乏信息條件下滾動(dòng)軸承振動(dòng)性能可靠性變異過(guò)程預(yù)測(cè)

夏新濤， 葉 亮， 常 振， 邱 明

(河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471003)

乏信息條件下滾動(dòng)軸承振動(dòng)性能可靠性變異過(guò)程預(yù)測(cè)

夏新濤， 葉 亮， 常 振， 邱 明

(河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471003)

提出變異概率、變異速度和變異加速度等新概念，基于最大熵原理和泊松過(guò)程建立可靠性預(yù)測(cè)模型，對(duì)滾動(dòng)軸承振動(dòng)性能可靠性的變異過(guò)程進(jìn)行預(yù)測(cè)。運(yùn)用最大熵原理，計(jì)算本征序列中性能數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)；根據(jù)泊松過(guò)程，獲得細(xì)分后時(shí)間序列中性能數(shù)據(jù)落在本征序列置信區(qū)間之外的變異個(gè)數(shù)和變異概率；對(duì)時(shí)間進(jìn)行離散化處理，計(jì)算各個(gè)時(shí)間序列振動(dòng)性能可靠性的變異速度和變異加速度。以滾動(dòng)軸承(SKF6205)為例，進(jìn)行滾動(dòng)軸承振動(dòng)加速度實(shí)驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果表明，隨著磨損直徑的逐漸增大，可靠性變異概率呈非線性增長(zhǎng)的趨勢(shì)，總體上可分為初級(jí)磨合階段、正常性能退化階段和性能惡化階段。而且，該可靠性預(yù)測(cè)模型可以分析乏信息條件下可靠性的變異過(guò)程，為現(xiàn)有的可靠性方法做出有益補(bǔ)充。

滾動(dòng)軸承；可靠性；振動(dòng)性能；最大熵原理；泊松過(guò)程；變異過(guò)程；乏信息

根據(jù)滾動(dòng)軸承當(dāng)前時(shí)間的振動(dòng)性能運(yùn)行數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)其在未來(lái)某一時(shí)間的失效概率與可靠性，稱(chēng)為振動(dòng)性能可靠性變異(變化/退化)過(guò)程預(yù)測(cè)[1]。滾動(dòng)軸承性能可靠性，是指在試驗(yàn)和服役期間，滾動(dòng)軸承滿(mǎn)足工作主機(jī)要求的可能性。滾動(dòng)軸承是一種常用的機(jī)械設(shè)備，它是軸及其它旋轉(zhuǎn)構(gòu)件的重要支承，其性能好壞對(duì)于設(shè)備的正常運(yùn)轉(zhuǎn)具有十分重要的作用。滾動(dòng)軸承的性能，例如，疲勞壽命、摩擦力矩、振動(dòng)和噪聲等方面的性能可靠性，直接影響工作主機(jī)的運(yùn)行狀態(tài)[2-5]。

現(xiàn)有的性能可靠性預(yù)測(cè)方法，一般都事先假設(shè)樣本概率密度函數(shù)、性能失效閾值已知，從而對(duì)性能可靠性進(jìn)行計(jì)算和分析。例如，夏新濤等[6]提出自助加權(quán)范數(shù)法，假設(shè)滾動(dòng)軸承壽命服從三參數(shù)威布爾分布，從而評(píng)估可靠性的最優(yōu)置信區(qū)間。ALI等[7]假定軸承疲勞壽命服從威布爾分布，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)預(yù)報(bào)原理，從而分析軸承性能可靠性；鄭銳[8]根據(jù)三參數(shù)威布爾分布的特點(diǎn)，融合了圖解法和遺傳算法，提出一種新的參數(shù)估計(jì)方法；但召江等[9]在形狀參數(shù)先驗(yàn)分布分別為均勻分布與擬合出的概率分布時(shí),利用無(wú)失效試驗(yàn)數(shù)據(jù)得出失效率和形狀參數(shù)的Bayes估計(jì),進(jìn)而計(jì)算出Weibull分布的特征壽命。但是，在軸承服役期間，有很多性能退化與失效概率分布信息是未知的。例如，摩擦力矩、振動(dòng)與噪聲等性能失效概率分布至今仍然是未知或不確定的。概率分布未知樣本數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估問(wèn)題，屬于乏信息范疇。

