充實與豐富數(shù)學概念教學內(nèi)涵的若干思路

王欽敏 余明芳

（福建教育學院數(shù)學研修部，福建 福州 350025）

數(shù)學概念教學的重要性已成共識，但僅少量舉例，未經(jīng)逐步抽象與概括即對概念下定義與分類，將教學的重心放在對概念的記憶和解題應用方面，仍是日常課堂常見現(xiàn)象。這種置概念的引入解說、抽象概括、辨析建構與認識提升等環(huán)節(jié)于不顧的設計，教學內(nèi)容蒼白貧乏，阻遏了學生想象與創(chuàng)造的空間，無法體現(xiàn)概念教學的內(nèi)涵與價值。

追尋數(shù)學教育的真諦，開發(fā)概念教學在數(shù)學素養(yǎng)培植方面的功能與價值，需要充實與豐富概念教學內(nèi)涵，使之更有助于興趣的培養(yǎng)、理解的形成與認識水平的提高。在實際教學中，如何充實與豐富數(shù)學概念教學的內(nèi)涵，是許多教師倍感困惑的問題，也是一個需要深入研究的教育難題。對此，筆者就日常概念教學常見弊端，提出以下四個思路。

一、解說引入因由與作用,激發(fā)學習興趣提高文化素養(yǎng)

對引入概念的因由與作用，教材多有簡要說明，如引入函數(shù)概念時會指出：為了描述運動變化現(xiàn)象中變量間的依賴關系，需要在數(shù)學中引入函數(shù)概念；通過研究函數(shù)的性質(zhì)，可以了解事物的運動變化規(guī)律；函數(shù)知識在現(xiàn)實生活、社會、經(jīng)濟及其他學科中有著廣泛的應用。此類引入言簡意賅，但若照本宣科地講述，就顯得十分空泛。

新概念的引入，會讓缺乏認識基礎的學生產(chǎn)生各種疑惑，在引入解說時除惑解疑，有利于學生理解并接受概念的意義。例如，引入函數(shù)概念時，學生沒有意識到事物運動變化的絕對性與聯(lián)系的普遍性，就難以認識到函數(shù)概念的哲學含義，繼而可能對概念的現(xiàn)實意義與理論價值感到疑惑；教學中，引用視頻說明運動變化是物質(zhì)的存在形式與固有屬性，介紹哲學家赫拉克利特的“太陽每天都是新的”“人不能兩次踏進同一條河流”等觀點，以具體事例證實事物間存在聯(lián)系，可以除惑解疑并豐富函數(shù)概念教學的思想內(nèi)涵。

解說引入概念的因由與作用，可圍繞教材的簡要說明有序展開，但要力求具體豐富，旨在激發(fā)學習興趣與好奇心。例如，解說變量間的依賴關系，可具體地以圓的半徑增長會使其周長增長為例，指明圓的周長公式是一次函數(shù)，利用函數(shù)可精確刻畫變量間的依賴關系；再如，解說“研究函數(shù)性質(zhì)可了解事物的變化規(guī)律”時，可將其延伸為“了解變化規(guī)律即可藉以預知未來”，并介紹法國數(shù)學家拉普拉斯曾提出的科學假設：如果有一個智能生物能確定從最大天體到最輕原子的現(xiàn)時運動狀態(tài)，它就可以按照力學規(guī)律與數(shù)學原理推算出整個宇宙的過去和未來狀態(tài)。

引入解說時介紹概念產(chǎn)生的歷史背景及其在各領域應用情況，可讓學生對數(shù)學的思想與精神有所感受，從而豐富概念教學在提高學生數(shù)學文化素養(yǎng)方面的教育內(nèi)涵。如在函數(shù)概念引入教學中，回顧歷史上函數(shù)概念被眾多數(shù)學家不斷精煉與深化的過程，幫助學生從史實角度了解函數(shù)概念的來龍去脈，可以讓學生體會數(shù)學家研究數(shù)學的思維方式與精益求精的精神；以牛頓運動學與力學公式為例解說“函數(shù)知識在現(xiàn)實生活、社會、經(jīng)濟及其他學科中有著廣泛的應用”，可以讓學生體會到數(shù)學與物理兩個學科思維方式上的一致性，認識到函數(shù)等數(shù)學思想在推進人類科學文化發(fā)展方面的重要地位與作用。

二、引用有趣的恰當事例,讓學生親歷抽象概括，學會探究

抽象與概括是形成數(shù)學概念認識、探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學新知過程的主要思維活動，充實與豐富數(shù)學概念教學在培養(yǎng)創(chuàng)新思維意識方面的教育內(nèi)涵，應引導學生親歷抽象與概括的思維過程，以提高學生探究與發(fā)現(xiàn)數(shù)學概念與新知的能力。［1］引導學生親歷抽象與概括的思維過程，需要教師在課堂提供較多有趣的恰當事例，如果事例太少，有以偏概全之嫌，也不符合數(shù)學概念產(chǎn)生的實際情況。

