探月飛船跳躍式再入軌跡可達域分析

杜 昕，劉會龍

（中國空氣動力研究與發(fā)展中心高速空氣動力所，綿陽621000）

探月飛船跳躍式再入軌跡可達域分析

杜 昕，劉會龍

（中國空氣動力研究與發(fā)展中心高速空氣動力所，綿陽621000）

針對探月飛船跳躍式再入軌跡分段多、段與段相互耦合、可達域求解與分析較直接再入更加困難的問題，給出了跳躍式再入軌跡可達域的數學描述，在此基礎上將可達域求解問題拆分為兩類最優(yōu)控制問題，并建立了相應的優(yōu)化模型。采用基于高斯偽譜法的兩步優(yōu)化策略進行求解，得到了跳躍式再入軌跡可達域邊界。最后分析了初始條件（再入角、再入方位角）對可達域的影響。仿真結果表明兩步優(yōu)化策略能兼顧計算精度和計算效率。

探月飛船；跳躍式再入；可達域；高斯偽譜法；兩步優(yōu)化策略

1 引言

探月飛船返回地球時，將采用跳躍式再入以降低過載、熱流等［1］。再入軌跡可達域是工程上比較關心的一個問題，其分析結論可為任務方案總體設計提供參考。跳躍式再入能量更高，可達域范圍更大，但軌跡特性與直接再入差別較大，需要對其可達域問題進行專門研究。

再入軌跡可達域問題實際上是多個最優(yōu)控制問題的組合，需要在沿初始速度方向的一系列縱程點上求取最大的橫程絕對值。目前，計算再入軌跡可達域主要有四種方法：第一種方法采用平衡滑翔假設來降低問題的復雜度，且不考慮路徑約束，通過坐標變換，將問題轉化為一系列更為簡單的終端縱程自由、橫程最大的最優(yōu)控制問題，并采用間接法求解［2?3］；第二種方法是采用直接優(yōu)化算法（如偽譜法）進行求解［4?6］；第三種方法基于航天飛機再入制導算法，其核心思想就是飛行器的縱程與飛行過程中的阻力加速度成反比［7?8］；第四種方法運用擬平衡滑翔條件，將可達域問題轉化為一系列更為簡單的單變量尋根問題，并采用近似最優(yōu)控制律求解［9］。

第一種方法由Vinh在上世紀70年代提出。他對問題作了很多簡化，忽略了科氏加速度，并且不考慮路徑約束［2］。實際上，科氏加速度會造成可達域的非對稱性，是一個必須要考慮的因素。而不考慮任何路徑約束也與實際問題出入較大。第二種方法的最大缺點就是求解速度較慢，這也是直接法的缺點。第三種方法同時考慮了科氏加速度和路徑約束，能夠較為快速地計算可達域。第四種方法引入了擬平衡滑翔條件［10］，在考慮路徑約束的條件下能夠快速求得最優(yōu)解。總的說來，第三種方法求解快速、精度較高且使用范圍廣，是目前為止比較出色的計算落點可達域的方法，航天飛機的故障飛行管理（Shuttle Abort Flight Manager，SAFM）模塊正是采用了這種方法［11］。

第三種和第四種方法不適用于小升阻比的飛船再入，而第一種方法對于跳躍式再入精度較差。本文主要是離線計算可達域并對其進行分析，對于計算速度的要求并不高，因此采用第二種方法進行求解。首先，采用基于高斯偽譜法的兩層優(yōu)化策略求解最優(yōu)控制問題，第一層優(yōu)化算法采用較少的高斯節(jié)點給出一個精度不高的優(yōu)化結果，第二層優(yōu)化算法采用較多的高斯節(jié)點給出精度較高的優(yōu)化結果；其次，按照橫程的符號將整個可達域分為兩邊，同一邊里上一個邊界點的優(yōu)化結果作為下一個邊界點的優(yōu)化初值，逐點推進，直至求解完成；最后通過仿真算例驗證方法的有效性。

2 再入軌跡可達域問題描述

2.1三自由度再入運動方程

考慮地球為旋轉圓球的三自由度再入運動方程如式（1）～（6）所示［12］：

其中：r為地心距，θ為經度，?為緯度，V為飛行器速度，γ為飛行路徑角，ψ為速度方位角（正北方向為零，順時針旋轉為正），σ為滾轉角（控制變量），ω為地球自轉角速度，g為重力加速度，L和D分別為升力加速度和阻力加速度，定義如式（7）～（8）所示：

