基于坐標法的特大齒輪螺旋線偏差計算方法研究

趙 軍,陸首創(chuàng),郭天太,孔 明,王道檔

(中國計量大學 計量測試工程學院,浙江 杭州 310018)

基于坐標法的特大齒輪螺旋線偏差計算方法研究

趙 軍,陸首創(chuàng),郭天太,孔 明,王道檔

(中國計量大學 計量測試工程學院,浙江 杭州 310018)

為了解決特大齒輪的測量難題,提出一種計算特大齒輪螺旋線偏差的方法,并建立了相應的數(shù)學模型.使用三坐標測量機測量斜齒圓柱齒輪,得到齒面坐標數(shù)據(jù),計算出齒輪螺旋線偏差,并與齒輪測量中心結果進行比較和分析.結果表明，對于任意圓柱齒輪,該方法計算得出的齒輪螺旋線偏差與齒輪測量中心評定結果誤差小于14 μm,該方法可運用于特大齒輪螺旋線偏差的計算.

特大齒輪;齒輪軸線;螺旋線偏差

齒輪是一種重要的機械傳動零件,被廣泛應用于各行各業(yè).根據(jù)齒輪的模數(shù)和外徑,可以把齒輪分為微小齒輪、常規(guī)齒輪和大齒輪三種類型,行業(yè)內一般將直徑大于3 000 mm的大齒輪稱為特大齒輪[1].特大齒輪主要應用于重型機械傳動和重大工程項目中,如發(fā)電機組、重型工程機械、巨型船舶傳動及大型軍事設施等,在國民經濟和國防事業(yè)中發(fā)揮著不可替代的作用[2].

目前,大型齒輪檢測儀器主要有:德國Klingberg研制的P350齒輪測量中心,其可測工件最大直徑為3 800 mm;德國Wenzel公司研制的WGT6000,可測齒輪直徑最大直徑為6 000 mm;瑞士馬格公司生產的F-300、F-360、ES-30齒形檢查儀[3];日本大阪精密公司生產的HG-CLP型大齒輪測量系統(tǒng)[4].北京工業(yè)大學聯(lián)合哈爾濱量具刃具集團公司等單位研發(fā)了特大型齒輪激光跟蹤在位測量系統(tǒng),可測齒輪直徑小于10 m.對于特大型齒輪,目前很難實現(xiàn)精確測量.軸線是評定齒輪螺旋線偏差的基準,如何精確確定齒輪軸線是實現(xiàn)特大齒輪高精度測量的關鍵.

近年來,隨著關鍵設備對大型齒輪使用要求的不斷提高,以及大型齒輪加工工藝水平的快速提升,大型齒輪的精度也較以前大大提高,因此大型齒輪的檢測越來越受到重視.總的來說,大型齒輪的檢測已有可靠的手段,但特大型齒輪的檢測目前仍然缺乏有效手段[5].

傳統(tǒng)測量方式一般利用加工基準作為測量基準,本文基于坐標法,通過建立齒輪幾何中心計算模型,利用齒廓坐標計算得到的幾何中心坐標確定齒輪軸線,進而提出一種特大齒輪螺旋線偏差的計算方法,最后用某斜齒漸開線齒輪驗證方法的正確性,并將計算結果與齒輪測量中心評定結果進行比較和分析.

1 特大齒輪測量方案

根據(jù)GB/T10095.1—2008《漸開線圓柱齒輪 精度第1部分:輪齒同側齒面偏差的定義和允許值》,螺旋線的計值范圍Lβ是指在齒輪兩端處各減去下面兩個數(shù)值中較小的一個后的跡線長度,即與齒寬成正比而不包括齒端倒角和修圓在內的長度.兩個數(shù)值分別為5%的齒寬和一個模數(shù)的長度.

如圖1,選取對稱的兩對齒測量,盡量使兩對齒分布均勻.沿特大齒輪測量裝置坐標系Z軸方向,等間距選取測量截面.用測頭對每個截面要測量齒的漸開線齒廓進行掃描,從而獲得八個齒廓的坐標數(shù)據(jù).

