基于傳遞矩陣法的磁軸承轉(zhuǎn)子振動特性分析*

張宇峰， 張廣明， 鄧 歆

(南京工業(yè)大學(xué),江蘇 南京 211816)

基于傳遞矩陣法的磁軸承轉(zhuǎn)子振動特性分析*

張宇峰， 張廣明， 鄧 歆

(南京工業(yè)大學(xué),江蘇 南京 211816)

轉(zhuǎn)子是磁懸浮軸承系統(tǒng)的核心部件。通過Prohl傳遞矩陣法，建立圓盤與軸段組合的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，計算出轉(zhuǎn)動慣量、截面矩等物理量，對盤軸單元矩陣進行了推導(dǎo)。在轉(zhuǎn)子模型的基礎(chǔ)上進行了質(zhì)量離散。使用MATLAB編程得到了自由振動下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率和振型圖，分析了支撐剛度對固有頻率的影響。

磁軸承轉(zhuǎn)子； 傳遞矩陣法； 振型圖； 固有頻率

0 引 言

隨著高科技的不斷發(fā)展，磁軸承轉(zhuǎn)子以無損耗、無摩擦、能效高等優(yōu)點逐步在航空、能源、交通等行業(yè)得到了認可[1]。但是,由于轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心、磁場力分布不均勻等因素的存在，磁軸承轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性及安全系數(shù)會在高速運轉(zhuǎn)的過程中受到很大的影響[2]。因此關(guān)于保證轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速低于臨界轉(zhuǎn)速的振動特性分析研究刻不容緩。

實際狀態(tài)下轉(zhuǎn)子為質(zhì)量連續(xù)分布且?guī)в袕椥缘南到y(tǒng)，自由度有無窮多個。研究人員曾用特征值求解的方法來計算出轉(zhuǎn)子的固有特性，但在實際狀態(tài)中，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的邊界條件各式各樣，且結(jié)構(gòu)難以量化，因此工作量過于龐大，且不保證一定的精度。

隨著電子信息技術(shù)的不斷進步，通過計算機編程的方法來分析轉(zhuǎn)子固有特性的辦法逐步得到了認可。傳遞矩陣法正是解決轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有特性問題的高效快捷的方法之一[3]。憑借其占據(jù)內(nèi)存少，維數(shù)不隨系統(tǒng)自由度的提升而提高等優(yōu)勢，傳遞矩陣法在旋轉(zhuǎn)機械技術(shù)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[4]。本文利用傳遞矩陣法對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行了固有特性的分析。

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)質(zhì)量的離散

在應(yīng)用傳遞矩陣法進行分析計算之前，必須對其轉(zhuǎn)子本身進行離散化處理。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的離散主要分為系統(tǒng)質(zhì)量的離散和轉(zhuǎn)動慣量的集中等效。

質(zhì)量離散化通常即為把質(zhì)量連續(xù)分布的彈性系統(tǒng)離散為集中質(zhì)量的多自由度系統(tǒng)。如圖1所示為呈階梯狀況下帶有彈性系統(tǒng)的軸段，目的為簡化成如圖2所示的由軸段和圓盤組成的多自由度盤軸系統(tǒng)。即沿著軸線將轉(zhuǎn)子的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量集中到若干結(jié)點上；結(jié)點位置的選擇通常在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)規(guī)格突變的截面處或是典型的轉(zhuǎn)子部件的中間位置，如磁軸承轉(zhuǎn)子、飛輪的質(zhì)心處。轉(zhuǎn)子的長度、剛度則集中在相鄰結(jié)點的長度上。

傳遞矩陣法將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分為有質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量但沒有厚度、形變的剛性薄圓盤；有長度、WS剛度但沒有質(zhì)量的彈性軸段。

一般相鄰結(jié)點間的軸段由若干不同截面大小的子軸段組成。這里不妨設(shè)其中之一的軸段序號為j，里面有s個子軸段。假設(shè)j軸段的長度為lj，其中的子軸段k(k=1,2,3,…,s)的質(zhì)量、長度、極轉(zhuǎn)動慣量、直徑轉(zhuǎn)動慣量分別為μk、lk、Jpk、Jdk。k軸段的質(zhì)心離j軸段左段的長度為ak。此階梯軸可簡化為圖3右圖所示兩端為剛性薄圓盤，中間僅一段的彈性軸段的兩盤一軸模型。這里j軸段的兩端結(jié)點集中了質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量，而j軸本身化作截面尺寸相同的彈性軸。

