基于反雙曲正弦函數(shù)的抗沖激塊稀疏自適應(yīng)濾波算法

魏丹丹，周 翊，師黎明，劉宏清

(信號與信息處理重慶市重點(diǎn)實驗室(重慶郵電大學(xué))，重慶 400065)

(*通信作者電子郵箱1257895378@qq.com)

基于反雙曲正弦函數(shù)的抗沖激塊稀疏自適應(yīng)濾波算法

魏丹丹*，周 翊，師黎明，劉宏清

(信號與信息處理重慶市重點(diǎn)實驗室(重慶郵電大學(xué))，重慶 400065)

(*通信作者電子郵箱1257895378@qq.com)

針對現(xiàn)有基于最小均方誤差(MSE)的塊稀疏系統(tǒng)辨識算法抗沖激性能不佳的問題，提出了一種利用反雙曲正弦函數(shù)替代最小均方誤差的改進(jìn)型塊稀疏歸一化最小均方(IBS-NLMS)算法。該算法首先構(gòu)造新的代價函數(shù)，利用負(fù)梯度最陡下降法求出增量，進(jìn)而導(dǎo)出了新的濾波器權(quán)系數(shù)更新公式，在公式迭代過程中出現(xiàn)的沖激噪聲會導(dǎo)致權(quán)系數(shù)的更新量趨于零向量，從而消除了由于非高斯沖激干擾而導(dǎo)致的算法發(fā)散問題。同時，理論分析并推導(dǎo)出了該算法的均值收斂過程。塊稀疏系統(tǒng)辨識的仿真結(jié)果表明，在非高斯沖激噪聲干擾和截斷變化情況下，改進(jìn)型算法與塊稀疏歸一化最小均方(BS-NLMS)算法相比有更快的收斂速度和更小的穩(wěn)態(tài)誤差。

自適應(yīng)濾波器；非高斯噪聲；反雙曲正弦函數(shù)；塊稀疏系統(tǒng)；系統(tǒng)辨識

0 引言

自適應(yīng)濾波算法廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)辨識、網(wǎng)絡(luò)回聲消除等通信領(lǐng)域[1]。常用自適應(yīng)算法有最小均方(Least Mean Square, LMS)算法、最小二乘(Recursive Least Square, RLS)法和仿射投影算法(Affine Projection Algorithm, APA)等。LMS算法由于其計算量小且易于實現(xiàn)而被廣泛應(yīng)用。在工程應(yīng)用中,很多待辨識未知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)具有明顯的稀疏特性，例如沖激響應(yīng)往往長達(dá)數(shù)百的聲學(xué)回聲信道，只有很少的非零系數(shù)，是典型的單聚類稀疏信道[2]。塊稀疏自適應(yīng)算法利用稀疏先驗知識提高算法收斂速度與穩(wěn)態(tài)性能，插入相同分組長度的自適應(yīng)抽頭權(quán)重矢量的混合l(2.0)范數(shù)懲罰因子到代價函數(shù)中[3]，考慮到歸一化，塊稀疏歸一化最小均方(Block Sparse-Normalization Least Mean Square, BS-NLMS)算法步長應(yīng)除以輸入矢量l2范數(shù)的平方與一個小的正常數(shù)之和。小的正常數(shù)是為了避免發(fā)生除零運(yùn)算。但是BS-NLMS算法的推導(dǎo)是基于干擾噪聲是高斯噪聲的情況下，但是，在非高斯噪聲情況下，該算法不具有抗沖激噪聲干擾性能。

針對非高斯沖激噪聲，文獻(xiàn)[4-6]中算法的推導(dǎo)是基于最大相關(guān)熵函數(shù)準(zhǔn)則，相關(guān)熵函數(shù)可視為局部相關(guān)性測量函數(shù)，因此，其比傳統(tǒng)的基于全局相關(guān)性測量的自適應(yīng)算法具有更好的抗沖激特性，但是固定步長的方案不能滿足工程實踐的需求。文獻(xiàn)[7-8]分析了基于魯棒統(tǒng)計思想的M評估(最大似然型)方法，該算法基于Huber損失函數(shù)在線估計閾值，此類算法計算復(fù)雜度高。在對抗沖激問題進(jìn)行深入研究的基礎(chǔ)上，本文提出了基于反雙曲正弦的改進(jìn)型塊稀疏歸一化最小均方(Improved Block Sparse-Normalization Least Mean Square, IBS-NLMS)算法。該算法代價函數(shù)在輸出錯誤較小時具有l(wèi)(2,0)范數(shù)特性，而在輸出錯誤較大時由于代價函數(shù)導(dǎo)數(shù)趨于零矢量而停止了濾波器系數(shù)更新。