乏信息(貧信息)，是指研究對(duì)象的特征信息不完備與不充分。在軸承性能評(píng)估中，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本總體的概率分布未知或者概率分布很復(fù)雜，同時(shí)(或)僅有小樣本數(shù)據(jù)可供參考，就屬于乏信息問(wèn)題。只有極少個(gè)樣本數(shù)據(jù)，而沒(méi)有樣本總體的任何概率分布信息屬于嚴(yán)重乏信息問(wèn)題，樣本總體趨勢(shì)項(xiàng)的先驗(yàn)信息無(wú)任何規(guī)律性，也屬于乏信息范疇。乏信息問(wèn)題運(yùn)用現(xiàn)有的可靠性評(píng)估方法難以解決，到目前為止還是一個(gè)重要的科學(xué)技術(shù)難題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者經(jīng)過(guò)不懈努力，研究出一些成果。例如，賈波等[10]在仿真實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)最大熵方法存在溢出的問(wèn)題，通過(guò)變量變化法解決了此問(wèn)題；VERMA等[11]運(yùn)用模糊集理論解決了乏信息問(wèn)題；SHINJI等[12]運(yùn)用小波變換和模糊系統(tǒng)理論，對(duì)軸承故障進(jìn)行診斷。

最大熵原理能夠?qū)ξ粗母怕史植甲龀鲋饔^偏見(jiàn)為最小的最佳估計(jì)，在處理概率分布未知的樣本數(shù)據(jù)過(guò)程中起到了非常重要的作用，被國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者用在自己的科學(xué)研究中。例如，夏新濤等[13]將灰自助原理和最大熵原理相融合，得到一種新的數(shù)據(jù)處理方法，從而對(duì)機(jī)械制造工藝中輸出的誤差分布及機(jī)床加工誤差進(jìn)行調(diào)整；楊杰等[14]基于最大熵原理，提出貝葉斯不確定性反分析方法，將信息熵理論與貝葉斯法有機(jī)結(jié)合，從而使不確定性反分析的系統(tǒng)辨識(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為對(duì)貝葉斯準(zhǔn)則函數(shù)的最優(yōu)化求解問(wèn)題；張道兵等[15]基于最大熵原理與最優(yōu)化方法,對(duì)隧道襯砌結(jié)構(gòu)可靠度進(jìn)行分析；董新峰等[16]綜合運(yùn)用最大熵原理與鑒別信息方法，對(duì)M1432B型磨床工件主軸X2方向退化進(jìn)行分析。

本征序列是指滾動(dòng)軸承最佳運(yùn)行狀態(tài)時(shí)期的時(shí)間序列。變異頻率(變異強(qiáng)度)，是指時(shí)間序列中性能數(shù)據(jù)超出本征序列置信區(qū)間的個(gè)數(shù)占其總個(gè)數(shù)的比例，是影響軸承性能可靠性變異過(guò)程的重要特征參數(shù)。根據(jù)泊松過(guò)程，滾動(dòng)軸承性能可靠性變異過(guò)程是指基于振動(dòng)信息的時(shí)間序列，以變異頻率為參數(shù)的計(jì)數(shù)過(guò)程。夏新濤等[17]將灰自助原理融入泊松過(guò)程，提出灰自助泊松方法，以預(yù)測(cè)滾動(dòng)軸承振動(dòng)性能可靠性的變異過(guò)程。在乏信息條件下，本文基于最大熵原理和泊松過(guò)程，提出滾動(dòng)軸承振動(dòng)性能可靠性變異過(guò)程評(píng)估模型，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究驗(yàn)證該模型的科學(xué)性和合理性，能夠?yàn)楝F(xiàn)有可靠性方法做出有益補(bǔ)充。

1 數(shù)學(xué)模型

在滾動(dòng)軸承服役期間，對(duì)其振動(dòng)加速度進(jìn)行定期采樣。定義時(shí)間變量為t，數(shù)據(jù)采樣時(shí)間周期為τ，τ為取值很小的常數(shù)，滾動(dòng)軸承服役周期內(nèi)可獲得r個(gè)時(shí)間序列。本征序列是指滾動(dòng)軸承最佳運(yùn)行狀態(tài)時(shí)期的時(shí)間序列，記為第1個(gè)時(shí)間序列，用向量X1表示。

