復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步系統(tǒng)牽制控制器設(shè)計(jì)

鄭步秋,胡俊強(qiáng)

(1.湖南華菱湘潭鋼鐵有限公司 五米寬厚板廠，湘潭 411101；2.湖南工程學(xué)院 電氣信息學(xué)院，湘潭 411104)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步系統(tǒng)牽制控制器設(shè)計(jì)

鄭步秋1,胡俊強(qiáng)2

(1.湖南華菱湘潭鋼鐵有限公司 五米寬厚板廠，湘潭 411101；2.湖南工程學(xué)院 電氣信息學(xué)院，湘潭 411104)

針對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，研究此類系統(tǒng)的同步控制問(wèn)題.利用牽制原理，牽制系統(tǒng)部分節(jié)點(diǎn)，運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論并結(jié)合矩陣不等式處理方法，得出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)同步牽制控制器存在的充分條件.同時(shí)得出了牽制節(jié)點(diǎn)數(shù)和牽制控制增益大小之間的關(guān)系圖.最后給出兩個(gè)數(shù)值仿真說(shuō)明其有效性.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，同步，牽制控制

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)廣泛存在于自然界與人類社會(huì)的各種現(xiàn)象中.由于其應(yīng)用廣泛及其理論研究方法的不斷突破，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)已成為物理學(xué)、信息學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、管理學(xué)、社會(huì)學(xué)等學(xué)科研究的熱點(diǎn)課題.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)同步[1-13]是自然網(wǎng)絡(luò)和社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)重要特性，也是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中一個(gè)基本的現(xiàn)象，在對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)同步過(guò)程的研究中，一方面是研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的自同步特性，另一方面是研究設(shè)計(jì)控制器，研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步控制問(wèn)題.針對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步控制問(wèn)題，許多控制方法被運(yùn)用，如脈沖控制方法[3-7]、自適應(yīng)控制方法[8-11]以及它們之間的組合控制方法[12-13]被廣泛運(yùn)用作用于混沌系統(tǒng).同時(shí)，在實(shí)際生活中，對(duì)于一個(gè)實(shí)際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，如人體的大腦、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，自然界中的生態(tài)網(wǎng)絡(luò)，等等此類系統(tǒng)，其網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)數(shù)是不可數(shù)的，在設(shè)計(jì)控制器的過(guò)程中若針對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)，則這既是一件繁瑣，同樣也是一件不容易完成的事.針對(duì)這種情況，牽制控制就應(yīng)運(yùn)而生，其控制思想是控制系統(tǒng)的部分節(jié)點(diǎn)，通過(guò)節(jié)點(diǎn)間的相互作用，進(jìn)而達(dá)到控制整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，使系統(tǒng)達(dá)到同步穩(wěn)定的目的.

近年來(lái)，由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的發(fā)展，涌現(xiàn)出許多利用牽制控制原理，設(shè)計(jì)牽制控制器，使復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)達(dá)到同步穩(wěn)定的相關(guān)研究[14-15].但是，針對(duì)一個(gè)節(jié)點(diǎn)眾多的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)牽制控制器時(shí)，節(jié)點(diǎn)的選取問(wèn)題，即在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，選取哪些節(jié)點(diǎn)的問(wèn)題、選擇節(jié)點(diǎn)數(shù)量的問(wèn)題、以多大的控制增益實(shí)現(xiàn)控制的問(wèn)題等一直是研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)牽制控制中的一個(gè)亟待解決的問(wèn)題.

基于上述，本文針對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，利用牽制控制原理，選取度較高的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行控制，運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論并結(jié)合矩陣不等式處理方法，得出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)同步牽制控制器存在的充分條件，同時(shí)，得出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中控制節(jié)點(diǎn)的數(shù)目與控制增益大小之間的關(guān)系圖，最后給出數(shù)值仿真說(shuō)明其有效性.

1 問(wèn)題描述

考慮如下復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)：

(1)

假設(shè)1:文獻(xiàn)[16]在系統(tǒng)(1)中，存在一個(gè)正數(shù)l，對(duì)光滑非線性函數(shù)f(·)滿足下面Lipschitz條件

||f(a)-f(b)||≤l||a-b||

(2)

其中a,b∈R，||·||表示歐幾里得范數(shù).

