基于多元混沌時間序列的數(shù)控機床運動精度預測

杜柳青 曾翠蘭 余永維

(重慶理工大學機械工程學院， 重慶 400054)

基于多元混沌時間序列的數(shù)控機床運動精度預測

杜柳青 曾翠蘭 余永維

(重慶理工大學機械工程學院， 重慶 400054)

為了解決有限長度且含有噪聲時的單元精度時間序列相空間重構中的信息丟失問題，提出了基于多元混沌時間序列的數(shù)控機床運動精度預測方法。首先，引入多元相空間技術，將多個精度特征量時間序列映射到高維相空間，建立多元精度狀態(tài)空間。然后采用主成分分析法，對高維相空間實現(xiàn)降維，去除冗余。最后，構建一種小波神經網絡模型，將重構信息輸入到預測模型中訓練，實現(xiàn)對數(shù)控機床運動精度的預測。實驗表明，該方法能夠很好地分析數(shù)控機床運動精度變化規(guī)律，比單元混沌時間序列方法有更好的預測效果，且適應性和實用性更強。

數(shù)控機床； 運動精度； 混沌； 多元時間序列； 預測

引言

精度保持性較差是我國數(shù)控機床行業(yè)目前亟待解決的問題，正確分析和掌握數(shù)控機床精度的變化規(guī)律，對提高精度保持性有重要的作用[1-3]。近年來，國內外學者在數(shù)控機床精度領域的研究，主要偏重于精度設計[4-6]、誤差檢測[6-7]、誤差辨識和補償[8-10]等方面，而對數(shù)控機床精度演化規(guī)律及預測等方面的研究相對較少，仍待深入研究。

數(shù)控機床精度變化是系統(tǒng)各部分共同影響的結果，具有明顯的非線性特征，對其演化和預測較困難?；煦鐣r間序列分析法作為解決非線性問題的重要手段，能夠揭示隱藏于復雜表象后的有序狀態(tài)[11]。文獻[12]提出對數(shù)控機床運動精度的一維時間序列進行相空間重構，用相點軌跡描述運動精度在相空間中的演化規(guī)律。文獻[13]進一步引入了量子粒子群方法對預測模型參數(shù)進行優(yōu)化，采用優(yōu)化后的模型對數(shù)控機床運動精度演化趨勢進行了預測。文獻[12-13]在實驗中較好地追蹤了數(shù)控機床運動精度的變化規(guī)律和趨勢。但上述方法都是基于單元混沌時間序列，在實踐中，如果獲得的時間序列長度有限且含有噪聲，經單元混沌時間序列相空間重構得到的系統(tǒng)拓補信息就難免有缺失。文獻[14]通過對經典耦合魯斯勒系統(tǒng)仿真，進一步證明了任意給定的一維時間序列不能完全地恢復原系統(tǒng)特征。為此，本文提出一種基于多元混沌時間序列的精度分析方法。引入多元相空間技術，將數(shù)控機床多個精度特征量時間序列映射到高維相空間。通過主成分分析，去除冗余和噪聲，以相空間的相點坐標為輸入，構建小波神經網絡模型，以期進一步提高數(shù)控機床運動精度的混沌預測方法的適應性和實用性。

1 多元精度相空間重構

數(shù)控機床工作服役期間，在各因素的綜合影響下，數(shù)控機床精度變化具有明顯的復雜混沌特性，并表現(xiàn)為不同精度特征量時間序列的混沌性。為此，本文提出針對數(shù)控機床多個精度特征量的多元相空間重構方法，以準確獲取數(shù)控機床精度演化軌跡和規(guī)律。

1.1 單元混沌時間序列的延遲時間和嵌入維數(shù)

在數(shù)控機床精度相空間重構中，時間延遲τ和嵌入維數(shù)m直接決定了所構建的相空間能否呈現(xiàn)隱藏于精度時間序列的非線性規(guī)律和系統(tǒng)的動力學特征，正確求取合適的τ和m是關鍵。C-C算法[15]考慮到了τ和m兩參數(shù)之間的關聯(lián)性，有很好的非線性保持性和計算量小等特點。對于數(shù)控機床第q個精度特征量時間序列Xq={xq,1,xq,2，…,xq,n}，n為時間序列長度，本文采用C-C算法求得τ和m。