1 IBS-NLMS自適應(yīng)濾波算法

本文基于如圖1所示系統(tǒng)識別模型[9]進(jìn)行分析，假設(shè)自適應(yīng)未知系統(tǒng)s(n)=[s0(n),s1(n),…,sL-1(n)]T，濾波器的第n次迭代輸入u(n)=[u(n),u(n-1),…,u(n-L+1)]T，抽頭長度為L，濾波器的未知系統(tǒng)期望信號輸出d(n)表示為d(n)=uT(n)s(n)+v(n)，加性噪聲v(n)服從零均值、方差為σ2的高斯分布。第n次的估計誤差迭代表示為e(n)=d(n)-xT(n)w(n)，自適應(yīng)濾波器抽頭系數(shù)w(n)是自適應(yīng)濾波器第n次迭代對s的估計。

圖1 系統(tǒng)辨識下自適應(yīng)濾波器系統(tǒng)框圖

1.1 BS-NLMS自適應(yīng)濾波算法

‖w‖2,0‖[‖w[1]‖2‖w[2]‖2…‖w[N]‖2]T‖0

(1)

其中：w[i]=[w(i-1)P+1,w(i-1)P+1,…,wiP]T表示第i組的權(quán)系數(shù)向量w,N和P分別是濾波器階數(shù)的分組數(shù)和每組長度。利用最陡下降法，可得自適應(yīng)濾波器的更新公式為：

(2)

其中：g(w)[g1(w),g2(w),…,gL(w)]T,μ是用于調(diào)整誤差和收斂速度的步長參數(shù)，ε是一個小的正常數(shù)，κ=μλ/2，α是一個正常數(shù)。

gj(w)

(3)

相比最小均方算法，式(2)中額外的l(2,0)范數(shù)約束改善了算法的稀疏特性。零范數(shù)約束條件下的未知系統(tǒng)參數(shù)解將更可能地趨于零向量，得到稀疏解，而2范數(shù)則可以解決輸入信號自相關(guān)矩陣奇異造成的權(quán)系數(shù)不收斂問題。

1.2 基于非線性函數(shù)的IBS-NLMS算法

為了改善算法在非高斯噪聲下的抗沖激性，代價函數(shù)可重新改寫為：

J(w)=E[arsinh((α(e(n)/‖u(n)‖)2)/2α)]

(4)

其中：α>0用來控制代價函數(shù)梯度的系數(shù)；en/‖un‖表示均方誤差；利用負(fù)梯度最陡下降法求w梯度，可得相應(yīng)權(quán)系數(shù)更新公式如下：

w(n+1)=w(n)+

(5)

圖2 小誤差下的代價函數(shù)

2 性能分析

本章主要分析IBS-NLMS算法在n趨于無窮時的收斂性能，權(quán)系數(shù)向量w(n)將逼近維納-霍夫方程解w0=R-1P。為簡化分析，作出了如下的假設(shè)。

假設(shè)1 輸入信號u(n)是一個零均值高斯分布，自相關(guān)矩陣為R=E[u(n)uT(n)]的遍歷過程。

假設(shè)2 假設(shè)文中加性噪聲v(n)為高斯白噪聲vg(n)，利用文獻(xiàn)[11]的變形高斯(Contaminated Gaussian, CG)噪聲模型來估計沖激噪聲，可建模為：

v(n)=vg(n)+vim(n)

(6)

(7)

假設(shè)3 輸入信號u(n)，噪聲v(n)和權(quán)系數(shù)向量w(n)統(tǒng)計獨(dú)立。

定義向量c(n)為w0與w(n)之差c(n)=w0-w(n)，則算法可寫為：

(8)

對式(8)兩側(cè)求期望，可得：

E[c(n+1)]=E[c(n)]-μH

(9)

E[·]表示對{v(n),c(n),u(n)}三者的期望值，其中E[·]記為E{v(n),c(n),u(n)}。

(12)

(13)

(14)

