基于剛體模型的鐵道車輛曲線運(yùn)動(dòng)輪軌力分析

金　剛，時(shí)　瑾

(1.周口師范學(xué)院 機(jī)械與電氣工程學(xué)院，河南 周口　466001；2.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京　100044)

鐵路線路曲線地段是線路的薄弱環(huán)節(jié)[1]。曲線的線型及參數(shù)設(shè)置不僅影響列車運(yùn)行的乘坐舒適性和安全性，而且還與線路曲線地段的輪軌蠕滑力和法向力造成的軌道病害[2-3]密切相關(guān)。因此，線路曲線線型和參數(shù)始終是鐵路線路設(shè)計(jì)理論研究的重點(diǎn)[4]。

車輛通過曲線時(shí)的動(dòng)力學(xué)作用機(jī)制較為復(fù)雜[5]，軌道彈性變形、軌道不平順及車輪損傷等都會(huì)影響曲線地段車輛與軌道的動(dòng)力相互作用。國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)這一問題提出了諸多模型[6-7]。這些模型均將車輛視為多自由度系統(tǒng)或剛?cè)狍w彈性系統(tǒng)，并考慮軌道結(jié)構(gòu)、路基及橋梁的振動(dòng)特性。輪軌間相互作用力的分析常采用赫茲彈性接觸理論和Kalker蠕滑理論實(shí)現(xiàn)[8-9]。這類模型一般用于研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)、部件可靠性等問題。車輛曲線運(yùn)動(dòng)造成的動(dòng)力學(xué)行為的特征主要表現(xiàn)為低頻振動(dòng)，這類動(dòng)力學(xué)行為與線路參數(shù)密切相關(guān)。在鐵路設(shè)計(jì)規(guī)范中，線型及曲線參數(shù)的確定一般采用剛體受力分析，以未被平衡加速度作為控制指標(biāo)，得到線路參數(shù)的取值和匹配條件。需要說明的是，由于車輛在線路曲線段同時(shí)具有點(diǎn)頭、搖頭和側(cè)滾運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)形態(tài)復(fù)雜，但在已有的車輛剛體模型中并未考慮曲線段輪軌作用力特性，因而也導(dǎo)致了線路參數(shù)選取中不能全面考慮線路設(shè)置對(duì)運(yùn)營(yíng)的影響。長(zhǎng)期以來(lái)，曲線段的輪軌力大都需要借助車軌動(dòng)力學(xué)計(jì)算得到，計(jì)算工作量大。到目前為止，尚未見表述車輛在曲線段整體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。本文旨在完善發(fā)展剛體動(dòng)力學(xué)模型，以期實(shí)現(xiàn)對(duì)輪軌力、舒適性的高效預(yù)測(cè)，為鐵路線路線型及參數(shù)分析提供一種新的簡(jiǎn)便方法。