(1)

式中：x(k)為本征序列中的第k個(gè)性能數(shù)據(jù)；k為性能數(shù)據(jù)在本征序列中的序號(hào)，k=1,2,3,…,N(N≥1 000)；N為性能數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)。

隨著時(shí)間t進(jìn)行，不斷采集振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)，獲得第n個(gè)時(shí)間序列向量Xn。

(2)

式中：xn(k)為第n個(gè)時(shí)間序列的第k個(gè)性能數(shù)據(jù)；n為時(shí)間序列的序號(hào)，n=1,2,3,…,r。

所獲得的時(shí)間序列矢量X可以表示為

(3)

1.1 最大熵原理

運(yùn)用最大熵原理能夠?qū)ξ粗母怕史植甲龀鲋饔^偏見(jiàn)為最小的最佳估計(jì)。為敘述方便，用連續(xù)變量x表示本征序列中的離散變量。

根據(jù)最大熵原理，最無(wú)主觀偏見(jiàn)的概率密度函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足熵最大，即：

(4)

式中:H(x)為信息熵；Ω為隨機(jī)變量x的可行域；f(x)為連續(xù)變量x的概率密度函數(shù)；lnf(x)為f(x)的對(duì)數(shù)。

式(4)應(yīng)滿(mǎn)足約束條件：

(5)

(6)

式中:i為原點(diǎn)矩階數(shù)，i=0,1,2,…,m；m為最高階原點(diǎn)矩的階次；mi為第i階原點(diǎn)矩，m0=1。

采用拉格朗日乘子法求解此問(wèn)題，通過(guò)調(diào)整f(x)使熵達(dá)到最大值。設(shè)L(x)為拉格朗日函數(shù)，ci為第i個(gè)拉格朗日乘子，從而得到

(7)

令

(8)

可得

(9)

化簡(jiǎn)后得到

(10)

因此，可得概率密度函數(shù)f(x)的表達(dá)式為

(11)

根據(jù)式(5)和(11)，可得

(12)

第1個(gè)乘子c0可以表示為

(13)

將式(12)對(duì)ci進(jìn)行微分，可得

(14)

將式(13)對(duì)ci進(jìn)行微分，可得

(15)

根據(jù)式(14)和(15)，可得其他的拉格朗日乘子應(yīng)滿(mǎn)足條件

(16)

通過(guò)式(16)可得到求解ci,i=0,1,2,…,m；再根據(jù)式(13)可求解出c0，進(jìn)而根據(jù)式(11)求解出f(x)。

1.2 本征序列性能數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)

本征序列性能數(shù)據(jù)的估計(jì)真值X01為

(17)

設(shè)顯著性水平為α∈[0,1]，則置信水平為

(18)

設(shè)置信水平P條件下的最大熵估計(jì)區(qū)間為[XL，XU]，下邊界值XL=Xα/2，且有：

(19)

式中:Ω0為隨機(jī)變量可行域的最小值；XL為估計(jì)區(qū)間的下限值；Xα/2為置信水平為P時(shí)的估計(jì)區(qū)間的下限值。

上界值XU=X(1-α/2)，且應(yīng)滿(mǎn)足條件：

(20)

式中:XU為估計(jì)區(qū)間的上限值；X(1-α/2)為置信水平為P時(shí)的估計(jì)區(qū)間的上限值。

因此，連續(xù)變量x的最大熵估計(jì)區(qū)間為

(21)

根據(jù)式(21)，計(jì)算本征序列的最大熵估計(jì)區(qū)間[XL1,XU1]，其中，XL1為本征序列最大熵估計(jì)區(qū)間的下限值，XU1為本征序列最大熵估計(jì)區(qū)間的上限值。

1.3 基于泊松過(guò)程計(jì)算變異頻率

基于泊松過(guò)程，記錄第n個(gè)時(shí)間序列的性能數(shù)據(jù)落在本征序列最大熵估計(jì)區(qū)間[XL1，XU1]之外的個(gè)數(shù)Nn，獲得第n個(gè)時(shí)間序列的變異頻率λn。

(22)

(23)

