積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法探討

景慧麗,陳 磊,屈 娜

(火箭軍工程大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710025)

積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法探討

景慧麗,陳 磊,屈 娜

(火箭軍工程大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710025)

積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是微積分學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，為了幫助學(xué)員熟練地掌握積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法，對(duì)其求導(dǎo)方法進(jìn)行了探討.首先定義了標(biāo)準(zhǔn)的積分上限函數(shù)，然后給出其求導(dǎo)定理，最后重點(diǎn)探討了4類非標(biāo)準(zhǔn)型的積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法，其基本思想都是化歸為標(biāo)準(zhǔn)的積分上限函數(shù).

積分上限函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；化歸；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)

微積分學(xué)的研究對(duì)象是函數(shù)，因此積分上限函數(shù)(也稱為變上限的定積分)[1-2]作為一種新型函數(shù)在微積分學(xué)中的地位是非常重要的.在微積分學(xué)中只要是與函數(shù)有關(guān)的內(nèi)容，積分上限函數(shù)都可以作為一個(gè)活躍分子參與其中，如函數(shù)的極限運(yùn)算、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、函數(shù)的積分運(yùn)算、函數(shù)的極值和最值運(yùn)算、微分方程等.在這些運(yùn)算中，經(jīng)常要用到積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算就成了微積分中最重要的內(nèi)容之一.但是，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)相當(dāng)一部分學(xué)員往往對(duì)求積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這一問題感到束手無策、無從下手，而且經(jīng)常出錯(cuò)，從這方面來看，計(jì)算積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)又是學(xué)員認(rèn)為的微積分學(xué)中最難的知識(shí)點(diǎn)之一.為此，筆者對(duì)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法進(jìn)行了探討，分析、歸納了一般的求法.為了方便說明問題，這里首先要定義一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)的積分上限函數(shù)”.

類型4中的被積函數(shù)中的自變量x是不能直接和積分變量t分離開的，需要利用定積分的換元積分法把其化歸為標(biāo)準(zhǔn)的積分上限函數(shù).

以上就是積分上限函數(shù)的求導(dǎo)方法，在所有求法中，最基本、最核心的就是標(biāo)準(zhǔn)的積分上限函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，其他非標(biāo)準(zhǔn)的積分上限函數(shù)都要先化歸為標(biāo)準(zhǔn)的積分上限函數(shù)，然后再利用定理.

化歸是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法，化歸就是把待解決或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題中去，最終求獲原問題之解答的一種手段和方法[5].在科學(xué)探索中，化歸的價(jià)值被許多科學(xué)家稱道，如著名匈牙利數(shù)學(xué)家路莎·彼得(ROZSA PETER)曾指出：“數(shù)學(xué)家們往往不是對(duì)問題進(jìn)行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)變成已經(jīng)能夠解決的問題.”[5]因此，教員在教學(xué)過程中要經(jīng)常性地讓學(xué)員體會(huì)、感受化歸的思想、方法，并培養(yǎng)學(xué)員的化歸能力.

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上[M].7版.北京：高等教育出版社,2014：238.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：上[M].3版.北京：高等教育出版社,2001：220.

[3] 景慧麗，屈娜，于寧莉，等.積分上限函數(shù)的探究式教學(xué)[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013,22(1)：54-56.

[4] 姜翠美，姜英，王海霞.變限積分的求導(dǎo)方法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2013,16(6)：23-24.

[5] 熊惠民.數(shù)學(xué)思想方法通論[M].北京：科學(xué)出版社,2010：13-14.

On the Derivative of Integral Upper Limit Function

JING Huili，CHEN Lei, QU Na

(SchoolofNaturalScience,RocketForceUniversityofEngineering,Xi’an710025,China)

Calculating the derivative of integral upper limit function is the important and difficult content of the calculus. The derivative methods of the integral upper limit function were researched，which can help students grasp the derivative methods of the function. First, the standard integral upper limit function was defined, and then the theorem was discussed. Furthermore, the derivative methods of four kinds of non-standard integral upper limit function were particularly and thoroughly researched, and its basic idea is to turn them into the classified as the standard of the integral upper limit function.

integral upper limit function； derivative； transformation and classification; advanced mathematics; teaching

2016-09-18

火箭軍工程大學(xué)教育教學(xué)立項(xiàng)課題(EPGC2015008)

景慧麗(1983—)，女，河南平頂山人，火箭軍工程大學(xué)理學(xué)院副教授，主要研究方向：最優(yōu)化理論與方法.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.01.013

G642.0;O174

A

1007-0834(2017)01-0059-03