圖1 任意截面測量齒廓示意圖Figure 1 Profile measurement of arbitrary cross-section diagram

2 齒輪幾何中心計算模型的建立

首先根據(jù)漸開線圓柱齒輪離散模型理論建立齒輪的離散數(shù)據(jù)模型[6],并計算得到漸開線理論齒廓數(shù)據(jù).假設齒輪第一個齒關于X軸對稱,規(guī)定逆時針方向為正向,則理論漸開線齒輪上第i個齒、第j個齒廓、第k個采樣點的坐標值為

(1)

式(1)中,i表示第i個齒;j表示左右齒廓;k表示任一齒廓上第k個采樣點;xijk、yijk分別為齒廓上點的橫、縱坐標;rb為基圓半徑;φk為漸開線齒廓上對應點的展角,φk=tan(arccos(rb/rk)),rk范圍為[rf,ra],rf,ra分別表示齒根圓半徑、齒頂圓半徑;θj為區(qū)分左右齒廓的角度,對于右齒廓θj=tana-a+π/2z,左齒廓θj=tana-a+π/2z,α為分度圓壓力角;ωi每個齒的對稱軸相對于X軸正向逆時針方向的旋轉角度ωi=i×2π/z.

如圖2,K是漸開線上任意一點,P是漸開線在基圓上的起點坐標,KK′為漸開線發(fā)生線,P′點為線段OK與基圓的交點,β為弧PP′對應的圓心角,則β角的表達式為

(2)

式(2)中,xo,yo分別為O點的橫、縱坐標值,xk,yk分別為K點的橫、縱坐標值.

圖2 求解β角示意圖Figure 2 Solve β angle

如圖3,點P′坐標值可根據(jù)三角形相似性求得,點P可看作點P′逆時針方向旋轉β角得到,則點P坐標(xP,yP),可由下式求得

(3)

圖3 求漸開線起點坐標Figure 3 Find the origin of the involute coordinates

式(3)中,xp,yp分別為P點的橫、縱坐標值;xp′,yp′分別為為P′點的橫、縱坐標值.根據(jù)實際情況，左齒廓測量點β取正值,右齒廓測量點β取負值.

同理,可根據(jù)每個齒廓所有測量點的坐標求出其對應的擬合漸開線的起點坐標,這些起點坐標的集合為{Pk(xk,yk)|k=1,2,3…n}.

如圖4,任取兩點Pk(xk,yk)、Pi(xi,yi),點Pi(xi,yi)與點Pk(xk,yk)之間的圓心角為θik,則

(4)

式(4)中xk,yk分別為Pk點的橫、縱坐標值;xi,yi分別為Pi點的橫、縱坐標值.

圖4 求解θi示意圖Figure 4 Solve θi angle

(5)

任一測量點到其對應的理論齒廓的距離的平方可以表示為

Sjk=(rb·|θik|)2.

(6)

則8個齒廓上所有的測量點與其對應的理論齒廓距離的平方和為

(7)

根據(jù)式(7),采用文獻[8]中的齒輪幾何中心迭代計算模型,求出S的最小值Smin,則其對應的幾何中心坐標值即可作為此截面的齒輪幾何中心,記為C.

3 確定齒輪軸線

沿Z軸任意方向等間距取m個測量截面,每個截面對應的幾何中心記為Ci(xi,yi,zi)(i=1,2…n).利用最小二乘法,將m個幾何中心點擬合成一條直線l,該直線即為齒輪軸線所在直線.軸線l的方向向量記為V=(μ,ρ,σ),則齒輪軸線所在直線的標準方程如下:

(8)

將式(8)整理可得

(9)

(10)

同理可得

(11)

當Q取最小值時,h1、b、h2、d為方程的系數(shù),即滿足下列方程時Q值最小

則

(12)

(13)

式(12)、(13)可重寫為

FF′H=FX，

(14)

FF′S=FY.

(15)

用m組數(shù)據(jù)點解方程組即可求得h1、b、h2、d的值,即可確定齒輪的軸線所在直線.

4 螺旋線偏差的計算

為了在計算螺旋線偏差時,能夠確定理論端截面齒廓的位置,將齒輪軸線所在直線作為新坐標系的Z軸,軸線與xoy平面的交點作為新坐標原點,對所有測量點進行坐標變換[10].坐標變換公式為

(16)

根據(jù)三維螺旋線誤差的定義:以理論螺旋線為基準進行螺旋線測量,實際螺旋線測量點偏離理論漸開螺旋面的量,在端平面內且垂直于漸開線齒廓的方向計值[11].即將點到漸開螺旋面的距離變換為點到漸開線的距離.本文將分度圓柱與漸開螺旋面的交線作為螺旋線偏差評定的基準.