式中:Nn1為第n個(gè)時(shí)間序列向量Xn中的性能數(shù)據(jù)小于XL1的個(gè)數(shù)；Nn2為第n個(gè)時(shí)間序列向量Xn中的性能數(shù)據(jù)大于XL2的個(gè)數(shù)；n是時(shí)間序列的序號(hào)，n=1,2,3,…,r。

1.4 變異概率預(yù)測(cè)

滾動(dòng)軸承性能可靠性函數(shù)用Rn(t)表示為

(24)

式中:Rn(t)為t時(shí)刻第n個(gè)時(shí)間序列性能可靠性函數(shù);λn為第n個(gè)序列樣本數(shù)據(jù)落在本征序列可靠性函數(shù)區(qū)間外的頻率，n=1,2,3,…,r。

定義軸承性能數(shù)據(jù)的子序列相對(duì)本征序列的變異概率Pn(t)為

(25)

式中:Pn(t)為第n個(gè)子序列相對(duì)本征序列的變異概率;Sn(t)為第n個(gè)子序列概率密度函數(shù)與本征序列的概率密度函數(shù)重合部分的面積，n=2,3,…,r。

(26)

式中:t為連續(xù)時(shí)間變量;tn為第n個(gè)時(shí)間序列概率密度函數(shù)與本征序列的概率密度函數(shù)交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻;f1(t)、fn(t)分別為本征序列性能數(shù)據(jù)可靠性演變過(guò)程的概率密度函數(shù)和第n個(gè)子序列性能數(shù)據(jù)可靠性演變過(guò)程的概率密度函數(shù)。

(27)

(28)

1.5 各個(gè)時(shí)間序列變異速度和變異加速度的預(yù)測(cè)

將振動(dòng)性能可靠性的變異速度和變異加速度作為特征參數(shù)，預(yù)測(cè)滾動(dòng)軸承各時(shí)間序列內(nèi)振動(dòng)性能的變異過(guò)程。

在滾動(dòng)軸承服役期間，將時(shí)間變量t進(jìn)行離散化處理，認(rèn)為λn隨時(shí)間變化而相應(yīng)變化。τ為時(shí)間間隔，是取值很小的常數(shù)。用t時(shí)刻的性能可靠性的變異速度v(t)來(lái)表征滾動(dòng)軸承在該時(shí)刻的性能可靠性變異趨勢(shì)，用t時(shí)刻的性能可靠性的變異加速度a(t)來(lái)表征滾動(dòng)軸承在該時(shí)刻的性能可靠性的變異速度v(t)的變化趨勢(shì)。

(29)

式中:ΔR為滾動(dòng)軸承性能在間隔τ內(nèi)的可靠性變化量，R(t+τ)為t+τ時(shí)刻軸承性能可靠度，R(t)為t時(shí)刻軸承性能可靠度;λt+τ、λt分別為t+τ時(shí)刻和t時(shí)刻時(shí)間序列性能可靠性相對(duì)本征序列的變異頻率。

(30)

式中:vn(t)為t時(shí)刻第n+1個(gè)時(shí)間序列相對(duì)于第n個(gè)時(shí)間序列的性能可靠性的變異程度;λn+1、λn分別為第n+1個(gè)、第n個(gè)時(shí)間序列樣本數(shù)據(jù)落在本征序列置信區(qū)間外的變異頻率，n=1,2,…,r-1。

(31)

式中:a(t)為t時(shí)刻滾動(dòng)軸承性能可靠性的變異加速度；Δv為在時(shí)間間隔τ內(nèi)，滾動(dòng)軸承性能可靠性變異速度的變化量；v(t+τ)為(t+τ)時(shí)刻軸承性能可靠性的變異速度，v(t)為t時(shí)刻軸承性能可靠性的變異速度。

(32)

式中:an(t)為t時(shí)刻第n+2個(gè)時(shí)間序列相對(duì)于第n個(gè)時(shí)間序列的性能變異加速度；vn+1(t)為t時(shí)刻第n+2個(gè)時(shí)間序列相對(duì)于第n+1個(gè)時(shí)間序列的性能可靠性的變異速度，vn(t)為t時(shí)刻第n+1個(gè)時(shí)間序列相對(duì)于第n個(gè)時(shí)間序列的性能變異速度；λn+2、λn+1、λn分別為第n+2個(gè)、第n+1個(gè)和第n個(gè)時(shí)間序列樣本數(shù)據(jù)落在本征序列置信區(qū)間外的變異頻率；n=1,2,…,r-2。