圖1 階梯軸示意圖

圖2 多自由度盤軸系統(tǒng)示意圖

圖3 j軸段示意圖及盤軸模型

質(zhì)量集中的原則是質(zhì)心的原有位置不變，即可理解為簡化以后軸段間兩結(jié)點剛性圓盤的總質(zhì)量與簡化之前的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)總質(zhì)量相同。質(zhì)心的位置與模型的狀態(tài)無關(guān)，不隨模型的簡化而改變。根據(jù)質(zhì)心位置公式可得出：

(1)

轉(zhuǎn)動慣量集中等效的原則是轉(zhuǎn)動慣性不變。即不隨簡化后模型的改變而改變，軸段間兩節(jié)點剛性圓盤的轉(zhuǎn)動慣量與簡化之前的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)總轉(zhuǎn)動慣量相同。圖4為等截面子段轉(zhuǎn)動慣量等效示意圖。

圖4 k軸段轉(zhuǎn)動慣量的集中等效示意圖

j軸段里子軸段k的轉(zhuǎn)動慣量向j軸段等效的原則為等效后的轉(zhuǎn)動慣量向原慣性主軸過ok的xk與yk軸折合時保持不變，且j軸段上子軸段k上dl微元的轉(zhuǎn)動慣量，等同于兩端的轉(zhuǎn)動慣量與到兩端距離的平方成反比。

經(jīng)過推算,j軸段的等效慣量為

(2)

式中:Jpk——k段截面的極轉(zhuǎn)動慣量；

Jdk——k段截面的直徑轉(zhuǎn)動慣量。

2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型的建立

2.1 有質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量的剛性薄圓盤傳遞矩陣

對于旋轉(zhuǎn)機械的第i個截面，設(shè)狀態(tài)向量為Zi，由徑向位移Yi、撓角αi、彎矩Mi及剪力Qi所組成，即Z=[Y,α,M,Q]T。任一軸段左右節(jié)點之間的狀態(tài)向量都存在一定的關(guān)系，即Zi+1=TiZi。Ti稱為截面之間的構(gòu)件傳遞矩陣。為了便于分析計算，圓盤與軸段通常組合成一個統(tǒng)一構(gòu)件。對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行簡化，如圖5所示為n個有質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量但沒有厚度、形變的剛性薄圓盤；n-1個有長度、剛度但沒有質(zhì)量的彈性軸段。

圖5 剛性薄圓盤彈性軸模型

(3)

式(3)為圓盤i的點傳遞矩陣，即帶彈性支撐有質(zhì)量的圓盤單元傳遞矩陣。

2.2 無質(zhì)量等截面的彈性軸段傳遞矩陣

對軸段i進行受力分析，如圖6所示。為了綜合考慮到相鄰結(jié)點間的關(guān)系，其中結(jié)點i右端的剪力、彎矩表示軸段i左端的剪力、彎矩的上標(biāo)。結(jié)點i+1左端的剪力、彎矩表示軸段i右側(cè)的剪力、彎矩的上標(biāo)，而不用軸段i自身的彎矩、剪力表示。

圖6 軸段i受力圖

當(dāng)軸段i發(fā)生形變時，右端相對于左端而引起的位移由左端轉(zhuǎn)角的位移、右端剪力、彎矩引起的位移共同組成。

(4)

(5)

(6)

(7)

通常ks稱為截面形狀系數(shù)，一般實心圓軸為10/9，薄壁空心軸為3/2；ksli/GiAi表示為剪切的形變量對彎曲的形變量的影響系數(shù)。A為截面積，EI為材料彈性模量與軸段截面矩之積。

2.3 組合件的傳遞矩陣

將圓盤、軸段的傳遞矩陣相結(jié)合可得出組合件的盤軸單元的傳遞矩陣，i單元至i+1單元的傳遞關(guān)系為

(8)

故盤軸單元的傳遞矩陣為

(9)

3 傳遞矩陣法求解磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率

3.1 轉(zhuǎn)子模型的離散

以該轉(zhuǎn)子模型為例，考慮到簡化模型質(zhì)量塊越多，即對應(yīng)的結(jié)點越多，結(jié)果會越精細。由于軸系的固有頻率和振型與轉(zhuǎn)子模型質(zhì)量分布有關(guān)，所以簡化后的模型質(zhì)量，即圓盤的集質(zhì)量應(yīng)盡量與轉(zhuǎn)子部件質(zhì)量接近。