1.2 多元精度相空間的構建方法

設數(shù)控機床中提取出精度的Q個特征量時間序列X1，X2，…，XQ。其中，Xq={xq,1,xq,2,…,xq,n}，q=1,2,…,Q,若各精度特征量時間序列的延遲時間經計算分別為τ1、τ2、…、τQ，嵌入維數(shù)為m1、m2、…、mQ。根據(jù)多元相空間重構技術[16]，數(shù)控機床精度在相空間i時刻的狀態(tài)坐標表示為Vi=(x1,i,x1,i-τ1,…,x1,i-(m1-1)τ1;x2,i,x2,i-τ2,…,x2,i-(m2-1)τ2;…;xQ,i,xQ,i-τQ,…,xQ,i-(mQ-1)τQ)，精度相空間矩陣為

(i=N0,N0+1,…,N)

(1)

其中

1.3 多元精度相空間的主成分降維

利用混沌多元時間序列重構數(shù)控機床精度相空間，克服了噪聲和長度有限的不足，但也容易造成信息冗余、相空間維數(shù)過大等問題。主成分分析方法[17]能夠從高度相關變量中獲取主要特征，濾除多余成分。本文采用主成分分析法對數(shù)控機床精度相空間V進行降維處理。主要步驟如下：

(2)計算相關系數(shù)矩陣R。

(3)由雅可比法求矩陣R的特征值(從大到小依次為λ1,λ2,…,λp)和對應特征向量az=(az1,az2,…,azp)。

2 基于小波神經網絡的數(shù)控機床多元混沌精度預測

為了準確描述數(shù)控機床運動精度變化規(guī)律，本文結合多元相空間重構技術與主成分分析法，并采用小波神經網絡實現(xiàn)對精度的預測。其結構如圖1所示。

圖1 基于多元混沌時間序列的機床精度預測模型Fig.1 Machine tool’s motion precision model based on multivariate chaotic time series

在數(shù)控機床精度相空間中，對Vi-1→Vi，存在函數(shù)映射Fq，使得xq,i=Fq(Vi)。本文利用小波神經網絡構造一個映射來充分逼近Fq。小波神經網絡[18-19]結合了小波分析理論和神經網絡，在時頻域上都有良好的局部特性，也對突變細節(jié)有逐步精細的能力。將小波函數(shù)設為網絡隱層節(jié)點的激活函數(shù)，輸入層和隱層的權值及隱層閾值分別是小波函數(shù)伸縮與平移參數(shù)。小波網絡通過機床精度歷史數(shù)據(jù)訓練學習，調整伸縮、平移參數(shù)和網絡連接權值，實現(xiàn)對映射Fq的逼近。其結構形式如圖2所示。

圖2 機床精度的小波神經網絡結構Fig.2 Wavelet neural network structure of machine tool’s motion precision

該網絡以精度狀態(tài)坐標為輸入，即輸入層神經元數(shù)等于相空間的嵌入維數(shù)，輸出層神經元數(shù)為1。隱層神經元數(shù)的選擇是網絡構建的關鍵，目前無理論依據(jù)，大多采用經驗公式和試驗法。本文將結合公式和試驗法各自的優(yōu)勢，先利用經驗公式確定神經元數(shù)范圍，然后通過對比范圍內神經元個數(shù)的預測效果確定最優(yōu)數(shù)目。參考經驗公式[20]如下

(2)

式中O——輸出層神經元數(shù)G——隱層神經元數(shù)M——輸入層神經元數(shù)

當輸入精度狀態(tài)坐標Vi時，隱層輸出

(3)

式中h(g)——隱層第g個神經元輸出值hg——小波函數(shù)ωgk——輸入層和隱含層的連接權值bg、cg——小波函數(shù)的平移因子和伸縮因子

最終輸出層

(4)

式中λg——隱含層與輸出層的連接權值

最后根據(jù)預測誤差，采用梯度修正法不斷修正網絡權值和小波函數(shù)參數(shù)，使精度預測值逼近期望輸出值，完成函數(shù)映射Fq的構造，從而實現(xiàn)數(shù)控機床精度的預測。