一般情況下，鐵路曲線由圓曲線和緩和曲線連接而成，其線型研究的核心是緩和曲線。1865年法國(guó)人夏克建立三次拋物線型緩和曲線[10]，至今我國(guó)的普通鐵路和高速鐵路仍采用這種線型[11]。但理論上該緩和曲線與直線和圓曲線的連接點(diǎn)立面上切線不連續(xù)，會(huì)對(duì)線路的平順性帶來(lái)不利影響。為了改進(jìn)三次拋物線型緩和曲線的缺陷，國(guó)內(nèi)外學(xué)者設(shè)計(jì)了幾十種各種形式的緩和曲線?，F(xiàn)已問世的緩和曲線大致分為兩類：一類是以放射螺線(又稱回旋線)的各種近似曲線為平面曲線，以直線或改善的直線順坡超高為立面曲線的傳統(tǒng)緩和曲線；另一類是以三角函數(shù)或高次多項(xiàng)式為基礎(chǔ)的新型緩和曲線。新型緩和曲線能很好地改善曲線起終點(diǎn)的行車條件，但緩和曲線長(zhǎng)度更長(zhǎng)，增加了工程施工、線形檢測(cè)和維護(hù)的困難。傳統(tǒng)緩和曲線雖然可以采用更短的長(zhǎng)度，卻不利于列車在緩和曲線起終點(diǎn)的平穩(wěn)運(yùn)行，降低旅客乘坐舒適度，惡化運(yùn)營(yíng)條件，增加運(yùn)營(yíng)維護(hù)費(fèi)用。高速列車運(yùn)行速度高，線路曲線線型對(duì)列車運(yùn)行品質(zhì)的影響尤為顯著，在實(shí)踐中新型緩和曲線正在逐步被采用[12]。我國(guó)未來(lái)高速鐵路可能會(huì)達(dá)到更高速度，采用動(dòng)力學(xué)性能更為優(yōu)越的緩和曲線十分必要。本文建立一種可以根據(jù)曲線線型簡(jiǎn)便計(jì)算輪軌力的剛體動(dòng)力學(xué)模型，從理論層面對(duì)車輛曲線運(yùn)動(dòng)的輪軌力學(xué)特性進(jìn)行定量分析，具有重要理論意義和工程價(jià)值。

1　鐵道車輛剛體模型的建立

1.1　車輛整體運(yùn)動(dòng)假設(shè)

鐵道車輛系統(tǒng)主要由車體、轉(zhuǎn)向架、輪對(duì)及其懸掛系統(tǒng)組成，車輛設(shè)計(jì)的基本要求在于滿足對(duì)線路空間軌跡的跟隨。從宏觀上看，車輛整體跟隨線路空間軌跡是車輛最根本、最基礎(chǔ)的要求，軌道交通線型參數(shù)設(shè)計(jì)就是要保證車輛的圓順跟隨。因此，國(guó)內(nèi)外規(guī)范中均采用剛體模型估算列車運(yùn)行的乘坐舒適性，并以此作為線型參數(shù)選取的理論依據(jù)。因此本文將車輛系統(tǒng)整體視為剛體以滿足線型分析的需求。

1.2　車輛曲線運(yùn)動(dòng)分析

鐵路線路曲線一般由“緩和曲線—圓曲線—緩和曲線”組成。車輛在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生法向加速度，以車輛為參照系時(shí)，等效于車輛受到1個(gè)指向曲線外側(cè)的慣性離心力。為平衡這一側(cè)向力，通常將外側(cè)軌道抬高(稱超高)，或內(nèi)側(cè)軌道降低，使得慣性離心力與重力的合力垂直于兩股鋼軌所決定的平面(稱軌頂面)。滿足這一條件時(shí)稱之為“平—立面動(dòng)力學(xué)協(xié)調(diào)”。但是，超高的引入使得外側(cè)軌道與原直線軌道不在同一水平面內(nèi)。同時(shí)，車輛在直線軌道上不受側(cè)向力，若直接進(jìn)入圓曲線會(huì)突然受到一個(gè)側(cè)向慣性離心力，給行車安全和乘坐舒適性帶來(lái)極為不利的影響。為解決這一問題，在圓曲線兩端引入立面高度和平面曲率都逐漸變化的過渡曲線，這就是所謂的“緩和曲線”。由此可見，緩和曲線是一條空間曲線，車輛進(jìn)入曲線軌道后的整體運(yùn)動(dòng)為三維空間運(yùn)動(dòng)。

車輛進(jìn)入緩和曲線后，車輛呈現(xiàn)側(cè)滾、點(diǎn)頭、搖頭等多種運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。在外側(cè)軌道超高時(shí)，若以車輛與內(nèi)側(cè)軌道的接觸點(diǎn)作為隨動(dòng)坐標(biāo)系(只隨車輛平動(dòng)而不隨其轉(zhuǎn)動(dòng))的原點(diǎn)，則車輛在該非慣性坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)可簡(jiǎn)化為繞原點(diǎn)的3自由度純轉(zhuǎn)動(dòng)。

