一種基于里程參數(shù)的道路平面幾何解析模型

陶 璐，朱敦堯,，王軍德，張 攀

(1. 武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430079； 2. 武漢理工大學(xué)智能交通系統(tǒng)研究中心,湖北 武漢 430063； 3. 武漢光庭信息技術(shù)股份有限公司，湖北 武漢 430073)

一種基于里程參數(shù)的道路平面幾何解析模型

陶 璐1，朱敦堯1,2,3，王軍德2,3，張 攀3

(1. 武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430079； 2. 武漢理工大學(xué)智能交通系統(tǒng)研究中心,湖北 武漢 430063； 3. 武漢光庭信息技術(shù)股份有限公司，湖北 武漢 430073)

隨著主動安全技術(shù)、自動駕駛技術(shù)的發(fā)展，高精度導(dǎo)航地圖得到越來越多的運用。本文提出了一種面向高精度導(dǎo)航地圖的、基于里程參數(shù)的道路平面幾何解析模型。通過動態(tài)地構(gòu)造點集上的正交多項式系和約束最小二乘法，根據(jù)擬合最大誤差動態(tài)地計算道路的幾何描述參數(shù)。使用該模型進(jìn)行了120 km高速道路高精度地圖數(shù)據(jù)生產(chǎn)，以三段典型道路為實例進(jìn)行試驗，表明該方法能對道路幾何進(jìn)行準(zhǔn)確的描述，保證道路幾何的連續(xù)與光滑，同時最大限度地減少數(shù)據(jù)冗余。該模型對高精度地圖道路幾何描述具有一定優(yōu)勢。

道路幾何；解析模型；高精度地圖；正交多項式；約束最小二乘

道路平面幾何作為道路的基本特征是很多研究的關(guān)鍵。如文獻(xiàn)[1—2]中基于道路的幾何特征進(jìn)行路網(wǎng)匹配；文獻(xiàn)[3—4]通過道路幾何相似性檢測路網(wǎng)差異、變化；文獻(xiàn)[5]對不同道路幾何特征條件下的車速自適應(yīng)控制進(jìn)行了研究。

隨著智能交通系統(tǒng)(ITS)、先進(jìn)駕駛輔助系統(tǒng)(ADAS)和自動駕駛技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)有的商用導(dǎo)航地圖由于在精度、內(nèi)容和完整性方面的缺乏，已經(jīng)不能滿足更高層次運用的需求[6]；在智能交通領(lǐng)域，對高精度地圖的需求已經(jīng)得到了普遍認(rèn)識和接受[7]。高精度的道路位置信息可以用于車輛定位輔助。文獻(xiàn)[7]提出了一種基于立體視覺和高精度地圖的定位方法，通過將檢測車道線與高精度地圖進(jìn)行對齊，達(dá)到了亞米級的定位精度。Tao Z等[6，8]首先構(gòu)建高精度的車道線地圖，通過匹配算法提高了GPS定位精度。Levinson J[9]通過粒子濾波將激光雷達(dá)測量數(shù)據(jù)與高分辨率地圖數(shù)據(jù)進(jìn)行匹配，實現(xiàn)了城市區(qū)域?qū)崟r的10 cm級的定位精度。在車輛運動決策方面，Gu Yanlei[10]在多種被動傳感器集合定位中，使用車道線地圖的道路方向?qū)MU航向角進(jìn)行修正，并用于監(jiān)測車輛變道行為。Takeuchi Eijiro[11]使用高精度地圖，結(jié)合粒子濾波對交叉路口的交通情況進(jìn)行預(yù)測，控制車輛通過路口的速度，實現(xiàn)了自動車在狹窄交叉路口的安全通過。準(zhǔn)確、光滑的道路幾何描述對于車輛行駛路徑規(guī)劃有很大幫助，文獻(xiàn)[12]通過生成分段二階連續(xù)的貝塞爾曲線規(guī)劃出曲率連續(xù)的自動車行駛軌跡引導(dǎo)車輛行駛。Bae I[13]通過地圖中得到的離散點目標(biāo)軌跡數(shù)據(jù)計算曲率，通過曲率值得到自動車轉(zhuǎn)向參數(shù)，進(jìn)行車輛轉(zhuǎn)向控制。