2 試驗(yàn)研究

該試驗(yàn)通過(guò)改變軸承內(nèi)圈溝道表面磨損直徑D，測(cè)量其振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)，從而預(yù)測(cè)振動(dòng)性能可靠性的變異概率、變異速度和變異加速度。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自美國(guó)Case Western Reserve University的軸承數(shù)據(jù)中心網(wǎng)站，實(shí)驗(yàn)臺(tái)主要包括一個(gè)電動(dòng)機(jī)，一個(gè)扭矩傳感器/譯碼器和一個(gè)功率測(cè)試計(jì)等。待檢測(cè)的軸承支撐著電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)軸，驅(qū)動(dòng)端軸承型號(hào)為SKF6205，風(fēng)扇端軸承型號(hào)為SKF6203。軸承振動(dòng)加速度信號(hào)用加速度傳感器測(cè)量。采用的驅(qū)動(dòng)端轉(zhuǎn)速為1 797 r/min、采樣頻率為12 kHz得到的軸承內(nèi)圈溝道有磨損的故障數(shù)據(jù)，磨損直徑分別為0 mm，0.177 8 mm，0.533 4 mm和0.711 2 mm。磨損直徑為0 mm時(shí)獲得的振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)序列視為本征序列，如圖1所示。

圖1 本征序列振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)

基于最大熵原理，采用拉格朗日乘子法求解，可得概率密度函數(shù)f(x)，如圖2所示。

圖2 本征序列的概率密度函數(shù)

取顯著性水平α為0.05，可得置信水平P=95%條件下,本征序列的最大熵估計(jì)區(qū)間為[-0.111 4，0.123 5]m/s2。

把磨損直徑分別為0.177 8 mm，0.533 4 mm和0.711 2 mm時(shí)測(cè)得的振動(dòng)加速度序列看做是第2個(gè)、第3個(gè)、第4個(gè)時(shí)間序列，振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)序列如圖3所示。

由圖3可知，軸承振動(dòng)隨著磨損直徑的增大而逐漸加劇，因此認(rèn)為軸承振動(dòng)性能與磨損直徑大小緊密相關(guān)。

而且，圖1和圖3中軸承振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)表明內(nèi)圈溝道在不同磨損直徑條件下，該軸承振動(dòng)性能具有明顯不同的波動(dòng)程度和趨勢(shì)變化，振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)樣本概率分布未知或者很復(fù)雜，且振動(dòng)性能趨勢(shì)項(xiàng)的先驗(yàn)信息無(wú)任何規(guī)律性，這些都屬于乏信息范疇。

根據(jù)泊松計(jì)數(shù)原理，記錄磨損直徑分別為0 mm,0.177 8 mm，0.533 4 mm和0.711 2 mm時(shí)測(cè)得的各時(shí)間序列的1 600個(gè)性能數(shù)據(jù)落在本征序列最大熵估計(jì)區(qū)間[-0.111 4 m/s2，0.123 5 m/s2]之外的個(gè)數(shù)Nn和頻率λn，如表1所示。

(a)第2時(shí)間序列的振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)

(b)第3時(shí)間序列的振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)

(c)第4時(shí)間序列的振動(dòng)加速度

表1 各時(shí)間序列的變異數(shù)和變異頻率Tab.1 Variation number and variation frequency of time series

由表1可得，各個(gè)時(shí)間序列的變異頻率λn與磨損直徑D存在一定的關(guān)系，如圖4所示。

為了研究振動(dòng)性能變異的具體過(guò)程，由圖4可得磨損直徑從0 mm到0.75 mm軸承振動(dòng)性能可靠性的變異頻率λn，如表2所示。

圖4 不同磨損直徑下的變異頻率

表2 細(xì)分后軸承振動(dòng)性能可靠性的變異頻率

由表2可得，置信水平P=95%條件下各個(gè)時(shí)間序列的振動(dòng)性能可靠性估計(jì)函數(shù)，如圖5所示。根據(jù)圖6，可計(jì)算出子序列概率密度函數(shù)與本征序列的概率密度函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)tn，n=2,3,…,6；根據(jù)式(26)，計(jì)算出子序列概率密度函數(shù)與本征序列的概率密度函數(shù)重合部分的面積Sn，進(jìn)而得到軸承性能數(shù)據(jù)的子序列相對(duì)本征序列的變異概率Pn，如表3所示。