高速鐵路線路的緩和曲線長(zhǎng)度約為500～1 000 m，圓曲線半徑約為7 000～10 000 m，最大超高限值約為150～200 mm[13]，據(jù)此計(jì)算，車輛在緩和曲線段的搖頭和側(cè)滾總角位移約為10-1rad量級(jí)，而點(diǎn)頭總角位移約為10-4rad量級(jí)，因而可忽略車輛的點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)。根據(jù)加速度限值，車輛在緩和曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，超高加速度不得大于0.4 m·s-2，除以軌距1.5 m，得側(cè)滾角加速度約為0.27 rad·s-2。而搖頭角速度為

(1)

式中：Ψ為切線轉(zhuǎn)角，即搖頭角；l為弧長(zhǎng)；k為鐵路線路平曲線的曲率；y為平曲線的切線支距；v為車輛運(yùn)行速度。

車輛的搖頭角加速度為

(2)

以我國(guó)鐵路線路普遍采用的三次拋物線型緩和曲線為例，平面曲線為

y=l3/(6l0R)

(3)

式中：l0為緩和曲線長(zhǎng)度；R為圓曲線曲率半徑。

最大搖頭角加速度出現(xiàn)在緩-圓點(diǎn)(緩和曲線與圓曲線的連接點(diǎn))。取R=7 000 m，l0=700 m，v=100 m·s-1，代入式(2)，得最大搖頭角加速度約為2×10-3rad·s-2，比側(cè)滾角加速度小2個(gè)量級(jí)。車輛在其他類型緩和曲線上的搖頭角加速度也有相同的量級(jí)。此外，前后輪對(duì)及車輛前后連接點(diǎn)對(duì)車輛質(zhì)心的搖頭力臂(約101m量級(jí))比輪對(duì)的側(cè)滾力臂(約100m量級(jí))大1個(gè)量級(jí)，而車輛對(duì)質(zhì)心的側(cè)滾與搖頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有同一量級(jí)[14]，故與車輛搖頭運(yùn)動(dòng)有關(guān)的輪軌力至少要比引起側(cè)滾運(yùn)動(dòng)的輪軌力小3個(gè)量級(jí)。再者，搖頭力矩不單純由前后輪對(duì)的側(cè)向力提供，車輛前后的連接裝置亦可提供，而側(cè)滾力矩只能由輪對(duì)的垂向和橫向輪軌力提供。由此可知，研究曲線段輪軌力時(shí)，可以忽略搖頭的影響，僅考慮側(cè)滾運(yùn)動(dòng)，將車輛簡(jiǎn)化為繞前進(jìn)方向縱軸的一維轉(zhuǎn)動(dòng)剛體。

2　車輛剛體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)基本方程

2.1　任意超高設(shè)置下的動(dòng)力學(xué)方程

任意超高時(shí)車輛的受力分析如圖1所示。圖中：F為輪對(duì)受到的軌道沿軌頂面的側(cè)向力；F1為內(nèi)側(cè)(曲率中心一側(cè))車輪受到的垂直于軌頂面的正壓力；F2為外側(cè)輪受到的正壓力；L為車輛質(zhì)心C到內(nèi)側(cè)輪軌接觸點(diǎn)A的距離；D為車輛質(zhì)心C到軌頂面的距離；S為軌距；θ為軌頂面橫坡角，亦為車輛所受重力與車輛豎向?qū)ΨQ軸的夾角；φ為車輛質(zhì)心到內(nèi)側(cè)輪軌接觸點(diǎn)A的連線與車輛豎向?qū)ΨQ軸的夾角；h為外軌超高；m為整車質(zhì)量，亦可視為半車或1/4車質(zhì)量，分別對(duì)應(yīng)單輪對(duì)、單轉(zhuǎn)向架或整車輪軌力；g為重力加速度。

圖1　任意超高時(shí)的車輛受力分析

以A為基點(diǎn)，質(zhì)心的絕對(duì)加速度為

(4)

(5)

