從統(tǒng)計學的角度理解“平均數(shù)”

牛獻禮

【摘要】平均數(shù)是一個重要的統(tǒng)計量，它的統(tǒng)計學意義是能刻畫、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平（一般水平）。在教學中，如何落實《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》所強調(diào)的“從統(tǒng)計學的角度理解平均數(shù)”呢？如何將算法水平的理解與統(tǒng)計學水平的理解整合起來呢？筆者在教學中創(chuàng)設(shè)“記數(shù)游戲”的情境，讓學生在數(shù)學活動中體驗平均數(shù)的代表性。接著，借助直觀形象的象形統(tǒng)計圖，動態(tài)呈現(xiàn)“移多補少”的過程，直觀理解“平均數(shù)能刻畫一組數(shù)據(jù)的整體水平”。然后，精心設(shè)計應用練習，把“平均數(shù)”與真實的生活情境相鏈接，在解決現(xiàn)實問題的過程中應用平均數(shù)，體驗平均數(shù)，從而更深入地理解平均數(shù)的意義。

【關(guān)鍵詞】平均數(shù) 統(tǒng)計學意義 情境

教學內(nèi)容：人教版數(shù)學四年級下冊“平均數(shù)”

教學思考：

學生如何學習“平均數(shù)”這一重要概念呢？傳統(tǒng)教學側(cè)重于對所給數(shù)據(jù)（有時甚至是沒有任何統(tǒng)計意義的抽象數(shù)）計算其平均數(shù)，即側(cè)重于從算法的水平理解平均數(shù)，這容易將平均數(shù)的學習演變?yōu)橐环N簡單的技能學習，忽略平均數(shù)的統(tǒng)計學意義。因此，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》特別強調(diào)從統(tǒng)計學的角度來理解平均數(shù)，然而什么是“從統(tǒng)計學的角度”來理解平均數(shù)呢？在教學中如何落實？如何將算法水平的理解與統(tǒng)計學水平的理解整合起來？

平均數(shù)的統(tǒng)計學意義是它能刻畫、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平（一般水平）。平均數(shù)不同于原始數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)（雖然可能碰巧等于某個原始數(shù)據(jù)），但又與每一個原始數(shù)據(jù)相關(guān)，代表這組數(shù)據(jù)的平均水平。要對兩組數(shù)據(jù)的總體水平進行比較，就可以比較這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，因為平均數(shù)具有良好的代表性，不僅便于比較，而且公平。

那么，在教學中如何落實呢？筆者在課的起始環(huán)節(jié)設(shè)計了“記數(shù)游戲”的教學情境，并精心設(shè)計了歡歡的三次記憶數(shù)據(jù)都是“5”，目的是讓學生憑直覺體驗平均數(shù)的代表性；而樂樂的三次記憶數(shù)據(jù)分別是5、4、9，到底哪個數(shù)據(jù)能代表樂樂的一般水平呢？自然激發(fā)了學生的認知沖突。設(shè)計這些活動的核心就是讓學生體驗平均數(shù)的代表性。

計算平均數(shù)通常有兩種方法，即“移多補少”和“總數(shù)÷份數(shù)”，每種方法的教育價值各有側(cè)重點，其核心都是強化對平均數(shù)意義的理解，而非僅僅計算出結(jié)果。教學中，利用直觀形象的象形統(tǒng)計圖，通過動態(tài)的“移多補少”過程，為理解平均數(shù)所表示的均勻水平提供感性支撐。這樣做，強化了平均數(shù)的產(chǎn)生過程，是對平均數(shù)能刻畫一組數(shù)據(jù)的整體水平的進一步直觀理解，強化了對平均數(shù)意義而非算法的理解。

在通過兩種方法求出平均數(shù)之后，一再追問：“這里的平均數(shù)6是樂樂第一次記住的個數(shù)嗎？”“是樂樂第二次、第三次記住的個數(shù)嗎？”“那它代表的究竟是哪一次的個數(shù)？”通過這樣的追問，連同后續(xù)教學中的“計算自己記數(shù)的平均數(shù)”，幫助學生理解平均數(shù)只刻畫整體水平而不是真正的其中某一次記住的個數(shù)，從而強化了平均數(shù)的統(tǒng)計學意義。

由于平均數(shù)這個概念對小學生而言是非常抽象的（因為它“虛幻”，學生不能具體看到），平均數(shù)的背景也很復雜，因此能敘述出“平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況”或者“會計算平均數(shù)”并不等于真正理解了平均數(shù)，還要看能否在不同情境中運用平均數(shù)，能使用它來解決實際問題。如果學生能在稍復雜的背景下運用平均數(shù)的概念解決問題，說明學生就初步理解了平均數(shù)，而且也更容易感受到平均數(shù)的應用價值。為此，教學中精心設(shè)計了“全班同學的平均身高”“辯一辯，說一說”“想一想，選一選”的應用練習，把“平均數(shù)”與真實的生活情境相鏈接，在解決現(xiàn)實問題的過程中應用平均數(shù)、體驗平均數(shù)，從而更深入地理解平均數(shù)的意義。

