“空間向量與立體幾何”學(xué)習(xí)中常見錯誤及糾錯對策

王吉瑞

我是濱州市沾化區(qū)第一中學(xué)高三學(xué)生，數(shù)學(xué)成績在高中生中估計(jì)應(yīng)屬于較好的。我在學(xué)習(xí)“空間向量與立體幾何”時(shí)，深感由于沒有掌握正確方法，基礎(chǔ)性的知識也會難學(xué)。在這里，我把自己遇到的有關(guān)錯誤做些分析，希望能幫助同樣進(jìn)行立體幾何學(xué)習(xí)的同學(xué)減少錯誤，迅速準(zhǔn)確地掌握好這部分學(xué)習(xí)內(nèi)容。

一、“空間向量與立體幾何”解題的常見錯誤

（一）概念錯誤

在“空間向量與立體幾何”的學(xué)習(xí)中，有關(guān)空間向量概念的常見錯誤有兩種：第一種是理解錯誤，第二種是概念混淆。第一種錯誤主要源自忽略了某種定義條件或者對概念的認(rèn)知模糊。例如，我們往往會將二面角當(dāng)作一個平面內(nèi)直線和交線相互垂直的角，有時(shí)在理解兩向量平行這一概念時(shí)完全忽略了成立條件。第二種錯誤則源自對概念理解的膚淺，常見錯誤包括混淆向量相關(guān)的加法運(yùn)算和數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算；混淆向量和線段的概念等。

（二）運(yùn)算錯誤

雖然在進(jìn)行空間向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)運(yùn)算時(shí)基本不會產(chǎn)生錯誤，尤其是在點(diǎn)坐標(biāo)已知的情況下，向量坐標(biāo)會比較容易計(jì)算，但是如果題目的綜合性增強(qiáng)，關(guān)系的復(fù)雜程度上升，錯誤率就會直線提高。值得注意的是，向量坐標(biāo)計(jì)算在這類題目中往往屬于前置問題，是后續(xù)問題的運(yùn)算基礎(chǔ)，所以一旦該計(jì)算出現(xiàn)錯誤，后面的解題步驟即使正確也無法得分。

（三）表述錯誤

表述錯誤主要出現(xiàn)于“空間向量與立體幾何”學(xué)習(xí)的初期階段，在這期間，容易因固有觀念尚未扭轉(zhuǎn)、對基礎(chǔ)定義的記憶不到位等因素而使用一些錯誤的向量表述語言。常見的錯誤包括把向量a誤表述為實(shí)數(shù)a；把向量的模誤表述成向量本身等。值得注意的是，該錯誤雖然在后期的考試、測驗(yàn)中出現(xiàn)率明顯變低，但筆者發(fā)現(xiàn)在自行進(jìn)行習(xí)題訓(xùn)練時(shí)反而會有較高的出現(xiàn)率，這與平時(shí)對表述習(xí)慣的不重視有一定的關(guān)系。在日常練習(xí)時(shí)，明知道表述方法有問題，但只要不是考試解題就只求把題目解出來，不去關(guān)心表述方式有無問題，這種狀況長期持續(xù)下去對解題習(xí)慣的養(yǎng)成有害。

（四）證明方向錯誤

空間向量相關(guān)的證明題目在高中數(shù)學(xué)中屬于相對有一定難度的題目，向量法常被應(yīng)用于線面位置關(guān)系的的證明上，雖然我們在應(yīng)用向量法證明這些問題時(shí)具備較為清晰的思路，但在思維方向上經(jīng)常出現(xiàn)問題，最終導(dǎo)致思路陷入死胡同，證明題整個無法解開。以線面垂直的證明為例，同學(xué)往往了解以向量法證明線面垂直的必須條件，但無法在圖上找到這些必須條件，只能以腦海中的證明方向強(qiáng)制和已知條件進(jìn)行拼湊對照，最終導(dǎo)致雖然證明思路無誤，但證明方向完全錯誤的尷尬情況。這種錯誤的主要原因有二：其一是對各種證明定理的理解浮于表面，并沒有理解定理的實(shí)際應(yīng)用方式，只會被動地進(jìn)行生搬硬套；其二是缺乏識圖能力，不會將圖中和題中的已知條件、圖形元素印證成腦中的證明條件。這兩個原因?qū)е铝宋覀冊谶M(jìn)行向量證明時(shí)找不到方向指導(dǎo)依據(jù)，只能憑空臆測。