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可列出

(6)

mgcosθ-F1-F2=m(-kv2sinθ-

(7)

由對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理可列出

(8)

式中：rc為車輛(亦可為整車、半車或1/4車)對(duì)質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑。

注意到：sinφ=S/(2L)，cosφ=D/L，故式(6)、式(7)和式(8)可改寫為

(9)

2mgcosθ-2F1-2F2=

(10)

(11)

(12)

由此可解出任意超高下的輪軌力表達(dá)式

(13)

根據(jù)這一結(jié)果，只要知道平面曲線的曲率k、外軌超高h(yuǎn)的表達(dá)式，以及車輛結(jié)構(gòu)參數(shù)rc和D，軌距S和車輛運(yùn)行速度v，即可計(jì)算出輪軌力。若曲線的超高完全按平—立面動(dòng)力學(xué)協(xié)調(diào)關(guān)系設(shè)置，車輛基本動(dòng)力學(xué)方程的建立和輪軌力求解還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化。

2.2　平衡超高下的動(dòng)力學(xué)方程

平—立面動(dòng)力學(xué)協(xié)調(diào)時(shí)，車輛的向心加速度完全由軌道正壓力的水平分量提供。從車輛隨動(dòng)參照系看，慣性離心力與重力的合力垂直于軌頂面，作用于車輛質(zhì)心C。以此作為平—立面動(dòng)力學(xué)約束條件設(shè)置的曲線超高稱“平衡超高”。設(shè)內(nèi)軌水平高度不變，外軌超高，建立以內(nèi)軌接觸點(diǎn)為基點(diǎn)的隨動(dòng)參照系，車輛在曲線上的受力分析圖如圖2所示。圖中，F(xiàn)0為車輛(或1/2、1/4車)所受的重力與平面曲線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性離心力的合力，作用于車輛質(zhì)心C，在滿足平—立面動(dòng)力學(xué)協(xié)調(diào)關(guān)系的條件下，此力垂直于軌頂面。

圖2　平衡超高時(shí)車輛在曲線上的受力分析

根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理可列出動(dòng)力學(xué)基本方程

(14)

解得

(15)

(16)

(17)

式(15)為車輛曲線運(yùn)動(dòng)輪軌力的精確解，式(16)和式(17)為輪軌力不同條件下的近似解，在車輛參數(shù)和速度一定的情況下，都可以通過超高h(yuǎn)的表達(dá)式很方便地得到輪軌力。

上述2種情況下輪軌力的計(jì)算式都含有超高的二階導(dǎo)數(shù)，因此超高的一階導(dǎo)數(shù)必須連續(xù)(切線連續(xù))。某些連續(xù)階低的曲線(譬如3次拋物線型緩和曲線)理論上連接點(diǎn)立面上的切線不連續(xù)，不滿足應(yīng)用條件。但實(shí)際上鋼軌的剛度總是有限值，在任何載荷和支撐下立面切線總是連續(xù)的，在計(jì)算時(shí)只需根據(jù)實(shí)際情況對(duì)連接點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)膱A順即可。

3　應(yīng)用實(shí)例

一波正弦型是部分國(guó)家高速鐵路采用的緩和曲線線型，也是上海浦東磁懸浮線路采用的線型[15]。一波正弦緩和曲線平曲線的表達(dá)式為

(18)

曲率表達(dá)式為

(19)

式中：k0為圓曲線曲率。

一波正弦緩和曲線的超高表達(dá)式為

(20)

式中：H為圓曲線實(shí)設(shè)超高。

本例取車輛運(yùn)行速度v=100 m·s-1，圓曲線半徑R=7 000 m，對(duì)應(yīng)的平衡超高應(yīng)為209 mm，圓曲線實(shí)設(shè)超高H=175 mm。取緩和曲線長(zhǎng)度l0=630 m，軌距S=1.435 m，車輛參數(shù)D=1.77 m，rc=0.8 m，m=13.9 t(1/4車)。依據(jù)式(13)計(jì)算得到“一波正弦曲線630 m+圓曲線630 m+一波正弦曲線630 m”組合條件下的輪軌力如圖3所示。