恰當事例能促進和加深對概念的理解，不恰當事例則會引發(fā)誤解，須詳加甄別。例如：銀行年存款利率均為p時，存入x元，年到期本息和y=（1+p）x是由 x唯一確定的值，引用這個事例，在引入函數(shù)關系概念時是恰當?shù)模簧唐蜂N售收入與廣告支出經(jīng)費有著密切聯(lián)系，但不具有確定性，引用這個事例，在引入相關關系概念時是恰當?shù)模牒瘮?shù)關系概念時是不恰當?shù)?，只能作為反例?/p>

提供了事例后，還需要給學生提供時間與機會，讓學生能親歷抽象與概括過程，學會自主探究。例如，在引入二面角概念時，教師提供各種實物與圖案（未必都含有二面角形象）后，應讓學生獨自觀察和比較，耐心等待大部分學生在真假錯雜的感覺中整理出關于二面角形象的直觀認識，指出二面角是兩個平面相交生成的事實，然后要盡可能放慢啟發(fā)與引導的節(jié)奏，讓學生有時間與機會通過切割與轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)并提出二面角的平面角概念。

如果學生在抽象與概括時毫無頭緒，可提出一些問題，讓學生在探究問題的過程中，逐步通過觀察、比較、分析、歸納、類比與推廣進行抽象與概括。［3］例如，在引入平面的法向量概念時，可讓學生思考如何用向量公式計算二面角大小的問題，或如何用向量表示一個平面所在方位的問題，然后引導學生重新觀察直線與平面垂直的現(xiàn)象，比較分析平面所在方位與直線方向間存在的關系，歸納出“兩平面平行，與它們垂直的直線也相互平行”的結論，進而類比平面解析幾何中直線的方向向量概念，通過推廣獲得平面的法向量概念。

三、注重內(nèi)涵辨析與關系建構,促成系統(tǒng)的認知與理解

經(jīng)過抽象概括、下定義與分類后，學生對概念的認識還是孤立的。孤立的概念認識脫離了已有概念知識體系，無法讓學生從知識的聯(lián)系中明確概念的內(nèi)涵、意義與作用，因而，充實與豐富數(shù)學概念教學內(nèi)涵，需要引導學生對概念的內(nèi)涵進行辨析，并將其置于已有概念知識體系進行關系建構。

對概念內(nèi)涵進行辨析，應對新舊概念的要素做比較分析，讓學生對新舊概念內(nèi)涵有更清晰的認識。例如，辨析函數(shù)概念，應聯(lián)系映射概念進行要素比較，讓學生明白，只有映射中給定的兩個非空集合都為數(shù)集時，才能成為函數(shù)；辨析三次函數(shù)曲線的切線概念，應聯(lián)系圓錐曲線的切線概念進行要素分析，讓學生明白：圓錐曲線與其切線只有一個交點，但三次函數(shù)曲線與其切線可以有兩個交點，而且，與橢圓只有一個交點的直線一定是切線，但三次函數(shù)曲線與拋物線、雙曲線一樣，與之僅有一個交點的直線未必是切線。為了讓學生能更深刻理解新概念的內(nèi)涵、意義與作用，還需要將其置于已有概念知識體系，通過探求新舊概念間的聯(lián)系進行關系建構。例如，將復數(shù)概念與方程的解、復平面上的點相聯(lián)系，才能讓學生理解復數(shù)的存在性與幾何意義；將向量概念與復數(shù)的幾何表示法、物理中的矢量相聯(lián)系，將其運算規(guī)則與復數(shù)的相類比，才能讓學生理解向量的意義與作用。

教學課時是間斷的，教材知識的推演通常也是單維定向的，因而，學生在日常數(shù)學教學中所獲的知識，往往也是零散不成體系的，知識間缺少關聯(lián)，無法形成扎實的網(wǎng)狀結構。這種碎片化現(xiàn)象在數(shù)學概念教學中也是普遍存在的。需要重視的是，碎片化現(xiàn)象對學生的數(shù)學學習有重大影響，某調(diào)研表明，學困生對單元、學科知識聯(lián)系的認識程度分別是50%與30%，而學優(yōu)生則高達88%與75%。

內(nèi)涵辨析與關系建構可以促成系統(tǒng)的認知與理解，使新的概念認識自然融入已有知識體系，使知識結構得到鞏固、更新與擴充，使學生得以從系統(tǒng)知識相互聯(lián)系的角度理解新概念。例如，在橢圓概念教學中，探究橢圓與圓的類比關系、圓與正余弦曲線的生成關系、圓錐中橢圓與正余弦曲線的圖形聯(lián)系、三者的參數(shù)方程形式聯(lián)系，可以讓學生對橢圓概念有新的理解，對與橢圓有關的知識結構有系統(tǒng)認識。在教學中有意識地對概念進行內(nèi)涵辨析與關系建構，促成系統(tǒng)的認知與理解，才能使概念教學遠離碎片化，使概念教學內(nèi)涵愈加充實與豐富。