①S<0,

定義1：若一個(gè)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到漸進(jìn)同步，則

x1(t)=x2(t)=…=xN(t)=s(t),t→

(3)

ei(t)=xi(t)-s(t)

(4)

從等式(4)和系統(tǒng)(1)，我們可以得到如下誤差系統(tǒng)

=1,2,3,…,N

(5)

2 牽制控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于一個(gè)具有眾多節(jié)點(diǎn)數(shù)目的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，通過(guò)控制每個(gè)節(jié)點(diǎn)使系統(tǒng)同步往往得不償失且難度很大.所以，針對(duì)此類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，利用牽制控制原理設(shè)計(jì)控制器是一種有效的控制途徑，在具體實(shí)現(xiàn)的過(guò)程中，即通過(guò)控制系統(tǒng)度較高的節(jié)點(diǎn)進(jìn)而控制整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，使其同步.在這一節(jié)，主要任務(wù)是設(shè)計(jì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)牽制控制器，具體將系統(tǒng)分為牽制控制部分和被牽制控制部分兩部分.對(duì)牽制控制部分設(shè)計(jì)控制器，這樣，誤差系統(tǒng)(5)就變?yōu)椋?/p>

(6)

改寫(xiě)成矩陣形式為：

(7)

為了使系統(tǒng)達(dá)到同步穩(wěn)定狀態(tài)，針對(duì)系統(tǒng)(1)，設(shè)計(jì)如下反饋控制器，當(dāng)所設(shè)計(jì)的控制器使誤差系統(tǒng)(6)漸進(jìn)穩(wěn)定時(shí)，即系統(tǒng)(1)達(dá)到同步.

ui(t)=kiei(t)

(8)

定理1：在假設(shè)1條件下，l為正常數(shù)，當(dāng)存在對(duì)角矩陣K滿足下列條件時(shí)，

(9)

則誤差系統(tǒng)(5)漸進(jìn)穩(wěn)定，即系統(tǒng)(1)達(dá)到網(wǎng)絡(luò)間同步狀態(tài).

證明：構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為：

(10)

令：K=diag(k1,k2,…,kL)，則：

由系統(tǒng)(7)有

由定理1中(9)式，可知系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定.由此，定理1得證

對(duì)(9)式，由引理1可得，

lIN-L+cGr2<0

cGq1+lIL+K-cGq2

推論1：在假設(shè)1條件下，當(dāng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)存在無(wú)牽制控制節(jié)點(diǎn)，利用引理1，取l為正常數(shù)，對(duì)系統(tǒng)每個(gè)節(jié)點(diǎn)，當(dāng)存在控制增益k滿足下列條件時(shí)，

lIN-L+cGr2<0

cλmax(Gq1)+k+α<0

3 數(shù)值示例

針對(duì)一個(gè)包含20個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含3個(gè)變量的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：

給定系統(tǒng)耦合強(qiáng)度參數(shù)c=2.15;設(shè)有非線性界函數(shù)的最大值l=5；G∈R20×20為滿足條件的耦合矩陣；在給定參數(shù)條件下，由定理1和推論1，可得出如下控制節(jié)點(diǎn)數(shù)與最低控制增益的離散曲線圖.

由圖1，取牽制控制節(jié)點(diǎn)數(shù)為12，各牽制節(jié)點(diǎn)控制增益滿足k<-10，可得出圖2牽制節(jié)點(diǎn)狀態(tài)曲線圖和圖3被牽制節(jié)點(diǎn)狀態(tài)曲線圖.

圖1 牽制節(jié)點(diǎn)數(shù)與最低控制增益曲線圖

圖2 牽制節(jié)點(diǎn)狀態(tài)曲線圖

圖3 被牽制節(jié)點(diǎn)狀態(tài)曲線圖

由圖1～圖3可知，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后系統(tǒng)狀態(tài)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).

4 小結(jié)

本文研究了一類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的同步牽制控制，得出了牽制控制節(jié)點(diǎn)數(shù)與控制增益的關(guān)系圖，運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論并結(jié)合矩陣不等式處理方法，得到了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)同步牽制控制器存在的充分條件.最后給出數(shù)值仿真說(shuō)明其有效性.

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Synchronization of Complex Network Systems with Pinning Control

ZHENG Bu-qiu1,HU Jun-qiang2

(1.Hunan Valin Xiangtan Iron & Steel Co., Ltd., Xiangtan 411101, China;2.College of Elect. and Information, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411104, China)

The synchronization control problem of some general complex dynamical networks is investigated. The pinning control theory is used to make the system achieve synchronization. Bases on Lyapunov stability theory and combined with matrix inequality, a sufficient condition for the existence of the complex network systems is obtained. At the same time, the relationship between the number of pinning nodes and the control gain is established. Finally, a numerical example is given to demonstrate the feasibility of proposed method.

complex network； synchronization； pinning

2016-09-15

鄭步秋(1972- )，男，工程師，研究方向：五米寬厚板鋼材成型，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng).

O157.5

A

1671-119X(2017)01-0024-04