)相結(jié)合，在教師的提示下，學生逐漸有所感悟。

生1：這些單位都有平方，單位右上角都有一個“2”。

生2：這些單位表示cm×cm，dm×dm，m×m，km×km。

生3：這些單位表示（圖形的）兩個方向（維度）相乘。

隨后，筆者繼續(xù)設疑（出示圖11），要求計算出三個平行四邊形A、B、C的面積，并分析比較底和高的變化與面積變化的關系。

生1：A的面積是6×5=30，B的面積是12×10=120，C的面積是24×20=480。

生2：我發(fā)現(xiàn)圖形A與圖形B之間，底擴大2倍，高擴大2倍，而面積擴大了4倍。

生3：圖形B與圖形C之間，底擴大2倍，高擴大2倍，面積就擴大了4倍。

生4：圖形A與圖形C之間，底擴大4倍，高擴大4倍，面積是30和480，面積擴大了16倍。

生5：這些圖形的底與高和面積之間的倍數(shù)關系是底擴大的倍數(shù)乘高擴大的倍數(shù)，就是面積擴大的倍數(shù)。

這一環(huán)節(jié)是對前面兩個環(huán)節(jié)的整合與發(fā)展，通過圖形之間的整體變化讓學生進一步理解平行四邊形的底和高與面積的關系，幫助學生通過遷移、拓展，從整體的視野來加深對兩種平面圖形的面積及其計算方法的認識，同時在學習與思考的過程中，理解底和高的變化與面積變化之間的關系，為后續(xù)學習三角形、梯形等平面圖形的面積打下認知基礎。

從二維的角度去分析面積及面積的計量單位，有助于幫助學生將圖形、面積計算公式、面積單位及面積單位間的進率有機統(tǒng)一起來，形成整體，便于理解。學生對面積的二維性質(zhì)的理解，也有助于為后續(xù)更好地理解立體圖形的相關內(nèi)容做準備。

【教學反思】

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“通過數(shù)學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。體會數(shù)學知識之間等的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力?！边@為我們的數(shù)學教學指明了方向：在重視數(shù)學基礎知識和基本技能的同時，更應關注數(shù)學的基本思想和基本活動經(jīng)驗，為學生的后續(xù)發(fā)展奠定基礎。當教材中出現(xiàn)能夠發(fā)展學生數(shù)學思維、拓寬學生視野的素材時，作為數(shù)學教師應有敏銳的嗅覺，及時捕捉住這些有價值的學習素材。

上述三個環(huán)節(jié)的學習與研究，結(jié)構(gòu)上環(huán)環(huán)相扣，內(nèi)容上層層深入，緊緊抓住平行四邊形易變形的特性，從底不變、高的變化來分析平行四邊形的面積變化；再到等底等高面積相等，然后同底條件下研究什么情況下面積最大，什么情況下面積會越來越小；最后研究底和高均發(fā)生變化與面積變化之間的聯(lián)系。在掌握數(shù)學基礎知識、發(fā)展數(shù)學基本技能的同時，學生的思維得到了充分發(fā)展。學生分析問題的角度慢慢從一個維度逐步向兩個維度推進。

小學階段的數(shù)學學習，不僅需要教授數(shù)學知識，使學生掌握數(shù)學基礎知識及其運用能力，更需要通過數(shù)學知識的傳授過程，著重培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，為學生的后續(xù)發(fā)展提供保障。例如，在“長方形、正方形的周長”單元中，教學時不僅要讓學生明白周長計算的一般方法，而且還要讓學生明白有時只需要知道長與寬的和，就能計算出它們的周長。這樣，學生的思維就得到了一定的提升與發(fā)展。人教版教材中還安排了一節(jié)圖形的拼組：16個正方形拼成的長方形和正方形，哪個周長大，哪個周長??？如果老師把這節(jié)拼組課作為基礎，再繼續(xù)深入的研究（如圖12），按圖中的拼法，拼成后的圖形周長是多少？引導學生通過幾個正方形周長之和減去重復邊的長度和，那么拼成后的周長和是2a（n+1）。這樣學生不僅掌握了這類圖形拼組后計算周長的一般規(guī)律，而且為六年級數(shù)形結(jié)合的規(guī)律探究打下了基礎（如圖13）。一張方桌每邊坐一個人，如果按下圖拼在一起，n張方桌可以坐多少人？這題的思路與圖12的思路完全一致，a=1，拼成后可以坐的人數(shù)為2（n+1）人。

總之，教師要善于結(jié)合教學內(nèi)容、善于創(chuàng)造良好的思維環(huán)境來激發(fā)學生積極地思維，重視數(shù)學思維品質(zhì)的培養(yǎng)來提高思維能力，注重數(shù)學思想方法的教學來挖掘?qū)W生的思維潛能。