3 實驗分析

數(shù)控機床的圓運動包含了數(shù)控機床的幾何誤差、定位誤差等信息，也蘊藏了伺服控制系統(tǒng)的動態(tài)信息，如反向間隙、伺服增益不匹配等。因此，本文利用圓運動的多個精度特征量來驗證所提出的基于多元混沌時間序列的數(shù)控機床運動精度預測方法。

利用Renishaw QC10型球桿儀對某型數(shù)控機床做圓軌跡精度測試，實驗裝置如圖3所示。通過NC編程控制機床在XOY平面上不斷交替作順時針/逆時針圓運動，其進給速度和運動半徑分別是1 500 mm/min、150 mm。采樣間隔時間為20 h，每次采樣連續(xù)記錄3組圓運動信息，共采樣123次。選取圓運動的圓度誤差、正向/反向最大圓度偏差為分析對象，并從實驗原始數(shù)據(jù)中批量導出這3個特征量信息。為了減少人為操作或其他偶然因素的影響，對每一次采集的3組數(shù)據(jù)進行算術平均濾波處理，最后得到的值作為該采集時刻的各項誤差。將各特征量的數(shù)據(jù)前后相減，獲得圓度誤差、正向/反向最大圓度偏差變化量的時間序列，依次是X1、X2、X3，各特征量時間序列長度為122。取前102個數(shù)據(jù)作為訓練組，后20個為測試組。

圖3 數(shù)控機床精度測試實驗Fig.3 Precision test of NC machine tool

針對圓度誤差、正向最大圓度偏差和反向最大圓度偏差3個特征量的變化量時間序列，在Matlab環(huán)境中編程，采用C-C算法分別求取延遲時間和嵌入維數(shù)，結果如圖4所示(均無單位)。

圖4 基于C-C算法的參數(shù)求解Fig.4 Parameter solution based on C-C algorithm

1估算得嵌入維數(shù)m1=4。同理，根據(jù)圖4b、4c，依次求得正向最大圓度變化量時序延遲時間τ2=2，嵌入維數(shù)m2=6；反向最大圓度變化量時序延遲時間τ3=3，嵌入維數(shù)m3=4。

Lyapunov指數(shù)是一個定量值，用來描述2個很靠近的初值軌道隨時間按指數(shù)方式分離現(xiàn)象。在實際應用中，求得最大Lyapunov指數(shù)就足夠。若最大Lyapunov指數(shù)大于0，則可判定該系統(tǒng)具有混沌行為。本文采用Wolf法對特征量變化值時序計算最大Lyapunov指數(shù)。分別得到圓度變化量時序Lyap1=0.046 2，正向最大圓度變化量時序Lyap2=0.018 4，反向最大圓度變化量時序Lyap3=0.086 5。3個時序的最大Lyapunov指數(shù)均大于零，說明該數(shù)控機床精度系統(tǒng)是混沌的。

根據(jù)上述求得的各特征量延遲時間和嵌入維數(shù)，重構數(shù)控機床運動精度的相空間V，其矩陣形式為

(5)

在該相空間中，精度相點數(shù)為92，總嵌入維數(shù)M=4+6+4=14。將精度相空間數(shù)據(jù)導入軟件SPSS進行主成分分析，降維去冗，設貢獻率閾值為90%，計算過程如表1所示。從該表可知前8個主成分的方差貢獻率已達到92.894%，因此可將原精度相空間降到8維，有效簡化了模型結構。

表1 解釋的總方差Tab.1 Explanation of total variance

選取Morlet小波函數(shù)作為小波神經網絡隱層的激勵函數(shù)，輸入層神經元數(shù)為8，輸出層神經元數(shù)為1，隱層神經元數(shù)經分析確定為14。以構造的精度狀態(tài)矢量為輸入，通過預測模型不斷學習修正，最終實現(xiàn)對圓度變化量的預測。預測結果如圖5所示。

圖5 基于多元混沌時間序列的精度變化量預測結果Fig.5 Prediction result of precision variation value based on multivariate chaotic time series

由圖5可看出，預測值和實際值的曲線基本重合，變化趨勢一致。為了有效并定量地評價模型預測性能，引入均方誤差作為評價標準，其表達式為

(6)