教學過程：

一、記數(shù)游戲——認識“平均數(shù)”

規(guī)則：每次出現(xiàn)10個數(shù)字，觀察2秒鐘，看你每次能記住幾個數(shù)字。

1.師生一起玩三次，讓學生記錄自己每次記住的數(shù)字個數(shù)。

2.出示：歡歡和樂樂比賽，“誰記住的數(shù)字多”。

出示：（1）歡歡3次記住數(shù)字的情況統(tǒng)計表（3個5逐次呈現(xiàn)）。

師：還真巧，歡歡三次都記住了5個?？磥恚硎練g歡能記住的個數(shù)，用哪個數(shù)比較合適？為什么？

生：因為她三次都是記住了“5個”，所以用“5”這個數(shù)代表歡歡的水平。

（2）樂樂3次記住數(shù)字的情況統(tǒng)計表。

師：樂樂三次記住的個數(shù)都不相同，又該用哪個數(shù)來表示樂樂記住數(shù)字的一般水平呢？（同學們意見不一）

質(zhì)疑：能不能用“9”來表示樂樂記住的個數(shù)呢？（對歡歡“不公平”）那能不能用“4”來表示樂樂記住的個數(shù)呢？（對樂樂“不公平”）

生：應該計算出這三個數(shù)的平均數(shù)，用平均數(shù)表示比較公平。

師：怎樣求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)呢？

生：（4+5+9）÷3=6（個），先求出三次記住的總個數(shù)，再用總個數(shù)除以3，就是平均一次記住的個數(shù)。（板書：總數(shù)÷次數(shù)=平均數(shù)）

生：還可以把多的數(shù)給少的數(shù)，勻一勻，求平均數(shù)。

出示：象形統(tǒng)計圖，動態(tài)呈現(xiàn)“移多補少”的過程。

師：數(shù)學上，像這樣從多的里面移一些補給少的，使得每個數(shù)都一樣多，這種求平均數(shù)的方法叫作“移多補少”。移完后，樂樂每次記住了幾個？（6個）能代表樂樂記住數(shù)字的一般水平嗎？（能）

師：其實，無論是“移多補少”，還是“總數(shù)÷次數(shù)”，目的只有一個，就是使原來幾個不相同的數(shù)變得同樣多，數(shù)學上把這個數(shù)叫作原來這幾個數(shù)的平均數(shù)（板書）。在這里，我們就說6是5、4、9這三個數(shù)的平均數(shù)。

追問：這里的平均數(shù)“6”是樂樂第一次記住的數(shù)字嗎？（不是）是他第二次、第三次記住的數(shù)字嗎？（不是）那奇怪啦，哪一次也沒記住6個數(shù)字呀？那它究竟代表的是什么呢？

生1：代表的是“平均”記住的個數(shù)。

生2：代表的是他的平均水平。

師：“6個”是三次的個數(shù)“勻”出來的，平均數(shù)“6”代表的是這三次的平均水平。（板書：平均水平）用平均數(shù)“6”代表樂樂的水平，公平嗎？

生：公平！

二、聯(lián)系實際——深化理解“平均數(shù)”

1.計算自己的“記數(shù)平均數(shù)”

讓生獨立計算出自己記數(shù)的平均數(shù)，全班交流。

生1：我三次分別記住了4個、6個、8個，平均數(shù)是（4+6+8）÷3=6。

生2：我三次分別記住了6個、8個、9個，平均數(shù)是（6+8+9）÷3≈7.7。

生3：我三次分別記住了6個、10個、9個，平均數(shù)是（6+10+9）÷3≈8.3。

……

師：很奇怪！你們記數(shù)時，要么記住了，要么沒有記住，怎么出現(xiàn)了小數(shù)呢？

生1：因為這是平均數(shù)，并不是實際記住的數(shù)，所以可以是小數(shù)。

生2：平均數(shù)并不是真實的數(shù)，是代表平均水平的數(shù)，所以出現(xiàn)小數(shù)很正常。

師：確實，平均數(shù)并不是每一次記住的真實的個數(shù)，而是一個“虛幻”的數(shù)，代表的是這一組數(shù)據(jù)的平均水平。

2.生活中的“平均數(shù)”

師：說一說生活中你在哪里見到過“平均數(shù)”。

生：考試平均分、平均身高、平均體重、平均年齡……

現(xiàn)場測量全班最高和最矮的兩位同學的身高（1.65米、1.41米）。

師：你估計一下我們班同學的平均身高是多少米？

生：1.45米、1.48米、1.50米、1.47米……

師：你們?yōu)槭裁床还烙嬈骄砀呤?.65米呢？

生：1.65是最大的數(shù)，它還要移一些補給少的。所以不可能是1.65米。

師：你們?yōu)槭裁床还烙嬈骄砀呤?.41米呢？

生：1.41米是最小的數(shù)，其他數(shù)都比它大，移一些補給它以后，就不止是1.41米了。

師：這樣看來，盡管還沒有計算，但我們可以肯定的是，平均身高應該比這里最大的數(shù)——

生1：小一些。

生2：還要比最小的數(shù)大一些。

生3：應該在最大數(shù)和最小數(shù)之間。

師：平均數(shù)是一個——

生：不大不小的數(shù)。（板書：不大不小的數(shù)）

三、應用練習——深化理解“平均數(shù)”