（五）解題思路錯誤

向量解題的思路錯誤主要集中在三個方面：第一方面是審題思路錯誤，這種錯誤往往來自于審題不認(rèn)真，根本沒有搞清需要求的向量是什么。該錯誤在一些大量使用圖形本身來表示已知條件的向量求值題中尤其常見，我們往往在審題時(shí)錯誤地理解需求元素。第二方面是步驟思路錯誤，受平時(shí)練習(xí)時(shí)不良解題習(xí)慣的影響，許多同學(xué)在考試中解答向量計(jì)算題時(shí)也有跳步的習(xí)慣。在題目的思路順序較為清晰時(shí)，這種跳步的行為影響較小，但如果題目本身就較為復(fù)雜，需要對一些條件進(jìn)行平行思考或反復(fù)運(yùn)用，這種跳步行為就會為我們帶來極大的思維混亂。部分同學(xué)反復(fù)用不同方法求得相同的向量，浪費(fèi)解題時(shí)間，還有部分同學(xué)沒有求得必須向量就直接進(jìn)行下一步，當(dāng)發(fā)現(xiàn)缺少足夠的條件時(shí)又返回前一步進(jìn)行向量計(jì)算，這對解題速度和解題脈絡(luò)都有不利影響。第三方面是選擇思路錯誤，立體幾何有一個非常顯著的特征——同一問題往往不只有一種解題方法，但我們受限于自身的計(jì)算能力和思維慣性，往往掌握了一種方法后就只用這種方法解題，不僅加大了部分問題的解決難度，而且對向量法這種基礎(chǔ)方法過于依賴，不利于自身思維能力的拓展成長。

二、“空間向量與立體幾何”學(xué)習(xí)的優(yōu)化措施

（一）通過解題明確概念

為了規(guī)避概念模糊、概念混淆等因素引發(fā)的一系列初級錯誤，對空間向量相關(guān)所有基礎(chǔ)概念、定理進(jìn)行重明確是非常有必要的。尤其是相關(guān)學(xué)習(xí)已經(jīng)進(jìn)入后期時(shí)，如果這類題目錯誤率很高，可以在每次解答相關(guān)習(xí)題前對所需概念進(jìn)行重認(rèn)知，以加深對概念的理解。

（二）通過習(xí)慣規(guī)范思維

解題思維的養(yǎng)成并非一朝一夕之功，想要令思維模式、思考方向、解題思路等得到正確的規(guī)范，日常的習(xí)慣非常重要。不能在日常練習(xí)時(shí)圖省事而使用錯誤的向量數(shù)學(xué)表述法，也不能因?yàn)轭}目簡單就擅自進(jìn)行跳步，否則會對日后的考試解題與復(fù)雜問題思考造成不良影響。

（三）通過練習(xí)強(qiáng)化讀圖

讀圖能力的低下是造成相當(dāng)一部分同學(xué)找不到解題思路的主要原因，因此，為了強(qiáng)化讀圖能力，在日?？桃膺M(jìn)行讀圖練習(xí)是有必要的。筆者曾經(jīng)將各種類型的立體幾何問題配圖羅列出來，根據(jù)配圖羅列出圖中所反映出的已知條件和關(guān)鍵幾何元素，這種練習(xí)方法對讀圖能力的提升很有幫助。

三、結(jié)語

在高中階段，空間向量相關(guān)習(xí)題的錯誤大多是由同學(xué)的思維誤區(qū)、審題不嚴(yán)、概念模糊引起的，理解困難因素引發(fā)的解題錯誤相對較少。所以想要降低空間向量類習(xí)題的解題錯誤率，首先要強(qiáng)化對基礎(chǔ)知識的理解記憶，保證對概念、定理的理解不浮于表面；其次，要養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，在平時(shí)練習(xí)時(shí)就以規(guī)范的方式進(jìn)行解題；最后要提高立體幾何的相關(guān)素質(zhì)，通過提高讀圖、空間想象、思維拓展能力來提高解題效率和解題質(zhì)量。