現(xiàn)有的高精度地圖通過提高地圖數(shù)據(jù)采集精度，沿道路線、車道線密集采點來保證道路幾何信息的準(zhǔn)確性；通過大量形點構(gòu)造車道級的高精度地圖，其粒度更細(xì)，內(nèi)容更豐富,對道路進(jìn)行更詳盡的描述。但這也造成了數(shù)據(jù)量的大幅增加，且通過密集的形點數(shù)據(jù)來計算道路的幾何特征會耗費終端有限的計算資源。綜上，本文提出了一種面向高精度地圖的、基于里程參數(shù)的道路平面幾何解析模型。該模型能較好地減少數(shù)據(jù)冗余,保證幾何描述的準(zhǔn)確性，通過它能方便快捷地計算道路任意點處的幾何特征。

1 現(xiàn)有的道路幾何描述模型

1.1 傳統(tǒng)導(dǎo)航數(shù)據(jù)幾何模型

傳統(tǒng)導(dǎo)航數(shù)據(jù)將交通網(wǎng)絡(luò)抽象為節(jié)點和弧段的集合。用道路中心線對其進(jìn)行表達(dá)，即弧段。節(jié)點往往是路口和道路屬性變化的位置。交通網(wǎng)絡(luò)的交通信息作為節(jié)點或弧段的屬性存儲，由弧段的連通性建立路網(wǎng)的拓?fù)潢P(guān)系。受傳統(tǒng)GIS拓?fù)鋵W(xué)的影響，節(jié)點/弧段模型仍然是一種主流的導(dǎo)航數(shù)據(jù)模型[14]。在傳統(tǒng)導(dǎo)航數(shù)據(jù)中，道路幾何通過其中心線來表達(dá)，即有序的(x，y)坐標(biāo)序列。采樣點的密度、精度決定了其幾何描述的準(zhǔn)確性。由于使用道路中心線來表達(dá)面狀道路幾何，其表達(dá)粒度只達(dá)到“道路級”，道路內(nèi)部的信息丟失嚴(yán)重。因此，精度、粒度、內(nèi)容等方面的缺失，導(dǎo)致傳統(tǒng)導(dǎo)航數(shù)據(jù)難以滿足在智能交通領(lǐng)域更高層次的運用需求。

1.2 基于線形的幾何描述模型

在交通部門道路設(shè)計中，主要使用直線、圓、緩和曲線3種線形。通過線形參數(shù)對道路幾何進(jìn)行描述是最直接的道路幾何描述方法。直線和圓可以通過直線和圓的方程來進(jìn)行描述。但緩和曲線幾何描述就顯得較為困難。緩和曲線的基本特征是曲線上任一點的曲率半徑r和該點距曲線起點弧長l的乘積為一常數(shù)，即

r·l=R·L=A

(1)

式中，R為緩和曲線終點的曲率半徑；L為緩和曲線的總弧長；A為一常數(shù)值。以緩和曲線起點為坐標(biāo)原點，起點處切線方向為x軸，法線方向為y軸，建立局部直角坐標(biāo)系，緩和曲線可用參數(shù)方程描述

(2)

式中，β=l2/2RL；l為任意點到緩和曲線起點的弧長；(x，y)為任意點在緩和曲線局部坐標(biāo)系下的直角坐標(biāo)。由式(2)可以看出，緩和曲線是復(fù)雜的高次連續(xù)曲線[15]，它不能用初等函數(shù)表示。對式(2)進(jìn)行數(shù)值積分并對式中三角函數(shù)進(jìn)行麥克勞林級數(shù)展開可以求解得緩和曲線在其局部坐標(biāo)系中的表達(dá)式，即

(3)

文獻(xiàn)[16]給出了道路線形參數(shù)計算的具體方法，不再贅述?；诰€形的道路幾何描述，存在3個困難：①幾何構(gòu)建困難：緩和曲線幾何表達(dá)式復(fù)雜，且該表達(dá)方式在緩和曲線局部坐標(biāo)系下；②描述數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)不統(tǒng)一：直線可以通過斜率k和截距b來進(jìn)行表達(dá)，圓通過圓心坐標(biāo)(x0,y0)和半徑R來表達(dá)，緩和曲線通過記錄其局部坐標(biāo)系信息、緩和曲線參數(shù)來表達(dá)；③線形識別困難：緩和曲線在靠近直線端表現(xiàn)為直線，在靠近圓端表現(xiàn)為圓，不易識別，當(dāng)A較大時，這種困難尤為明顯[17]。