圖5 不同磨損直徑下的可靠性估計(jì)真值函數(shù)

Fig.5 Estimated true value functions of reliability for different wear diameters

根據(jù)式(28)，可得各個(gè)子序列性能數(shù)據(jù)可靠性演變過(guò)程的概率密度函數(shù)fn(t)，如圖6所示。

圖6 可靠性概率密度函數(shù)

表3 細(xì)分后時(shí)間序列的變異概率

根據(jù)JB/T 50013—2000《滾動(dòng)軸承壽命及可靠性試驗(yàn)規(guī)程》規(guī)定，疲勞失效是試驗(yàn)軸承的滾動(dòng)體或套圈工作表面上發(fā)生的有一定深度和面積的基體金屬剝落。而且規(guī)定，球軸承剝落面積不小于0.5 mm2，從而認(rèn)為磨損直徑為0.798 mm時(shí)獲得的加速度數(shù)據(jù)即為振動(dòng)性能處于失效時(shí)期的原始數(shù)據(jù)，即變異概率為1。根據(jù)表3，可得變異概率與磨損直徑之間的關(guān)系，如圖7所示。

圖7 可靠性變異概率曲線

由圖7可知，隨著磨損直徑的增大，各時(shí)間序列相對(duì)本征序列的振動(dòng)性能可靠性變異概率逐漸增大，這是因?yàn)殡S著磨損直徑的增大，軸承振動(dòng)越來(lái)越劇烈。因此，在振動(dòng)性能可靠性變異概率P>0.8之前，應(yīng)該對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)密監(jiān)視，同時(shí)盡快做好維護(hù)或更換軸承的準(zhǔn)備。即認(rèn)為，軸承磨損直徑達(dá)到約0.75 mm后，振動(dòng)性能?chē)?yán)重惡化，振動(dòng)性能可靠性變異嚴(yán)重?？煽啃宰儺惛怕士傮w上呈非線性增長(zhǎng)的趨勢(shì)，該趨勢(shì)可以分為3個(gè)階段。第一階段：當(dāng)磨損直徑從0逐漸增大時(shí)，可靠性變異概率增長(zhǎng)較快；第二階段：隨著磨損直徑的繼續(xù)增大，可靠性變異概率增長(zhǎng)緩慢且有微量波動(dòng)；第三階段：當(dāng)磨損直徑超出某一范圍，可靠性變異概率迅速增長(zhǎng)到1。

由圖5可知，隨著時(shí)間的增加和磨損直徑的增大，軸承振動(dòng)性能可靠性逐漸降低。用各個(gè)時(shí)間序列相對(duì)于本征序列的性能可靠性變異速度來(lái)表征軸承振動(dòng)性能可靠性變異的快慢程度。根據(jù)式(29)和(30)，計(jì)算可得t時(shí)刻各個(gè)時(shí)間序列相對(duì)于本征序列的性能可靠性的變異速度，如圖8所示。

圖8 可靠性的變異速度曲線圖

由圖8可知，軸承振動(dòng)性能的可靠性變異速度值是負(fù)的，這是因?yàn)楦鱾€(gè)時(shí)間序列的磨損直徑隨時(shí)間逐漸增大，軸承振動(dòng)逐漸加劇，各個(gè)時(shí)間序列性能可靠性依次降低。隨著時(shí)間的增加，變異速度的絕對(duì)值先增加到最大值，后逐漸減小至0。這是因?yàn)樵谳S承初期磨合階段，磨損速度較快，因此振動(dòng)性能可靠性變異速度逐漸增加到最大值；軸承服役一段時(shí)間之后，振動(dòng)性能開(kāi)始退化，磨損速度減慢，這個(gè)周期比較長(zhǎng)，因此可靠性變異速度緩慢減小；之后，軸承性能開(kāi)始惡化，該惡化過(guò)程持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)，因此可靠性變異速度依然較小。

用變異加速度來(lái)表征振動(dòng)性能可靠性變異速度值的變化快慢程度，根據(jù)式(31)和(32)，計(jì)算可得t時(shí)刻各個(gè)時(shí)間序列相對(duì)于本征序列的性能可靠性變異加速度，如圖9所示。

