多元copula分布函數(shù)在小流域設(shè)計洪水頻率分析中的應(yīng)用研究

劉長君

（遼寧省沈陽水文局，遼寧沈陽110043

多元copula分布函數(shù)在小流域設(shè)計洪水頻率分析中的應(yīng)用研究

劉長君

（遼寧省沈陽水文局，遼寧沈陽110043

本文采用多元copula分布函數(shù)對遼寧地區(qū)小流域設(shè)計洪水進行頻率分析。研究結(jié)果表明：多元copula分布函數(shù)可結(jié)合分析樣本數(shù)據(jù)點采用多參數(shù)進行分布曲線的調(diào)整，適用性好于單要素分布函數(shù)；在區(qū)域洪水頻率計算中，多元copula分布函數(shù)計算值總體上小于單要素分布函數(shù)，且設(shè)計值均較為合理。研究成果對于區(qū)域小流域設(shè)計洪水頻率分析方法提供參考價值。

多元copu la分布函數(shù)；單要素分布函數(shù)；設(shè)計洪水頻率分析；小流域

中小河流治理工程需要對小流域的設(shè)計洪水進行頻率分析，結(jié)合分析的設(shè)計洪水成果再對中小河流河道提防高度進行設(shè)計，而設(shè)計洪水的合理性對于河道提防設(shè)計至關(guān)重要，而區(qū)域洪水頻率分析是設(shè)計洪水計算的關(guān)鍵，為此有許多學(xué)者對區(qū)域設(shè)計洪水頻率分析進行相關(guān)研究，并取得一定研究成果［1-6］，但是成果大都為單要素分布函數(shù)進行洪水頻率分析，而單要素分布函數(shù)計算參數(shù)較為單一，存在適用局限的問題。當(dāng)前，多元copula函數(shù)在經(jīng)濟流域以及海潮頻率分析中得到具體應(yīng)用［7-10］，但是在設(shè)計洪水頻率分析中應(yīng)用還較少，特別是在遼寧地區(qū)小流域設(shè)計洪水頻率分析中還未進行具體應(yīng)用，為此本文引入多元copula函數(shù)，對遼寧地區(qū)小流域設(shè)計洪水頻率進行分析，分析多元copula函數(shù)在遼寧地區(qū)小流域設(shè)計洪水頻率分析的適用性。

1 多元copu la函數(shù)計算原理

多元Copula函數(shù)設(shè)定模型計算變量X和Y的概率分布密度函數(shù)，并計算概率密度分布H（X，Y）對應(yīng)的Copula函數(shù)C（u，v），函數(shù)計算方程為：

式（2）和（3）中u和v表示為計算的C（u，v）函數(shù)中的邊際概率分布函數(shù)；FX和FY表示為C（u，v）函數(shù)條件分布概率函數(shù)。

本文結(jié)合多元Copula函數(shù)對小流域設(shè)計洪水頻率進行分析，其中應(yīng)用變量CG、CC1以及CF來代表模型的特征計算函數(shù)，α、β、λ分別代表特征函數(shù)的計算參數(shù)，τ代表Kendall模型計算的自相關(guān)系數(shù)，τ計算方程為：

計算完成多元Copula函數(shù)的τ值后，需要對模型進行K-S檢驗，K-S檢驗公式為：

式中，Cemp、Ci表示自相關(guān)檢驗的變量函數(shù)。

多元Copula函數(shù)設(shè)計洪水計算步驟為第一步計算不同變量的邊緣概率分布函數(shù)，計算方程為：

式中，α、β、α0表示為模型計算的形狀系數(shù)；x表示為設(shè)計洪水樣本數(shù)據(jù)；Γ（α）為模型計算的Γ函數(shù)。

在計算過程中對于相鄰時間尺度的概率條件分布函數(shù)的計算方程為：

式中，ut，n+1表示為前一個時間尺度的設(shè)計洪水頻率值；St，St-1表示為計算時間尺度下的設(shè)計洪水頻率的概率分布密度函數(shù)；xt，n+1為設(shè)計洪水頻率值；Ft表示為模型設(shè)計洪水概率分布函數(shù)。

在對模型變量概率密度計算后，需要對模型設(shè)置信度區(qū)間，計算方程為：

圖1 不同參數(shù)下多元copula分布函數(shù)頻率曲線

式中，uup、ulow分別表示模型置信度上限和下限，St、Ft同方程（7）變量意義，xup、xlow模型變量置信度上限和下限。

2 在區(qū)域小流域設(shè)計洪水頻率分析中的應(yīng)用

2.1 設(shè)計區(qū)域概況

本文選取遼寧10個小流域設(shè)計洪水進行頻率分析，10個區(qū)域洪水資料的系列均值55年以上，且對模型洪水?dāng)?shù)進行水文數(shù)的可靠性、一致性的檢驗，結(jié)合設(shè)計區(qū)域的洪水?dāng)?shù)據(jù)，采用多元copula函數(shù)進行設(shè)計洪水頻率的分析，并對比了單要素分布函數(shù)的設(shè)計洪水成果。