2 基于里程參數(shù)的道路平面幾何解析模型

2.1 數(shù)學(xué)模型的建立

在交通網(wǎng)絡(luò)中，道路幾何復(fù)雜，形點坐標(biāo)序列不一定滿足一個嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，如東西走向的道路可以通過一個y=f(x)的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行描述，南北走向的道路反之；對更復(fù)雜的道路，描述方程中自變量并不單調(diào)，描述起來更加困難。本文引入里程s作為參數(shù)，通過約束最小二乘法求解得兩個參數(shù)方程

對道路平面幾何進(jìn)行解析表達(dá)。這一方面保證了參數(shù)的單調(diào)性，另一方面與道路形點沿道路線性分布這一自然特征也是吻合的。

高精度地圖沿道路線密集采集形點來保證道路幾何描述的準(zhǔn)確性，其形點沿道路線性分布，精度較高，數(shù)據(jù)間表現(xiàn)出普遍的線性相關(guān)。為避免對病態(tài)方程組直接求解，可構(gòu)造點集上的正交多項式系作為基函數(shù)組[18]。

在點集si(i=0,1,…,m)上的正交多項式系可由以下遞推公式構(gòu)造[18]

(4)

(5)

對于一條k個分段的道路，其幾何形狀可以通過k個參數(shù)方程組進(jìn)行解析表達(dá)，即

(6)

為保證曲線在分段點處的連續(xù)與光滑，要求前后兩段曲線在分段點處函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)相等，即需要加入式(7)、式(8)兩個端點約束條件。

連續(xù)約束條件

(7)

光滑約束條件

(8)

2.2 數(shù)學(xué)模型的求解

設(shè)第j-1個分段有p+1個形點，第j個分段有q+1個形點，以第j個分段的參數(shù)方程x=fjx(s)的求解為例。

首先，令h(s)=[φ0(s)φ1(s)φ2(s)φ3(s)]，c=[c0c1c2c3]T；顯然f(s)=h(s)·c。

其次，構(gòu)建約束最小二乘方程組

(9)

式中

對于式(9)的求解，一般有懲罰函數(shù)法和Lagrange乘數(shù)法兩種方法。懲罰函數(shù)法既可以處理過約束問題，也可以處理欠約束問題，但無法得到精確的結(jié)果；Lagrange乘數(shù)法能夠得到精確的結(jié)果，但一般只使用于欠約束情況[19]。本文構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型只有0階和1階連續(xù)兩個約束條件，屬于欠約束情況，且為保證地圖的精度，需得到方程的精確解，因此采用Lagrange乘數(shù)法對式(9)進(jìn)行求解。

(10)

將式(10)寫成矩陣的形式

(11)

式(11)為約束最小二乘問題的正規(guī)方程，它有唯一解，求解得c和λ，即得到該參數(shù)方程的表達(dá)式。同樣，對第二個參數(shù)方程y=fjy(s)進(jìn)行求解，即可得到該分段內(nèi)的幾何描述參數(shù)方程組。

3 試驗驗證

3.1 試驗數(shù)據(jù)

使用本文模型已經(jīng)進(jìn)行了實際數(shù)據(jù)生產(chǎn)。數(shù)據(jù)為2015年北京京承高速北五環(huán)至密云收費站單向60 km、雙向120 km的加密后高精度地圖，數(shù)據(jù)如圖1所示。