由圖9可知，隨著時(shí)間的增加，各個(gè)時(shí)間序列振動(dòng)性能的可靠性變異加速度的絕對(duì)值先增加到最大值，后逐漸減小至0。這是因?yàn)樵谳S承初期磨合階段，磨損速度較快，因此振動(dòng)性能可靠性變異速度值變化較快；軸承服役一段時(shí)間之后，振動(dòng)性能開(kāi)始退化，這是正常磨損階段，因此，振動(dòng)性能可靠性變異速度值變化開(kāi)始變慢；之后，軸承性能開(kāi)始惡化，該惡化過(guò)程持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)，因此各個(gè)時(shí)間序列相對(duì)于本征序列的可靠性變異加速度依然較小，接近于0。

圖9 可靠性變異加速度曲線圖

為了更加詳細(xì)地研究該變異過(guò)程，以0.05 mm為間隔，將磨損直徑從0 mm到0.80 mm分為16組，運(yùn)用蒙特卡羅方法仿真得到16個(gè)時(shí)間序列，從而可得軸承振動(dòng)性能可靠性變異速度、變異加速度絕對(duì)值的最大值，如表4所示。

表4 細(xì)分后各時(shí)間序列的變異速度和變異加速度的最大值

根據(jù)表4，可得子序列相對(duì)本征序列的可靠性變異速度的最大值與磨損直徑之間的關(guān)系，如圖10所示。

由圖10可知，在磨損直徑增大至0.25 mm以前，軸承振動(dòng)性能可靠性變異速度絕對(duì)值的最大值呈現(xiàn)快速減小的趨勢(shì)，在0.30 mm處已經(jīng)小于0.01；從第7個(gè)時(shí)間序列(磨損直徑為0.30 mm)開(kāi)始，一直到第11個(gè)時(shí)間序列(磨損直徑為0.50 mm)，變異速度絕對(duì)值的最大值基本保持在0附近，波動(dòng)不大；從第12個(gè)時(shí)間序列(磨損直徑為0.55 mm)開(kāi)始，變異速度的最大值有所增加，但波動(dòng)依然很小。

圖10 可靠性變異速度最大值曲線圖

同時(shí)根據(jù)表4，可得子序列相對(duì)本征序列的可靠性變異加速度的最大值與磨損直徑之間的關(guān)系，如圖11所示。

圖11 可靠性變異加速度最大值曲線圖

Fig.11 Maximum value curve of variation acceleration of reliability

由圖11可知，在磨損直徑增大至0.25 mm以前，軸承振動(dòng)性能可靠性變異加速度絕對(duì)值的最大值呈現(xiàn)快速減小的趨勢(shì)，在0.30 mm處已經(jīng)小于0.01；從第7個(gè)時(shí)間序列(磨損直徑為0.30 mm)開(kāi)始，一直到第11個(gè)時(shí)間序列(磨損直徑為0.50 mm)，變異加速度絕對(duì)值的最大值基本均小于0.005，波動(dòng)不大，保持平穩(wěn)；從第12個(gè)時(shí)間序列(磨損直徑為0.55 mm)開(kāi)始，一直到第15個(gè)時(shí)間序列(磨損直徑為0.70 mm)，變異加速度的最大值為負(fù)值，但波動(dòng)依然很?。坏?6個(gè)時(shí)間序列(磨損直徑為0.75 mm)，變異加速度的最大值又恢復(fù)正值，波動(dòng)很小。

3 討論

(1)實(shí)驗(yàn)證明：隨著軸承內(nèi)圈溝道磨損直徑的逐漸增大，可靠性變異概率總體上呈非線性增長(zhǎng)的趨勢(shì)，而且該趨勢(shì)可以分為3個(gè)階段。第1階段：當(dāng)磨損直徑從0逐漸增大時(shí)，可靠性變異概率增長(zhǎng)較快；第二階段：隨著磨損直徑的繼續(xù)增大，可靠性變異概率增長(zhǎng)緩慢且有微量波動(dòng)；第三階段：當(dāng)磨損直徑超出0.75 mm，可靠性變異概率迅速增長(zhǎng)到1。