其中：ρ為大氣密度，m為飛行器質量，S為飛行器參考迎風面積。大氣密度模型采用美國1976標準大氣模型。

2.2可達域問題的數學描述

其中，σ 0，t( )表示從0時刻到t時刻的滾轉角剖面，其容許集Ut()可以表示為式（10）：

其中，C20，t[ ]表示在時間區(qū)間 0，t[ ]上具有連續(xù)一階導數和二階導數的連續(xù)函數域。

定義P?X為滿足約束的狀態(tài)域如式（11）：

當高度達到10 km時，認為達到開傘條件，因此，定義開傘狀態(tài)域D?X為式（12）：

可行的再入軌跡是指滾轉角函數在其容許集Ut()內，滿足路徑約束，且終端狀態(tài)在D內的軌跡?？蛇_域（Reachable Set，RS）是指從初始狀態(tài)x0出發(fā)的可行軌跡所能達到的終端狀態(tài)的集合，表示為式（13）：

而在再入問題里通常所說的可達域實際上指的是可達覆蓋區(qū)（Reachable Footprint，RFP），定義為式（14）：

RS和RFP的定義如圖1所示［13］。在本文后面的討論中，默認可達域為RFP，它是由再入點狀態(tài)、再入飛行器氣動特性以及路徑約束共同決定，不同的再入點狀態(tài)會得到完全不同的可達域。在應急或故障情況下，再入點的狀態(tài)不能事先預測，為了快速評估可能的著陸點以規(guī)劃應急再入軌跡，需要在線快速生成可達域。

3 可達域求解策略

計算再入飛行器的軌跡可達域實質是計算可達域的邊界。而求解完整的可達域邊界需要兩個步驟：一是優(yōu)化計算沿初始速度方向縱程的最小值和最大值；二是在縱程最小值和最大值之間選取一系列離散點，在這些點上優(yōu)化計算橫程的最小值和最大值（對應橫程符號一正一負）。相應的優(yōu)化模型如下：

1）路徑約束

再入問題的典型路徑約束為動壓、過載以及熱流密度約束，如式（15）～（17）所示［13］。

此外，為防止跳出高度過高導致任務失敗，路徑約束還應包括一個高度約束。這里設定最大高度不超過300 km，如式（18）所示：

2）終端約束

以高度作為判斷再入段結束的標志，即當高度達到開傘高度10 km時認為再入段結束，達到開傘狀態(tài)。因此有終端約束如式（19）：

對于步驟一中的優(yōu)化模型，終端約束只有式（19）一項，但對于步驟二中的優(yōu)化模型，終端約束還應包括式（20）：

其中，RV0為沿初始速度方向的縱程，其定義如圖2所示，圖中為再入初始點的經緯度，為開傘點的經緯度，為沿初始速度方向的橫程，Rt為再入初始點與開傘點之間的大圓弧距離。Rspec為選定的各個離散點處的RV0值。RV0、ZV0的計算公式如式（21）～（23）所示［14］。

其中，ψ為再入初始點的速度方位角，Ψ為再入初始點到開傘點的視線角。

3）目標函數

對于步驟一中的優(yōu)化模型，目標函數為式

（24）或者式（25）：

對于步驟二中的優(yōu)化模型，目標函數為式（26）或者式（27）：

對于可達域問題，對求解速度的要求高于對求解精度的要求，因此，要選擇計算效率較高的優(yōu)化算法。本文選擇高斯偽譜法進行優(yōu)化計算，并采用兩步優(yōu)化策略：第一步采用較少的高斯節(jié)點（例如取6個節(jié)點），計算得到一個較為粗略的結果作為下一步優(yōu)化的初值；第二步取較多節(jié)點（如取20個節(jié)點），并采用第一步的計算結果進行插值，得到當前多節(jié)點下的設計變量初值，計算得到一個精度較高的最優(yōu)解。高斯偽譜法最終將最優(yōu)控制問題轉化為非線性規(guī)劃問題，本文采用SQP算法求解所有的非線性規(guī)劃問題。

同時，在求解時，可達域邊界同一邊（橫程符號相同）上相鄰的兩點，上一個點的計算結果作為下一個點的初值，逐點推進，可以提高計算效率。

4 仿真驗證

再入點狀態(tài)為：再入點高度120 km，再入點經度0°，再入點緯度0°，再入速度11 km／s，再入角－6°，再入點速度方位角45°。

飛船參數取Apollo 11號返回艙參數［1］，質量5500 kg，大底截面直徑 3.9 m，駐點曲率半徑2.5 m，升力系數0.387 73，阻力系數1.289 1。

路徑約束如下［1，15］：q≤30 kPa，n≤7g0，Q·≤6 MW／m2。

第一步，先優(yōu)化得到沿初始速度方向最大的縱程和最小的縱程。計算得到最大縱程約為10 816 km，最小縱程約為1674 km。

第二步，在1674 km至10 816 km之間取一系列點，優(yōu)化得到這些點處的橫程最大值（正向最大和負向最大），這樣就求得了可達域的邊界。最后將這些邊界點連接起來，就得到了可達域。