圖1中的灰色方框內(nèi)是放大的高精度導(dǎo)航地圖，在高精度導(dǎo)航地圖中，道路表現(xiàn)為面狀；圖中深灰色線為車道中心線，白色虛線為車道線，淺灰色線為道路邊線。稱道路最左側(cè)印刷線的中心線為道路參考線(圖中黑色線)；在路口等無車道線區(qū)域，根據(jù)道路的連接關(guān)系，使用貝塞爾曲線構(gòu)建道路間的虛擬參考線、車道間的虛擬中心線進(jìn)行連接。用參考線的幾何形態(tài)表達(dá)道路幾何；各車道表達(dá)為相對參考線的橫向偏移t，(s,t)的關(guān)系也可通過解析式表達(dá)。實際生產(chǎn)中，參考線是道路的幾何基礎(chǔ)，尤為重要；本文僅就道路平面幾何進(jìn)行探討。

圖1 試驗高精度地圖

3.2 動態(tài)分段算法

為了保證各個分段的誤差可控，本文提出了一種基于最大誤差的動態(tài)分段算法，并使用該方法對道路進(jìn)行動態(tài)分段擬合。

任意擬合數(shù)據(jù)點pi的擬合誤差表現(xiàn)為x方向和y方向的誤差

(12)

根據(jù)式(12)計算得到兩個方向的誤差ex、ey，則該點處的擬合誤差為

(13)

根據(jù)式(12)、式(13)統(tǒng)計各個擬合點的擬合誤差，這些誤差的最大值即為擬合最大誤差maxe。以maxe作為分段基準(zhǔn)，當(dāng)maxe超過限差error_limited即產(chǎn)生新的分段。

圖2為基于最大誤差的動態(tài)分段算法程圖。在算法中，第一個分段并不進(jìn)行約束，而是采用一般最小二乘法進(jìn)行擬合，得到第一個分段的參數(shù)方程組，通過該方程組計算后一分段的連續(xù)和光滑約束條件，再使用本文建立的數(shù)學(xué)模型對分段進(jìn)行求解，直到整條道路分段擬合完畢。

圖2 動態(tài)分段算法流程

3.3 典型的道路實例

使用本文模型生產(chǎn)的120 km高精度高速道路數(shù)據(jù)已交付使用。本文選取3條在幾何上較為典型的道路數(shù)據(jù)進(jìn)行說明。

3條典型道路的原始數(shù)據(jù)如圖3(a)所示，Road1為一段直行高速道路，全長3 022.39 m，共614個形點；Road2為一段轉(zhuǎn)彎高速道路，全長2 782.98 m，共339個形點；Road3為一段匝道，全長568.50 m，共353個形點。從圖中可以看出其幾何形狀復(fù)雜度依次遞增。

圖3 典型道路數(shù)據(jù)和分段擬合結(jié)果

根據(jù)上文中的算法，設(shè)定分段擬合的最大誤差限差為0.1 m，對本文試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行動態(tài)分段擬合，擬合結(jié)果如圖3(b)所示。圖4給出了各試驗道路的擬合誤差分布情況。可見，使用本文算法實現(xiàn)了誤差可控。

圖4 試驗道路誤差分布

表1給出了Road2幾何描述的一段實例數(shù)據(jù)。對每一分段，使用兩個參數(shù)三次多項式方程和分段起點處里程s，共9個參數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述。通過表1中的數(shù)據(jù)，能對試驗道路幾何形狀進(jìn)行準(zhǔn)確的描述，通過一定的計算能獲取道路任意點處完整的幾何信息。

表1 道路的幾何描述參數(shù)

注：表中數(shù)據(jù)進(jìn)行了截斷。

表2是幾何表達(dá)數(shù)據(jù)壓縮比統(tǒng)計表。可以看到，道路1只使用兩個分段就表達(dá)了614個形點的幾何信息，數(shù)據(jù)壓縮比達(dá)到98.53%；形狀稍為復(fù)雜的道路2，使用14個分段表達(dá)了339個形點的幾何信息，數(shù)據(jù)壓縮比為81.42%；形狀更為復(fù)雜的道路3雖然產(chǎn)生了19個分段，也達(dá)到了75.78%的壓縮比。

表2 數(shù)據(jù)壓縮比

注：壓縮比F=(D-E)/D。

3.4 結(jié)果分析

本文提出的道路幾何解析模型不僅能減少高精度道路幾何數(shù)據(jù)冗余，其優(yōu)勢還體現(xiàn)為幾何描述準(zhǔn)確及幾何特征計算方便。

幾何描述準(zhǔn)確體現(xiàn)在兩個方面：幾何位置準(zhǔn)確及幾何形狀光滑。本文通過基于最大誤差的動態(tài)分段算法保證了解析模型誤差可控，其位置信息是準(zhǔn)確的。同時，連續(xù)、光滑約束條件保證道路在全局內(nèi)一階連續(xù)，道路幾何是光滑的。

