基于徑向預(yù)緊的滾輪齒條傳動(dòng)力學(xué)性能研究

李 波 ，劉清蟬 ，林 聰 ，楊 明

（1.云南電網(wǎng)有限責(zé)任公司 電力科學(xué)研究院，云南 昆明 650217；2.中國(guó)南方電網(wǎng)公司 電能計(jì)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，云南 昆明 650217）

1 引言

滾輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)齒條上的理論廓線為短幅擺線，實(shí)際廓線為理論廓線的等距偏移線，偏移距離為滾輪上滾柱的半徑；滾輪周向均勻安裝有多個(gè)滾柱，滾柱通過(guò)滾針或者軸承與滾輪連接。滾輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)通過(guò)滾柱在齒條齒面上純滾動(dòng)以實(shí)現(xiàn)位移、能量的傳遞，徑向預(yù)緊時(shí)，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)能夠?qū)崟r(shí)消除齒側(cè)背隙，實(shí)現(xiàn)精密傳動(dòng)，精密傳動(dòng)機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)實(shí)時(shí)精密傳動(dòng)是其重要價(jià)值的體現(xiàn)[1]。

滾輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)具有高精度、高效率以及大行程，在精密傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中有良好的應(yīng)用前景[2-3]，國(guó)內(nèi)外較多學(xué)者對(duì)該傳動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[4]采用解析的方法，推導(dǎo)出計(jì)算重合度的方法，并建立量化重合度與齒頂圓厚度的相互關(guān)系；文獻(xiàn)[5]通過(guò)二維制圖軟件對(duì)齒形進(jìn)行了設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[6]提出了一種通過(guò)引入齒根圓弧半徑代替標(biāo)準(zhǔn)擺線齒輪根防止齒輪齒故障的新方法，對(duì)所提出的設(shè)計(jì)齒輪齒的性能進(jìn)行評(píng)估；文獻(xiàn)[7]對(duì)CF和TF彎曲強(qiáng)度進(jìn)行了比較，CF可獲得較小的壓力角。

2 傳動(dòng)原理

滾輪齒條傳動(dòng)結(jié)構(gòu)，如圖1所示。滾輪滾圓半徑為r0，滾柱半徑為r。滾柱與滾輪通過(guò)滾針軸承聯(lián)接。滾輪與齒條安裝后，多個(gè)滾柱與齒條相切，滾輪加載徑向預(yù)緊，嚙合線處產(chǎn)生一定預(yù)緊量。滾輪作為主動(dòng)件轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，滾柱與齒條齒面嚙合，并在齒條齒面純滾動(dòng)，嚙合副產(chǎn)生的法向力推動(dòng)齒條移動(dòng)，實(shí)現(xiàn)動(dòng)力輸出。

圖1 齒輪滾條結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic Diagram of a Rolling Gear

3 法向力計(jì)算

齒條理論齒面齒面方程為：

式中：K—短幅系數(shù)；

r0—滾圓半徑；

n—滾柱數(shù)目，φ1=arccos［（-h+Kr0+dr/2）/（Kr0）］（單位統(tǒng)一）。

滾輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)受力分析，如圖2所示。滾柱繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，建立直角坐標(biāo)系XOY；δ0—徑向預(yù)緊量；M0—阻力矩；Rx—滾柱分布圓半徑；α—壓力角；Fn—嚙合法向力；φ—滾柱轉(zhuǎn)過(guò)角度；l為法向力力臂；P—滾柱與齒條相對(duì)速度為0的點(diǎn)；R—O點(diǎn)與P點(diǎn)之間的距離。

屋里屋外到處都是碎紙片，像電影電視里逃亡前的畫(huà)面。連垃圾桶都搬走了，院子里空蕩蕩的，只有無(wú)花果突兀地立在中間。南菜的日子，都留在無(wú)花果身上了。