1.辯一辯，說一說

（1）學校籃球隊隊員的平均身高是160厘米，籃球隊員壯壯的身高有可能是155厘米嗎？（ ）

生：有可能。

師：不對呀！不是說隊員的平均身高是160厘米嗎？

生：平均身高160厘米，并不表示每個人的身高都是160厘米。萬一壯壯是隊里最矮的那個，當然有可能是155厘米了。

生：平均身高160厘米，表示的是籃球隊員身高的一般水平，并不代表隊里每個人的身高。壯壯有可能比平均身高矮，如155厘米，當然也可能比平均身高高，如170厘米。

師：看來，平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的一般水平，并不是其中的一個數(shù)據(jù)。

（2）池塘平均水深120厘米，亮亮想：我身高155厘米，下水游泳一定不會有危險。（ ）

生：不對！

師：為什么呀？亮亮的身高不是已經(jīng)超過平均水深了嗎？

生：平均水深120厘米，并不是說池塘里每一處的水深都是120厘米?？赡苡械牡胤奖容^淺，只有幾十厘米，而有的地方比較深，比如180厘米。所以，亮亮下水游泳可能會有危險。

師：說得真好！想看看這個池塘水底下的真實情形嗎？

出示池塘水底的剖面圖，印證同學的說法。

生（很驚訝）：原來是這樣，真的有危險！

（3）樂樂所在的三（1）班，同學們的平均身高是1.36米；可可所在的三（2）班，同學們的平均身高是1.32米。判斷下面說法是否正確，為什么？

①樂樂一定比可可長得高。（ ）

生：不對。因為樂樂有可能是三（1）班里最矮的，他的身高不到1.36米，甚至1.32米都不到，高個同學需要“勻”一些身高給他；可可有可能是三（2）班里最高的，他的身高“勻”給了個矮的同學。

②總體上說，三（1）班同學比三（2）班同學長得高。（ ）

生1：不對，因為兩個班的人數(shù)有可能不一樣多。

生2：是對的，因為題目中說“總體上說”，是看他們的“總體水平”，而我們學過“平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體水平”，所以比較平均數(shù)就行了。1.36大于1.32，就說明總體上說，三（1）班比三（2）班同學長得高。

師：你同意哪一種意見？（生2）確實，平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的總體水平，“總體上說”，三（1）班的1.36米要比三（2）班的1.32米高。

2.想一想，選一選

小林和小華進行了三場套圈比賽，每人每次都是套15個圈，下面是小林套中個數(shù)的統(tǒng)計。

A.比10個多 B.比10個少 C.套中10個

師：小林第三次套中的個數(shù)可能會是多少呢？為什么？

師：能確定第三次套中幾個嗎？為什么？

生1：7個。因為第一次的12比平均數(shù)10多2個，就需要移走2個，第二次的11比平均數(shù)多1個，需要移走1個，這樣一共要移走3個給第三次，所以第三次是10減3等于7個。

生2：我補充一下他的說法，因為第一次和第二次都比平均數(shù)多，它們都要移走幾個給第三次，所以第三次一定比平均數(shù)少。

生3：我是算出來的，10×3=30（個），30-12-11=7（個）。

師：真好！利用“移多補少”或者計算都能知道第三次是7個。如果第三次套中的不是7個，而是4個，平均數(shù)又該是多少？

生1：12+11+4=27（個），27÷3=9（個）。

生2：不用算就能知道，原來是7個，現(xiàn)在是4個，少了3個，平均分到每一次上，每一次正好可以分1個，所以平均數(shù)就少了1，變成了9個。

出示：兩次套圈情況統(tǒng)計圖。

師：請大家觀察剛才兩次套圈的統(tǒng)計圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：前兩次成績一樣，第三次成績變了。

師：兩次的平均數(shù)呢？

生：也不一樣。

師：看來，要使平均數(shù)發(fā)生變化，只需要改變其中的幾個數(shù)？

生：一個數(shù)。

師：難怪有人說，平均數(shù)很敏感，一組數(shù)據(jù)中的任何一個有點兒“風吹草動”，都會使平均數(shù)發(fā)生變化?，F(xiàn)在看來，這話有道理嗎？（有）大家還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：比平均數(shù)多的部分和比平均數(shù)少的部分一樣多，都是3個。

師：奇怪，為什么每一幅圖中，超出平均數(shù)的部分和不到平均數(shù)的部分都一樣多呢？

生：如果不一樣多，超過的部分移下來后，就不可能把不到的部分正好填滿。這樣就得不到平均數(shù)了。

師：說得有道理！這也是平均數(shù)的一個重要特點。

四、課堂總結(jié)。