3 實驗測試和結(jié)果分析

當(dāng)沖激響應(yīng)在第20 000次迭代時從w突變?yōu)?w，算法濾波器參數(shù)與未知系統(tǒng)抽頭系數(shù)的平均偏差變化曲線如圖5所示，測試算法包括IBS-NLMS和BS-NLMS，主要觀測算法的收斂和跟蹤性能，在沖激噪聲下，BS-NLMS算法一開始就不收斂，而IBS-NLMS算法不僅收斂，而且在未知系統(tǒng)跳變后，算法很快跟上了系統(tǒng)的變化，主要是因為算法在這個時候的誤差矢量的突然增大，算法的增加量趨于零向量，從而停止了算法的更新，可見，系統(tǒng)突變對本文所提出的IBS-NLMS算法未損失收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差性能。

圖3 不同參數(shù)α值下的IBS-NLMS算法收斂及跟蹤曲線

圖4 不同概率沖激噪聲下的算法NMSD學(xué)習(xí)曲線

圖5 系統(tǒng)沖激響應(yīng)在第20 000次迭代時從w變?yōu)?w

4 結(jié)語

本文針對塊稀疏系統(tǒng)辨識問題，提出了基于自適應(yīng)的IBS-NLMS算法，用arsinh函數(shù)誤差來替代均方誤差。該算法使濾波器抽頭權(quán)重增量在誤差增大時趨于零矢量，顯著地提高了算法魯棒性同時不會影響在沖激噪聲下的穩(wěn)態(tài)誤差。除此之外還推導(dǎo)了均值收斂過程中步長參數(shù)的上下界。仿真實驗結(jié)果證明，提出的改進(jìn)型算法在非高斯噪聲下相較于BS-NLMS算法具有更快的收斂速度和更低的穩(wěn)態(tài)誤差。本文算法雖然提高了魯棒性，但是計算復(fù)雜度還是很高，不利于實際應(yīng)用中的實現(xiàn)，因此，如何有效地降低算法復(fù)雜度將會是下一步研究工作。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China (61501072), the Natural Science Foundation of Chongqing Science and Technology Commission (cstc2015jcyjA40027), the Natural Science Foundation of Chongqing University of Posts and Telecommunications (A2015-60).

WEI Dandan, born in 1991, M.S.candidate.Her research interests include speech signal processing, acoustic echo cancellation.

ZHOU Yi, born in 1974, Ph.D., professor.His research interests include speech signal processing.

SHI Liming, born in 1989, Ph.D.candidate.His research interests include digital signal processing, blind source separation.

LIU Hongqing, born in 1980, Ph.D., professor.His research interests include sparse signal processing.

Block-sparse adaptive filtering algorithm based on inverse hyperbolic sine function against impulsive interference

WEI Dandan*, ZHOU Yi, SHI Liming, LIU Hongqing

(ChongqingKeyLaboratoryofSignalandInformationProcessing(ChongqingUniversityofPostsandTelecommunications),Chongqing400065,China)

Since the existing block-sparse system identification algorithm based on Mean Square Error (MSE) shows poor performance under impulsive interference, an Improved Block Sparse-Normalization Least Mean Square (IBS-NLMS) algorithm was proposed by introducing the inverse hyperbolic sine cost function instead of MSE.A new cost function was constructed and the additive value was obtained by steepest-descent method.Furthermore, a new vector updating equation for filter coefficients was deduced.The adaptive update of the weight vector was close to zero in the presence of impulsive interference, which eliminated the estimation error of adaptive updating based on the wrong information.Meanwhile, mean convergence behavior was analyzed theoretically and then the simulation results demonstrate that in comparison with the Block Sparse-Normalization Least Mean Square (BS-NLMS) algorithm, the proposed algorithm has higher convergence rate and less steady-state error under non-Gaussion noise impulsive interference and abrupt change.

adaptive filter; non-Gaussion noise; inverse hyperbolic sine function; block sparse system; system identification

2016-08-12;

2016-09-12。 基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(61501072)；重慶市科委自然科學(xué)基金資助項目(cstc2015jcyjA40027)；重慶郵電大學(xué)自然科學(xué)基金資助項目(A2015-60)。

魏丹丹(1991—)，女，貴州遵義人，碩士研究生，主要研究方向：語音信號處理、回聲消除； 周翊(1974—)，男，四川成都人，教授，博士，主要研究方向：語音信號處理； 師黎明(1989—)，男，河南漯河人，博士研究生，主要研究方向：數(shù)字信號處理、盲源分離； 劉宏清(1980—)，男，黑龍江佳木斯人，教授，博士，主要研究方向：稀疏信號處理。

1001-9081(2017)01-0197-03

10.11772/j.issn.1001-9081.2017.01.0197

TN911.72

A