由于實際狀態(tài)下的磁軸承起到彈簧的作用，磁軸承轉(zhuǎn)子所受懸浮力近似為彈簧對磁軸承轉(zhuǎn)子的作用力，即兩徑向磁軸承的懸浮支撐力近似為兩個彈性支承，所以設(shè)每個彈性支承由起到剛度作用的彈簧組成，等效模型如圖7所示。本文將轉(zhuǎn)子離散為28個軸段，圖8所示為轉(zhuǎn)子模型的離散示意圖。其中每個黑點即結(jié)點，是轉(zhuǎn)子部件所對應(yīng)的質(zhì)量單元，結(jié)點的質(zhì)量即為黑點前軸段質(zhì)量的一半與后軸段質(zhì)量的一半之和，共29個結(jié)點。本例中左徑向磁軸承轉(zhuǎn)子為第8個結(jié)點，右徑向磁軸承轉(zhuǎn)子為第20個結(jié)點，飛輪為第27個結(jié)點。

圖7 磁軸承支承等效模型

圖8 轉(zhuǎn)子模型離散圖

離散化后轉(zhuǎn)子各軸段的具體參數(shù)如表1、表2所示。

表1 離散化后轉(zhuǎn)子各軸段具體參數(shù)

3.2 實例求解

通常設(shè)剛性支承為理想狀態(tài)下的軸承支承，故這里從剛性入手分析。設(shè)左右磁軸承等效支承剛度5×107N/μm作為絕對剛度，即相當(dāng)于剛性支承。得出的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率和振型圖如圖9所示。基于剛性支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前四階固有頻率如表3所示。

表2 離散化后轉(zhuǎn)子各軸段具體參數(shù)

圖9 基于剛性支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前四階振型圖

圖9按照從上到下的順序依次排列，分別為轉(zhuǎn)子剛性支承狀態(tài)下的前四階振型圖。圖9中橫坐標(biāo)為轉(zhuǎn)軸總軸段的長度，單位為m，縱坐標(biāo)為磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)生共振時的徑向位移，單位為μm；圓點即所對應(yīng)的結(jié)點，實心圓點即為左右磁軸承支承所對應(yīng)的結(jié)點，分別位于轉(zhuǎn)軸的0.160 m和0.325 m處。根據(jù)圓點位置的不同可得出共振時轉(zhuǎn)子徑向位移的大小。由圖9可得結(jié)點處位移量始終為零，符合剛性支承處固定的要求。前三階主要表現(xiàn)為最后一個結(jié)點的徑向位移，第四階表現(xiàn)為整個磁軸承轉(zhuǎn)子劇烈的上下擺動。所以前三階發(fā)生共振時的徑向位移主要在轉(zhuǎn)軸前端，即飛輪處形變量較為明顯，第四階的位移量發(fā)生驟變，說明發(fā)生了強烈的共振。

表3 基于剛性支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前四階固有頻率

但是實際狀態(tài)下的磁軸承支承為完全彈性支承。對磁軸承支承的等效剛度參數(shù)用彈簧來模擬。通過改變支承剛度的值可以得到所對應(yīng)固有頻率的值。如表1所示，在第8和第20結(jié)點處作為磁軸承轉(zhuǎn)子的位置。輸入不同等效支承剛度k的大小即可得到相對應(yīng)的固有頻率。前后輸入支撐剛度為50 N/μm，步長為200的剛度值遞增。將以上數(shù)據(jù)連同組合件得出的傳遞矩陣，導(dǎo)入MATLAB傳遞矩陣法編譯的程序中。

圖10 50 N/μm轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前四階振型圖

圖11 250 N/μm轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前四階振型圖

由圖10～圖15可知，前兩階主要表現(xiàn)為平面內(nèi)的徑向擺動，磁軸承處對應(yīng)的結(jié)點位移量微小。第一階共振時的最大徑向位移位于末端結(jié)點，即飛輪處；第二階最大徑向位移位于起始結(jié)點，即轉(zhuǎn)軸末端。由前兩階振型圖相似的特點可知低階狀態(tài)下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率變化微小，而后兩階振型圖差異較大，可知高階狀態(tài)下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率變化較大。由圖11、圖12的第三階振型圖可知，軸段的0.2～0.25 m處為共振時的最大徑向位移，即轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的電機轉(zhuǎn)子處徑向位移最大。由圖13、圖14的第四階振型圖可得知，軸段的0.05～0.1 m處所對應(yīng)的徑向位移較大。由圖15的第四階振型圖可知，軸0.15～0.2 m處所對應(yīng)的徑向位移較大。