如圖5(a)所示,r為分度圓半徑,任一與端截面內,D點為實際螺旋線上的測量點,Q點為理論漸開線齒廓與分度圓的交點,DQ為理論漸開線發(fā)生線.根據(jù)式(1)～(4)可求得θ的值.同理,可求得實際螺旋線上任一測量點Di所對應的θi值.在特大齒輪的測量方案中,測量漸開線齒廓時,測量點為離散坐標點,無法通過測量得到分度圓對應的實際螺旋線測量點的精確坐標值.本文采用測量點直線插值法即在距離分度圓最近的兩個測量點間插值求得D點坐標值.

(a)單截面

(b)多截面

如圖5(b)所示,D1、D2、…Dn為任意齒面上的實際螺旋線測量點,螺旋線總偏差為包容實際螺旋線跡線的設計螺旋線跡線間的距離[12].亦即包容所有實際螺旋線測量點的設計螺旋線間的距離.則任意齒面的螺旋線總偏差為

Fβ=rb×|θmax-θmin|.

(18)

式(18)中,θmax、θmin分別為θ的最大值和最小值.

5 實驗驗證

為了驗證本文所提出的特大齒輪螺旋線偏差計算方法的準確性,實驗中使用三坐標測量機對一斜齒圓柱齒輪進行測量,并與齒輪測量中心測量結果進行對比.實驗所用齒輪參數(shù)為:模數(shù)mn=8 mm,齒數(shù)z=47,壓力角αn=20°,螺旋角β=14°,齒寬b=60 mm,左旋.三坐標測量機測量時,在螺旋線計值范圍內,沿Z軸方向以3 mm等間距選取10個截面測量漸開線齒廓.

部分測量點數(shù)據(jù)如表1.本方法計算出的齒輪幾何中心坐標值如表2,齒輪測量中心評定出的偏差曲線如圖6,齒輪測量中心螺旋線偏差評定結果與本文所提方法計算結果如表3.

表1 部分測量點坐標值

表2 齒廓幾何中心坐標值

圖6 螺旋線偏差曲線圖Figure 6 Helix deflection curve

表3 齒輪測量中心評定結果與本文算法計算結果

Table 3 The result of the gear measurement center and the result of the algorithm

6 結 語

螺旋線偏差是大齒輪評定的關鍵指標.本文通過建立齒輪幾何中心計算模型,進而確定特大齒輪的軸線.對所提出特大齒輪螺旋線偏差計算方法進行了實驗驗證,使用?？怂箍等鴺藴y量機沿漸開線方向測量斜齒圓柱齒輪齒面,計算出齒輪螺旋線偏差.通過與齒輪測量中心實驗結果對比分析表明,該方法的可有效用于特大齒輪螺旋線偏差評定,從而為特大齒輪的測量提供了新方法,可有效運用于實際測量中.

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A coordinate method of spiral deviation of super-large gears

ZHAO Jun, LU Shouchuang, GUO Tiantai, KONG Ming, WANG Daodang
(College of Metrology and Measurement Engineering, China Jiliang University, Hangzhou 310018, China)

We proposed a method of calculating the helix error of super-large gears and established the corresponding mathematical model. The coordinate measuring machine was used to measure a helical cylindrical gear to get its tooth surface coordinate values. The helix deviation was calculated and compared with the result of the gear measuring center. That the error between the proposed method and the gear center’s measurement was less than 14 μm. The result shows that the proposed method can be applied in the determination of super-large gear axis and the calculation of helix deviation.

super-large gear; gear’s geometrical center; gear axis

2096-2835(2017)01-0023-06

10.3969/j.issn.2096-2835.2017.01.004

2016-12-08 《中國計量大學學報》網址：zgjl.cbpt.cnki.net

國家自然科學基金資助項目(No.51375467),國家質檢公益性行業(yè)科研專項項目(No.201410009).

趙 軍(1960- ),男,黑龍江省哈爾濱人,教授,主要研究方向為機械振動噪聲控制與信號處理等. E-mail:zhaojun@cjlu.edu.cn

TG86

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