四、啟迪學生感悟思想把握規(guī)律,致力提高數(shù)學認識水平

函數(shù)、向量、隨機與極限等核心概念堪稱中學數(shù)學知識之源，它們是數(shù)學家運用數(shù)學思想方法的思維結晶，深刻反映了現(xiàn)實世界空間形式與數(shù)量關系的本質(zhì)屬性與辯證規(guī)律。深度體現(xiàn)數(shù)學概念教學在提高學生思想認識水平方面的教育內(nèi)涵，須在概念教學中啟迪學生感悟核心概念所蘊含的思想方法，把握核心概念所體現(xiàn)的辯證規(guī)律，使其成為解決問題的思維利器，并貫穿在與之相關的其他概念知識教學中。

核心概念大都蘊含了模型化、簡單化、坐標化等重要數(shù)學思想，體現(xiàn)了運動變化、普遍聯(lián)系、對立統(tǒng)一和量變引起質(zhì)變等辯證規(guī)律。啟迪學生感悟思想方法把握辯證規(guī)律，應致力引導學生體會深蘊其中的求變意識與化歸智慧。例如，在導數(shù)概念教學中，應致力引導學生理解化動為靜、化曲為直、化無限為有限等思想方法，并在概念知識應用中增強其求變意識與化歸時的目標意識。

變的意識與化的智慧是數(shù)學思維的精髓，是解決問題的利器。命題變更是解決數(shù)學問題的基本思想，其中的因果、數(shù)形、整零、和積、動靜等轉(zhuǎn)換，都需要強烈的求變意識，而配方法、消元法、換元法、待定系數(shù)法、構造法、面積法、參數(shù)法、降次法、拼湊法、割補法、反證法等常用數(shù)學方法，也都只是轉(zhuǎn)化與化歸這一思想智慧的具體體現(xiàn)。［4］

核心概念蘊含的思想方法統(tǒng)領了各章節(jié)知識的內(nèi)容與演繹方向，因而，在與之相關的其他概念知識教學中，也需要體現(xiàn)或貫穿核心概念所蘊含的主要思想方法。例如，數(shù)列是特殊的函數(shù)，因而在數(shù)列教學中，要引導學生從函數(shù)思想的角度理解數(shù)列概念，逐次將函數(shù)的研究思路與方法延展到數(shù)列，將一次、指數(shù)函數(shù)的某些性質(zhì)分別移植到等差、等比數(shù)列，此外，還可介紹數(shù)列與函數(shù)共有的極限概念，使知識進一步融會貫通。

在關系建構后啟迪學生感悟思想把握規(guī)律，可以幫助學生提高數(shù)學認識水平，深度體現(xiàn)數(shù)學概念教學的教育內(nèi)涵。啟悟可使學生覺察到數(shù)學思想方法背后的精神智慧，以及知識整體的和諧有序，學會從審視數(shù)學思想與精神之美的層面認識數(shù)學［5］；啟悟還可使學生認識到各概念知識與方法間的一致性，體會到數(shù)學中廣泛存在的統(tǒng)一性，從而能逐步地將所學知識融會貫通納入同一范疇，歸結出能統(tǒng)一更多內(nèi)容的、更高水平的數(shù)學思想，并以之為思維利器，用以尋求處理問題的最佳方式。

五、結語

數(shù)學概念是數(shù)學知識的結構根基與網(wǎng)絡樞紐，日常數(shù)學概念教學內(nèi)涵缺失，易導致學生出現(xiàn)題解錯誤與學習困難。從學情、教材和以上思路出發(fā)，充實與豐富概念教學內(nèi)涵，能行之有效地提高學生的學習興趣，讓學生更完整地理解數(shù)學概念，形成扎實的知識結構，將數(shù)學認識水平提升到審美與思想的層面，從而可以更好地發(fā)揮概念教學在數(shù)學素養(yǎng)培植方面的功能與價值。

［1］章建躍.數(shù)學概念教學中培養(yǎng)創(chuàng)造能力［J］.中小學數(shù)學（高中版）.2009（11）.

［2］王欽敏.教材邊上好數(shù)學［M］.福州：福建人民出版社，2014.

［3］章建躍，陶維林.注重學生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學［J］.數(shù)學通報，2009（6）.

［4］王欽敏.如何對數(shù)學教材進行有益的拓展與改造［J］.數(shù)學通報，2013（1）.

［5］王欽敏.感受數(shù)學美的兩個重要途徑［J］.數(shù)學教育學報，2014（2）.