圖12 450 N/μm轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前四階振型圖

圖13 650 N/μm轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前四階振型圖

圖14 850 N/μm轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前四階振型圖

圖15 1 050 N/μm轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前四階振型圖

根據(jù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的最高轉(zhuǎn)速6×105r/min可得出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的最高運轉(zhuǎn)頻率為1 000 Hz。由表4可知，當(dāng)支承剛度為50 N/μm、250 N/μm時，前三階轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率均小于磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的最高運轉(zhuǎn)頻率1 000 Hz，故理論上該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在運轉(zhuǎn)頻率下很難穩(wěn)定工作；而隨著剛度的提升，固有頻率逐步增大。當(dāng)支承剛度大于250 N/μm時，三階、四階固有頻率均大于1 000 Hz，超出轉(zhuǎn)子最高運轉(zhuǎn)頻率，所以不作考慮。說明可以通過提升彈簧支承剛度的方式，讓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)本身運作時的頻率遠離固有頻率，從而降低共振的風(fēng)險。由表4與表3所得數(shù)據(jù)進行對比，結(jié)果發(fā)現(xiàn)當(dāng)軸承為剛性支承時，固有頻率最高；彈性狀態(tài)下當(dāng)彈簧支承剛度值逐漸增大時，固有頻率也逐漸趨近于一個最大值。

表4 不同支承剛度下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前四階固有頻率

4 結(jié) 語

本文利用Prohl傳遞矩陣法，建立了圓盤與軸段組合的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，計算出了轉(zhuǎn)動慣量、截面矩等物理量，對盤軸單元矩陣進行了推導(dǎo)和論述。在建立轉(zhuǎn)子模型的基礎(chǔ)上，本著質(zhì)心不變的原則進行了質(zhì)量離散。使用MATLAB編程得到了自由振動下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率和振型圖。分析發(fā)現(xiàn)磁軸承的等效彈簧支承剛度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率有很大的影響。當(dāng)彈簧剛度為理想狀態(tài)下的剛性時，固有頻率最高；當(dāng)為實際狀態(tài)下的彈性支承時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率會隨著彈簧支承剛度的提高而提高。因此可以通過增加支撐剛度的方式提高系統(tǒng)固有頻率，讓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運轉(zhuǎn)頻率遠離固有頻率，從而降低共振的風(fēng)險。

[1] 吳華春.磁力軸承支承的轉(zhuǎn)子動態(tài)特性研究[D].武漢： 武漢理工大學(xué)，2005.

[2] 劉建武，顧力強.動力傳動軸臨界轉(zhuǎn)速設(shè)計研究[D].上海： 上海交通大學(xué)，2007.

[3] 袁惠群.轉(zhuǎn)子動力學(xué)基礎(chǔ)[M].北京： 冶金工業(yè)出版社,2014.

[4] 孟杰，陳小安.電主軸動力學(xué)分析的傳遞矩陣法[J].機械設(shè)計，2008，25(7)： 37-40.

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Analysis of Vibration Characteristics of Magnetic Bearing Rotor Based on Transfer Matrix Method*

ZHANGYufeng,ZHANGGuangming,DENGXin

(Nanjing Tech University, Nanjing 211816, China)

Through transfer matrix method built a disk and shaft segment combination of rotor system model to calculate the moment of inertia, section moment and other physical quantities, on the disc axis unit matrix were derived and discussed.The quality based on the discrete model of the rotor.Using MATLAB programming to get the free vibration of rotor system inherent frequency and vibration type graph, and analyzed the influence of support stiffness on the natural frequency.

magnetic bearing rotor; transfer matrix method; vibration map; natural frequency

國家自然科學(xué)基金項目(51277092);江蘇省基礎(chǔ)研究計劃(自然科學(xué)基金)資助項目(BK20130938);江蘇省高校自然科學(xué)研究項目資助(14KJB510013)

張宇峰(1992—)，男，碩士研究生，研究方向為電機控制。 張廣明(1965—)，男，博士/博士后，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為機電系統(tǒng)綜合控制。 鄧 歆(1982—)，男，博士研究生，碩士生導(dǎo)師，研究方向為磁鏈觀測器設(shè)計，無速度傳感器控制技術(shù)。

TM 303.5

A

1673-6540(2017)03- 0071- 07

2016 -09 -20