通過式(6)求得模型ERMSE=0.009 5。由此可見，本文提出的預測方法能夠正確追蹤數(shù)控機床運動精度的變化趨勢，預測精度高。

為進一步驗證本文方法的有效性，分別對其他型號的4臺數(shù)控機床進行了精度分析，得到各數(shù)控機床預測模型的均方誤差依次是0.008 9、0.009 8、0.018 1、0.015 4，均小于0.02，獲得了比較理想的預測效果。

對數(shù)控機床運動精度的分析，文獻[11-12]和本文基本思想都是將精度時間序列投射到高維相空間進行處理。但前者僅通過數(shù)控機床圓度誤差時間序列構建精度相空間。與其相比，本文引入了多個運動精度特征量時間序列，并通過主成分分析法去除相空間冗余信息，所得的精度相空間更能準確地刻畫原動力系統(tǒng)。為了驗證本文方法的優(yōu)越性，針對數(shù)控機床圓度誤差單一時間序列進行相空間重構，最后通過小波神經網絡進行預測，結果如圖6所示。

圖6 基于單元混沌時間序列的精度變化量預測結果Fig.6 Prediction result of precision variation value based on unit chaotic time series

圖6中的預測值曲線跟實際值大體重合，但在細節(jié)處預測不夠準確。經計算，基于單元混沌時間序列建立的預測模型ERMSE=0.056 3。與本文所提出的基于多元混沌時間序列預測方法相比，無論從預測曲線圖定性分析，還是根據(jù)均方誤差定量分析，多元預測模型的結果更加準確，在實踐中適用性更強。

4 結束語

提出了基于多元混沌時間序列的數(shù)控機床運動精度預測方法，解決了在時間序列長度有限且含有噪聲的條件下系統(tǒng)拓補信息的缺失問題。首先，從數(shù)控機床中獲取多個精度特征量時間序列，以此重構精度多元高維相空間。采用了主成分分析法，對精度狀態(tài)空間進行降維處理，不但簡化模型結構，且避免了過擬合。然后通過小波神經網絡構建一個映射去逼近原系統(tǒng)演化函數(shù)，實現(xiàn)了對數(shù)控機床運動精度的預測。實驗證明本文方法能夠正確分析數(shù)控機床精度演化規(guī)律并實現(xiàn)精度趨勢的預測，在時間序列長度有限的情況下，比單元混沌相空間重構方法有更高的準確性，且適應性和實用性更強。

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Prediction of Numerical Control Machine’s Motion Precision Based on Multivariate Chaotic Time Series

DU Liuqing ZENG Cuilan YU Yongwei

(CollegeofMechanicalEngineering,ChongqingUniversityofTechnology,Chongqing400054,China)

In order to solve the problem that information could be easily lost in the phase space constructed by the unit precision time series with finite length or containing noises, the method of predicting numerical control machine’s motion precision was put forward based on multivariate chaotic time series. Firstly, multiple characteristic quantity of motion precision were extracted from CNC machine tool. Delay time and embedding dimension of the multiple motion precision time series were worked out by the C-C algorithm. The low-dimensional sequences were mapped to high-dimensional space to establish a multi-precision state space by phase reconstruction of multivariate time series. The phase space established was the same topological isomorphism with the original system. The state space points’ track was described motion precision’s evolution in multivariate phase space. Then the principal component analysis was used to reduce dimensions of high dimensional phase space and remove redundant information. Finally, the state vector of the phase space was taken as a multi-dimensional input. The predicting model of wavelet neural network could be trained by the information constructed to achieve the motion precision prediction. The experiments results showed that the proposed method could well analyze the changing regulation of NC machine tools motion precision and the mean square error of prediction model was 0.009 5. Compared with the way of prediction by the unit chaotic time series, it had better predictive effects, and its adaptability and practicality were stronger.

CNC machine tool; motion precision; chaos; multivariate time series; prediction

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.03.050

2016-11-28

2017-01-07

國家自然科學基金項目(51305476)

杜柳青(1975—)，女，教授，主要從事數(shù)控機床精度設計和微弱信號檢測研究，E-mail: lqdu1@126.com

TH115

A

1000-1298(2017)03-0390-06