由圖3可見：由于車輛處于欠超高狀態(tài)，輪軌垂向力呈現(xiàn)內(nèi)側(cè)減載，外側(cè)增載的特點(diǎn)，在圓曲線上輪軌垂向力增載和減載達(dá)到最大；輪軸橫向力指向曲線內(nèi)側(cè)，由緩和曲線始點(diǎn)開始逐漸增大到圓曲線的最大值，為車輛曲線運(yùn)動(dòng)提供部分向心力，但增大了輪軌的磨損。

圖3　剛體模型下計(jì)算的曲線輪軌力

車軌動(dòng)力學(xué)考慮車輛部件振動(dòng)、輪軌接觸關(guān)系等列車運(yùn)行時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為[9]。車軌動(dòng)力學(xué)模型中將車輛簡(jiǎn)化為車體、前后構(gòu)架和4個(gè)輪對(duì)組成的多剛體系統(tǒng)。車體、構(gòu)架及輪對(duì)考慮浮沉、橫移、側(cè)滾、點(diǎn)頭及搖頭，輪軌幾何關(guān)系采用接觸跡線確定，采用經(jīng)典的Kalker 滾動(dòng)接觸理論計(jì)算蠕滑力。圖4為采用車軌動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算得到的輪軌垂向力和橫向力。

由圖4可見：由于車輛機(jī)構(gòu)的約束關(guān)系和輪軌接觸的作用，輪軌垂向力出現(xiàn)了一定程度的波動(dòng)，但內(nèi)外側(cè)輪軌垂向力的變化趨勢(shì)和圖3(a)一致；由于轉(zhuǎn)向架與輪對(duì)的約束關(guān)系，曲線通過時(shí)1位輪對(duì)和2位輪對(duì)的橫向力差距較大，而兩者的平均值則與圖3(b)接近。

表1列出了2種模型計(jì)算得到的輪軌力結(jié)果。由表1可以看出，兩者具有較好的一致性。因此，在工程設(shè)計(jì)中，由剛體動(dòng)力學(xué)得出的式(13)可用于快速計(jì)算輪軌作用力。在平—立面動(dòng)力學(xué)協(xié)調(diào)時(shí)，利用式(15)計(jì)算更為簡(jiǎn)單。式(16)和式(17)則可對(duì)輪軌力進(jìn)行快捷估算。

圖4　車軌動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算的曲線輪軌力

表1　采用2種模型計(jì)算的輪軌力結(jié)果

4　結(jié)　論

根據(jù)鐵路線路和車輛特點(diǎn)，將車輛運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為繞縱軸的一維轉(zhuǎn)動(dòng)，建立考慮垂向、橫向，側(cè)滾運(yùn)動(dòng)的3自由度剛體模型。利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，建立車輛動(dòng)力學(xué)基本方程組，由此推導(dǎo)出任意超高、任意線型條件下輪軌力計(jì)算式及近似解，研究得到以下2點(diǎn)結(jié)論。

(1)鐵路線路曲線地段輪軌力可由平面曲線的曲率k、外軌超高h(yuǎn)的表達(dá)式、車輛質(zhì)心到軌頂面距離rc、車輛對(duì)質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑D、軌距S和車輛運(yùn)行速度v計(jì)算得出。

(2)結(jié)合高速鐵路曲線線路條件，采用本文理論模型對(duì)曲線內(nèi)外側(cè)輪軌力變化情況進(jìn)行了計(jì)算分析，內(nèi)外側(cè)輪軌垂向力和輪軸橫向力變化規(guī)律與車軌動(dòng)力仿真結(jié)果具有較好一致性。

本文研究提出的理論模型可方便高效地對(duì)鐵道車輛曲線運(yùn)動(dòng)輪軌力實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)，為鐵路線路設(shè)計(jì)提供了一種新的方法。

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