2.2 不同參數(shù)值下多元copula分布函數(shù)頻率適線分析

為分析不同參數(shù)下多元copula分布函數(shù)的洪水頻率適線結(jié)果，結(jié)合設(shè)計區(qū)域洪水資料，分別分析了四組參數(shù)下的多元copula分布函數(shù)頻率曲線，結(jié)果見圖1。

圖1為不同參數(shù)下多元copula分布函數(shù)頻率曲線，從圖中可以看出，當(dāng)β=0.5，a=0.3～0.4時，多元copula分布函數(shù)的形狀變化較小，但是在低頻率區(qū)域，隨著a的增大其設(shè)計值變大，而當(dāng)a=0.5，β=0.6～0.9時，多元copula分布函數(shù)的形狀變化較為明顯，可見β值的變大對多元分布函數(shù)的形狀的影響要大于a的變化，且在高頻率區(qū)域，隨著β的增大其設(shè)計頻率值呈現(xiàn)逐漸減小的規(guī)律。

2.3 不同分布函數(shù)在小流域設(shè)計洪水頻率分析結(jié)果對比

分別采用單要素分布函數(shù)和多元copula分布函數(shù)對不同設(shè)計區(qū)域的設(shè)計洪水進行頻率分析，結(jié)果見表1和表2。并對比不同函數(shù)在不同參數(shù)下的洪水頻率曲線，結(jié)果見圖2。

表1 單要素分布函數(shù)下不同計算區(qū)域設(shè)計洪水計算成果

表2 多元copu la分布函數(shù)下不同計算區(qū)域設(shè)計洪水計算成果

表1和表2分別為不同分布函數(shù)進行的區(qū)域設(shè)計洪水頻率分析結(jié)果，從表中可以看出，采用多元copula分布函數(shù)計算的設(shè)計洪水頻率結(jié)果總體上要小于采用單要素分布函數(shù)計算的不同區(qū)域設(shè)計洪水成果，這主要因為單要素分布函數(shù)主要采用單一參數(shù)進行設(shè)計洪水頻率分析，而多元copula分布函數(shù)可結(jié)合數(shù)據(jù)特征點進行設(shè)計洪水頻率分析，計算結(jié)果總體要小于單要素分布函數(shù)的設(shè)計洪水頻率結(jié)果。圖2為不同分布函數(shù)在不同參數(shù)下的頻率分布曲線對比，從圖中可以看出，隨著參數(shù)值的加大，不同分布函數(shù)下的設(shè)計洪水頻率曲線越接近。這主要是因為隨著參數(shù)值的加大，多元copula分布函數(shù)方程越來越接近單要素分布函數(shù)方程。

2.4 設(shè)計洪水頻率合理性檢查

在不同分布函數(shù)設(shè)計洪水頻率分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合各設(shè)計區(qū)域的面積和設(shè)計洪水頻率分析成果，繪制不同頻率下各設(shè)計洪水成果和區(qū)域面積的次方關(guān)系圖，對采用多元copula分布函數(shù)的設(shè)計洪水成果進行合理性檢查。具體分析結(jié)果見圖3。

圖2 不同分布函數(shù)在不同參數(shù)下的頻率分布曲線對比

圖3 多元copu la函數(shù)分布下區(qū)域設(shè)計洪水頻率合理性檢查結(jié)果

圖3 為采用多元copula分布函數(shù)進行區(qū)域洪水頻率分析合理性檢查結(jié)果，從圖中可以看出，不同頻率下各設(shè)計洪峰成果和區(qū)域面積的關(guān)系基本呈現(xiàn)一條直線，本文選取的10個區(qū)域為上、下游關(guān)系，從圖中可以看出采用多元copula分布函數(shù)進行區(qū)域設(shè)計洪水成果和區(qū)域面積之間的關(guān)系符合區(qū)域設(shè)計洪水上、下游設(shè)計洪峰隨面積變化的規(guī)律，因此多元copula分布函數(shù)在區(qū)域設(shè)計洪水成果偏差較小，較為合理。

3 結(jié)論

本文采用多元copula分布函數(shù)對遼寧小流域設(shè)計洪水進行頻率分析，研究取得以下結(jié)論。

（1）多元copula分布函數(shù)頻率曲線可用于區(qū)域小流域設(shè)計洪水頻率分析，適用性好于單要素分布頻率曲線；

（2）多元copula分布函數(shù)頻率曲線形狀受參數(shù)β影響明顯高于參數(shù)α，隨著α值加大，其低頻設(shè)計值增加，而β加大，其高頻設(shè)計值逐漸減小。

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1008-1305（2016）06-0066-05

2016-12-08

劉長君（1971年—），男，工程師。