加載預(yù)緊量δ0，滾柱相對(duì)齒面法向趨近量為δy。齒條運(yùn)動(dòng)時(shí)，滾輪受到阻力矩M0作用，產(chǎn)生滯后轉(zhuǎn)角αz，滾柱相對(duì)齒面法向趨近量為 δz。δz與 αz之間的關(guān)系為：

其中，l=R cosα。

壓力角與轉(zhuǎn)角φ之間的關(guān)系為：

嚙合線趨近量與法向力之間的非線性關(guān)系為：

式中：lc—接觸線長(zhǎng)度；

dr—滾柱直徑；

dc—齒條齒面曲率半徑二倍。

圖2 受力分析圖Fig.2 Force Analysis Diagram

在預(yù)緊條件下，聯(lián)立式（1）、式（2）可得：

設(shè)轉(zhuǎn)角為φ時(shí)參與嚙合的滾柱數(shù)目為Z，第i個(gè)滾柱與齒面的彈性趨近量為δzi，根據(jù)滾柱的靜力平衡條件可知：

式中：Fni—第i個(gè)滾柱法向力；li—第i個(gè)滾柱法向力作用線到O點(diǎn)距離。

聯(lián)立式（3）、式（4）可得 αz與阻力矩 M0徑向預(yù)緊 δy之間的函數(shù)關(guān)系式，通過(guò)數(shù)值分析軟件進(jìn)行求解。

齒條齒面曲率半徑為：

嚙合線上的接觸應(yīng)力[8]為：

式中：μ1、μ2—滾柱、齒條的泊松比；E1、E2—滾柱、齒條的彈性模量，1/Σρ=2/d r+2/d c。

4 應(yīng)力分析

齒頂需要進(jìn)行修型，修型后齒高h(yuǎn)=9mm，機(jī)構(gòu)參數(shù)為滾柱直徑 dr=4mm，滾圓半徑 R=40mm，滾柱個(gè)數(shù) 20，φ1為 0.6342，短幅系數(shù) K=0.9，預(yù)緊量δ0=3μm。

4.1 阻力矩對(duì)應(yīng)力的影響

滾柱直徑d r=4mm、預(yù)緊量δ0=3μm時(shí)，阻力矩對(duì)應(yīng)力的影響，如圖3所示。阻力矩分別為 0N·m、10N·m、20N·m、30N·m、40N·m時(shí)，應(yīng)力隨轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律，如圖3所示。

圖3 阻力矩對(duì)嚙合副應(yīng)力的影響Fig.3 The Influence of the Resistance Moment on the Stress of the Meshing Pair

阻力矩為0N·m時(shí)，嚙合副應(yīng)力由徑向預(yù)緊量產(chǎn)生，應(yīng)力曲線關(guān)于φ=0對(duì)稱，一周期內(nèi)應(yīng)力曲線出現(xiàn)8個(gè)斷點(diǎn)（φ=0rad前后存在斷點(diǎn)），最大值為761.4MPa，出現(xiàn)在φ=±0.3209rad處，最小值為501.6MPa，出現(xiàn)在φ=0rad處。阻力矩為0N·m時(shí)，加載徑向預(yù)緊力后，嚙合線處的嚙合剛度系數(shù)不同，滾輪實(shí)現(xiàn)靜平恒時(shí)彈性轉(zhuǎn)角不為零，滾柱與齒嚙入、嚙出時(shí)應(yīng)力曲線出現(xiàn)斷點(diǎn)，則一周期內(nèi)應(yīng)力曲線會(huì)出現(xiàn)8個(gè)斷點(diǎn)。阻力矩大于0N·m時(shí)，嚙合副應(yīng)力由徑向預(yù)緊量和阻力矩產(chǎn)生。隨著阻力矩增加，在區(qū)間（-φ1，0）內(nèi)的嚙合線應(yīng)力逐漸減小，在區(qū)間（0，φ1）內(nèi)的嚙合線應(yīng)力逐漸增加，斷點(diǎn)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角值不發(fā)生變化，最大值出現(xiàn)在φ=0.3209rad處，φ1為定值0.6342。阻力矩為30N·m時(shí)，前半周期應(yīng)力曲線在部分區(qū)間出現(xiàn)零值。