(2)各個(gè)時(shí)間序列相對(duì)于本征序列的可靠性變異速度和變異加速度的分析結(jié)果表明：在磨損直徑達(dá)到約0.25 mm以前，軸承處于初級(jí)磨合階段，振動(dòng)性能可靠性變異速度和加速度絕對(duì)值均達(dá)到最大，振動(dòng)性能變異非常顯著；磨損直徑從0.25 mm到0.50 mm變化時(shí)，軸承振動(dòng)性能處于正常退化階段，振動(dòng)性能變異不顯著；磨損直徑達(dá)到約0.50 mm之后，軸承振動(dòng)性能處于惡化階段，振動(dòng)性能變異不顯著。

(3)磨損直徑從0 mm到0.25 mm為初期磨損階段，磨損程度逐漸加劇，振動(dòng)性能變異逐漸顯著；磨損直徑從0.25 mm到0.50 mm為軸承振動(dòng)性能退化階段，振動(dòng)性能變異不顯著；磨損直徑從0.55 mm到0.80 mm為軸承振動(dòng)性能惡化階段，磨損程度逐漸加劇，振動(dòng)性能變異不顯著。其中從磨損直徑為0.55 mm到磨損直徑為0.75 mm為軸承振動(dòng)性能初級(jí)惡化階段，磨損程度緩慢加??；從磨損直徑為0.75 mm到磨損直徑為0.80 mm為軸承振動(dòng)性能?chē)?yán)重惡化階段，磨損程度快速加劇。

4 結(jié)論

基于最大熵原理和泊松過(guò)程，建立滾動(dòng)軸承振動(dòng)性能可靠性預(yù)測(cè)模型。試驗(yàn)證明該預(yù)測(cè)模型可以計(jì)算軸承振動(dòng)性能可靠性的變異概率、變異速度和變異加速度，從而對(duì)滾動(dòng)軸承振動(dòng)性能的內(nèi)在變異趨勢(shì)進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。而且，該可靠性預(yù)測(cè)模型可以在只有失效樣本數(shù)據(jù)而沒(méi)有樣本概率密度函數(shù)任何先驗(yàn)信息的條件下，分析滾動(dòng)軸承振動(dòng)性能可靠性的變異過(guò)程，預(yù)測(cè)振動(dòng)性能可靠性的變異趨勢(shì)，從而在軸承振動(dòng)性能失效前采取干預(yù)措施，對(duì)軸承進(jìn)行維護(hù)或更換。試驗(yàn)證明了該模型彌補(bǔ)了現(xiàn)有可靠性理論在乏信息條件下處理樣本數(shù)據(jù)的缺陷和不足，從而為可靠性研究做出有益補(bǔ)充。

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Prediction for variation process of reliability on vibration performance of rolling bearings under the condition of poor information

XIA Xintao, YE Liang, CHANG Zhen, QIU Ming

(Mechatronical Engineering College, Henan University of Science and Technology, Luoyang 471003, China)

New concepts including variation probability, variation speed, and variation acceleration, were proposed and a reliability prediction model was established to predict the variation process of reliability of rolling bearing vibration performance based on the maximum entropy principle and Poisson process. The maximum entropy principle was applied to calculate the probability density function of sample data of the intrinsic sequence. According to Poisson process, variation number and variation frequency of performance data outside the confidence interval of intrinsic sequence were achieved for time series subdivided. Variation speed and variation acceleration of rolling bearing vibration performance were calculated by discrimination processing for time. The rolling bearing (type SKF6205) was used as an example to illustrate the applications of maximum entropy principle and Poisson process in analyzing variation process. Experimental investigation shows that the variation probability of reliability presents a nonlinear increase trend with the increase of wear diameter, which can be divided into initial running stage, normal performance degradation stage, and performance deterioration stage. Moreover, the reliability prediction model can be used to analyze variation process of reliability under the condition of poor information, which is proven to be a useful supplement to available reliability methods.

rolling bearing； reliability； vibration performance； maximum entropy principle； Poisson process； variation process； poor information

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51475144;51075123);河南省自然科學(xué)基金(162300410065)

2016-06-27 修改稿收到日期：2016-08-27

夏新濤 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1957年1月生

葉亮 男，碩士生，1990年7月生

TH133.33

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.08.017