優(yōu)化結果如圖3～8所示。其中圖3給出了可達域邊界軌跡的地面航跡，圖4給出了可達域，圖5給出了可達域邊界軌跡的高度曲線，圖6給出了可達域邊界軌跡的過載曲線，圖7給出了再入角對可達域的影響，圖8給出了再入航向角對可達域的影響。

從圖3～4中可以看到，跳躍式再入的可達域是一個長條狀的區(qū)域，若不考慮地球自轉，那么這個區(qū)域應該是對稱的。另外，可達域邊界應是光滑邊界，不光滑的點是由于優(yōu)化算法在這一點處計算的結果不太理想所導致，另外一個原因是由于離散點的個數取的不夠多。

計算程序采用MATLAB語言編碼，在安裝Pentium 4（2.5 GHz）處理器的微機上運行。優(yōu)化得到一條邊界軌跡的時間平均約30 s，得到整個可達域的總時間約12 min。當然，取點的密集度越大，計算總時間會相應增長。

從圖5中可以看到，最短縱程對應的兩條軌跡是直接再入軌跡，軌跡沒有出現跳躍。隨著縱程的增大，軌跡出現跳躍，并且跳躍高度越來越高。而且是兩條軌跡一組，高度曲線較為接近，這是因為這兩條軌跡的縱程一致，只是橫程一正一負。

從圖6中可以看到，最短縱程對應的兩條軌跡的過載峰值幾乎達到了約束的最大值7g0，而其他軌跡的過載峰值則均小于7g0。與高度曲線相同的是：過載曲線也是兩條軌跡一組。這是由于高度、過載等均是縱向運動狀態(tài)決定的量，與橫程運動關系不大。

圖7 給出了再入角對可達域的影響。從圖中可以看到，再入角的絕對值越大，即初始再入軌跡越陡，可達域會更靠近再入點，但并不明顯，這是因為存在過載峰值的約束，可行的再入軌跡不可能達到很小的縱程。從圖中還可以看到，初始再入軌跡越陡，可達域的范圍越窄，新的邊界點全部落在原邊界線以內。

圖8 給出了再入航向角對可達域的影響。由于本文中航向角的定義是從正北起算，順時針方向為正。因此，當航向角增大時，可達域整體向南移動；當航向角減小時，可達域整體向北移動。

5 結論

本文采用兩層直接優(yōu)化策略計算得到跳躍式再入軌跡的可達域并進行了分析，結論如下：

1）建立了跳躍式再入軌跡可達域問題的優(yōu)化模型，并采用基于高斯偽譜法的兩層優(yōu)化策略進行求解。仿真結果表明這種優(yōu)化策略能較好地兼顧精度和計算效率。

2）可達域邊界理論上為光滑邊界，不光滑的點是由于優(yōu)化算法在這一點處計算的結果不太理想以及離散點個數較少所導致，離散點越多，可達域范圍越精確，但計算時間越長。

3）分析了再入初始條件對可達域的影響。初始再入軌跡越陡，可達域的范圍越窄，且整體更靠近再入點。當航向角增大時，可達域整體向南移動；當航向角減小時，可達域整體向北移動。

4）本文采用直接法求解跳躍式再入軌跡可達域。由于直接法的計算速度難以適應在線任務的要求，因此僅適用于線下的任務設計與分析。跳躍式再入軌跡可達域的在線生成還需要進一步研究。

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（責任編輯：龍晉偉）

Analysis of Reachable Sets of Lunar Module Skip Entry Trajectory

DU Xin，LIU Huilong

（High Speed Aerodynamics Institute of China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang 621000，China）

The multiple phases of the skip entry trajectory are coupled with each other，so the land?ing footprint computation and analysis of the skip entry is much more difficult than that of the direct entry.To solve this problem，the mathematical descriptions of the reachable set and the landing foot?print were given.On this basis，the landing footprint problem was converted into two optimal control problems，and the corresponding optimal models were established.Then，a two?step optimization strategy based on Gauss pseudospectral method（GPM）was used to obtain the landing footprint. The effects of initial condition（entry flight path angle and heading angle）on landing footprint were analyzed.The simulation results indicate that the two?step optimization strategy has good perform?ance on both computational accuracy and efficiency

lunar module；skip entry；reachable sets；Gauss pseudospectral method；two?step opti?mization strategy

V412

：A

：1674?5825（2017）02?0163?05

2015?12?14；

2017?02?17

國家自然科學基金（11372345）

杜昕，男，博士，工程師，研究方向為飛行器軌跡規(guī)劃與制導控制。E?mail：232783682＠qq.com