4.2 滾柱直徑對(duì)應(yīng)力的影響

圖4 滾柱直徑對(duì)嚙合副應(yīng)力的影響Fig.4 Influence of Roller Diameter on Stress of Meshing Pair d r=5mm時(shí)，φ1=0.6104rad，應(yīng)力最大值為875.7MPa，出現(xiàn)在φ=

阻力矩M0=20N·m、δ0=3μm時(shí)，滾柱直徑對(duì)應(yīng)力的影響如圖4所示，滾柱直徑分別為5mm、6mm、7mm時(shí)，齒高分別為9mm、8.6mm、8mm，φ1分別為 0.5054rad、0.5653rad、0.6104rad，應(yīng)力隨轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律，如圖4所示。0.298rad處；dr=6mm時(shí)，φ1=0.5653rad，應(yīng)力最大值為837.5MPa，出現(xiàn)在φ=0.271rad處，前半周期部分區(qū)間內(nèi)應(yīng)力為0；dr=7mm時(shí)，φ1=0.5054rad，應(yīng)力最大值為769.5MPa，出現(xiàn)在φ=0.271rad處。隨著滾柱直徑的增加，φ1值逐漸減小，應(yīng)力最大值逐漸減小，一周期內(nèi)斷點(diǎn)數(shù)為6個(gè)。

4.3 預(yù)緊量對(duì)應(yīng)力的影響

阻力矩M0=20N·m、滾柱直徑dr=4mm時(shí)，預(yù)緊位移對(duì)應(yīng)力的影響，如圖5所示。預(yù)緊量分別為0μm、1μm、2μm時(shí)，應(yīng)力隨轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律，如圖5所示。

圖5 預(yù)緊量對(duì)嚙合副應(yīng)力的影響Fig.5 The Influence of Preload on the Stress of Meshing Pair

δ0=0μm時(shí)，應(yīng)力最大值為887.8MPa，出現(xiàn)在φ=0.3218rad處，前半周期嚙合副應(yīng)力為0；δ0=1μm時(shí)，應(yīng)力最大值為870.9MPa，出現(xiàn)在φ=0.3218rad處，在區(qū)間（-0.6342，-0.1402）嚙合副應(yīng)力為0；δ0=2μm時(shí)，應(yīng)力最大值為851.8MPa，出現(xiàn)在φ=0.3218rad處，在前半周期較小區(qū)間內(nèi)嚙合副應(yīng)力為0。隨著徑向預(yù)緊量的增加，應(yīng)力最大值逐漸減小，應(yīng)力最大值所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角值不變，應(yīng)力為零的區(qū)間逐漸減小。

5 結(jié)論

建立嚙合副受力分析模型，根據(jù)力矩平衡方程得到傳動(dòng)機(jī)構(gòu)嚙合副法向力，分析不同參數(shù)對(duì)應(yīng)力的影響，得到如下結(jié)論：

（1）隨著阻力矩增加，前半周期嚙合副應(yīng)力逐漸減小，后半周期嚙合副應(yīng)力逐漸增加，應(yīng)力最大值對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)角為定值，應(yīng)力曲線出現(xiàn)斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為定值，斷點(diǎn)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角值不發(fā)生變化。阻力矩達(dá)到一定值時(shí)，前半周期嚙合副出現(xiàn)齒側(cè)間隙。

（2）隨著滾柱直徑的增加，φ1值逐漸減小，應(yīng)力最大值逐漸減小。Dr達(dá)到一定值時(shí)，應(yīng)力最大值對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)角不發(fā)生變化，一周期內(nèi)斷點(diǎn)數(shù)減少。

（3）隨著徑向預(yù)緊量的增加，應(yīng)力最大值逐漸減小，應(yīng)力最大值所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角值不變，前半周期應(yīng)力為零的區(qū)間逐漸減小。