幾何特征計算方便指的是通過本文模型，能夠快速計算得到道路任意點處的幾何特征。對參數(shù)方程求一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，可以快速得到道路任意點處的航向角、曲率信息。若直接通過離散點來計算這些信息，由于離散點中存在噪聲，計算結(jié)果往往不夠準(zhǔn)確，通常需要通過局部擬合來完成幾何特征計算，這增加了終端的計算開銷；另一方面，局部擬合受局部影響大，未考慮道路整體幾何特征，通常不能很好地表達(dá)道路的實際幾何形態(tài)。本文以道路為整體進(jìn)行分段擬合，道路內(nèi)全局光滑。使用本文提出的幾何描述方法計算幾何特征是方便、快捷的。

綜上所述，本文提出的道路幾何描述模型在很大程度上減少了幾何描述數(shù)據(jù)冗余，能對道路幾何進(jìn)行準(zhǔn)確地描述，能快速、便捷地計算道路幾何特征。因此本文提出的道路幾何描述模型對于智能駕駛具有一定的意義。

4 結(jié) 語

由于現(xiàn)有的商用導(dǎo)航地圖精度不夠高、粒度不夠細(xì)、內(nèi)容不夠豐富，高精度地圖在ITS和自動駕駛領(lǐng)域得到了越來越多的運用；但現(xiàn)有的高精度地圖幾何描述數(shù)據(jù)冗余難以直接、快速地計算道路幾何特征信息。本文提出了一種面向高精度導(dǎo)航地圖的、基于里程參數(shù)的道路幾何解析模型。通過構(gòu)建正交多項式系和約束最小二乘法，根據(jù)最大誤差動態(tài)地進(jìn)行分段擬合，求解道路幾何解析模型參數(shù)。使用本文模型進(jìn)行了120 km數(shù)據(jù)的生產(chǎn)，文中給出了3段典型高精度地圖道路數(shù)據(jù)的試驗實例，驗證了該模型對高精度地圖道路幾何描述具有一定優(yōu)勢，證明該模型能對道路幾何進(jìn)行準(zhǔn)確的描述，最大限度地減少了數(shù)據(jù)冗余，用其能快速、便捷地計算道路幾何特征，對智能駕駛具有積極意義。

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A Road Plane Geometry Analytical Model Based on Mileage Parameter

TAO Lu1,ZHU Dunyao1,2,3,WANG Junde2,3,ZHANG Pan3

(1. GNSS Research Center, Wuhan University, Wuhan 430079, China; 2. Intelligent Transportation Systems Center, Wuhan Universityof Technology, Wuhan 430063, China; 3. Wuhan KOTEI Informatics Co. Ltd., Wuhan 430073, China)

With the development of active safety technology and autonomous driving technology, high precision map has been used in many applications. A road geometry analytical model based on mileage parameter was proposed for high precision map. By constructing the orthogonal polynomials based on the data set and using restricted least- square method, the geometric description parameters were dynamically calculated based on maximum fitting error. The model can precisely describe the road geometry, and minimize the data redundancy. It can also ensure the continuity and smoothness of the road geometry. The model was used for high precision map production of 120 km highway. Taking three typical roads as examples, the advantages of proposed model were validated.

road geometry; analytical model; high precision map; orthogonal polynomials; restricted least- square method

2016- 06- 23；

2017- 01- 15

測繪地理信息公益性行業(yè)科研專項(201512007) 作者簡介： 陶 璐(1991—)，男，碩士生，主要從事高精度導(dǎo)航地圖研究。E- mail：ltao@whu.edu.cn

陶璐,朱敦堯,王軍德,等.一種基于里程參數(shù)的道路平面幾何解析模型[J].測繪通報，2017(3)：52- 57.

10.13474/j.cnki.11- 2246.2017.0083.

P208

A

0494- 0911(2017)03- 0052- 06